Estelación - Stellation

Construcción de un dodecágono estrellado : un polígono regular con el símbolo de Schläfli {12/5}.

En geometría , la estelación es el proceso de extender un polígono en dos dimensiones , un poliedro en tres dimensiones o, en general, un politopo en n dimensiones para formar una nueva figura. A partir de una figura original, el proceso extiende elementos específicos como sus bordes o planos faciales, generalmente de forma simétrica, hasta que se reencuentran para formar el límite cerrado de una nueva figura. La nueva figura es una estelación del original. La palabra estelación proviene del latín stellātus , "estrella", que a su vez proviene del latín stella , "estrella".

Definición de Kepler

En 1619, Kepler definió la estelación para polígonos y poliedros como el proceso de extender bordes o caras hasta que se unen para formar un nuevo polígono o poliedro.

Estelaró el dodecaedro regular para obtener dos poliedros estelares regulares, el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado . También estrelló el octaedro regular para obtener la stella octangula , un compuesto regular de dos tetraedros.

Polígonos Stellating

Stelar un polígono regular de forma simétrica crea un polígono en estrella regular o un compuesto poligonal . Estos polígonos se caracterizan por el número de veces m que el límite poligonal se enrolla alrededor del centro de la figura. Como todos los polígonos regulares, sus vértices se encuentran en un círculo. m también corresponde al número de vértices alrededor del círculo para ir de un extremo de un borde dado al otro, comenzando en 1.

Un polígono regular de estrella está representado por su símbolo Schläfli { n / m }, donde n es el número de vértices, m es el paso utilizado en la secuenciación de los bordes alrededor de ella, y m y n son primos entre sí (no tienen común factor de ). El caso m = 1 da el polígono convexo { n }. m también debe ser menor que la mitad de n ; de lo contrario, las líneas serán paralelas o divergirán, lo que evitará que la figura se cierre.

Si n y m tienen un factor común, a continuación, la figura es un compuesto regular. Por ejemplo, {6/2} es el compuesto regular de dos triángulos {3} o hexagrama , mientras que {10/4} es un compuesto de dos pentagramas {5/2}.

Algunos autores utilizan el símbolo Schläfli para tales compuestos regulares. Otros consideran que el símbolo indica un camino único que se enrolla m veces alrededornorte/metropuntos de vértice, de manera que un borde se superpone a otro y cada punto de vértice se visita m veces. En este caso, se puede usar un símbolo modificado para el compuesto, por ejemplo 2 {3} para el hexagrama y 2 {5/2} para el compuesto regular de dos pentagramas.

Un n -gon regular tienen - 4/2estelaciones si n es par (suponiendo que no se consideren compuestos de múltiples digones degenerados ), yn - 3/2estelaciones si n es impar .

El pentagrama , {5/2}, es la única estelación de un pentágono	El hexagrama , {6/2}, la estelación de un hexágono y un compuesto de dos triángulos.	El eneágono (nonágono) {9} tiene 3 formas eneagrammicas : {9/2}, {9/3}, {9/4}, siendo {9/3} un compuesto de 3 triángulos.
El heptágono tiene dos formas heptagrammicas : {7/2}, {7/3}

Como el heptágono , el octágono también tiene dos estelaciones octagrammic , una, {8/3} es un polígono de estrella , y la otra, {8/2}, es el compuesto de dos cuadrados .

Poliedros estelados

Un poliedro se estrella extendiendo los bordes o planos frontales de un poliedro hasta que se reúnan de nuevo para formar un nuevo poliedro o compuesto. El interior del nuevo poliedro está dividido por las caras en varias celdas. Los planos frontales de un poliedro pueden dividir el espacio en muchas de estas celdas y, a medida que continúa el proceso de estelación, se incluirán más de estas celdas. Para un poliedro simétrico, estas celdas se dividirán en grupos, o conjuntos, de celdas congruentes; decimos que las celdas de un conjunto congruente son del mismo tipo. Un método común de encontrar estelaciones implica seleccionar uno o más tipos de células.

Esto puede conducir a una gran cantidad de formas posibles, por lo que a menudo se imponen criterios adicionales para reducir el conjunto a aquellas estelas que son significativas y únicas de alguna manera.

Un conjunto de células que forman una capa cerrada alrededor de su núcleo se llama caparazón. Para un poliedro simétrico, una carcasa puede estar formada por uno o más tipos de células.

Sobre la base de estas ideas, se han identificado varias categorías de interés restrictivas.

• Estelaciones de línea principal. La adición de capas sucesivas al poliedro central conduce al conjunto de estelaciones de la línea principal.
• Estelaciones totalmente soportadas. Las caras inferiores de una celda pueden aparecer externamente como un "saliente". En una estelación totalmente apoyada no hay tales voladizos y todas las partes visibles de una cara se ven desde el mismo lado.
• Estelaciones monoacrales. Literalmente "de un solo pico". Donde solo hay un tipo de pico, o vértice, en una estelación (es decir, todos los vértices son congruentes dentro de una sola órbita de simetría), la estelación es monoacra. Todas estas estelaciones son totalmente compatibles.
• Estelaciones primarias. Donde un poliedro tiene planos de simetría especular, se dice que los bordes que caen en estos planos están en líneas primarias. Si todos los bordes se encuentran en líneas primarias, la estelación es primaria. Todas las estelaciones primarias son totalmente compatibles.
• Estelaciones de Miller. En "Los cincuenta y nueve icosaedros" Coxeter , Du Val, Flather y Petrie registran cinco reglas sugeridas por Miller . Aunque estas reglas se refieren específicamente a la geometría del icosaedro, se han adaptado para trabajar con poliedros arbitrarios. Aseguran, entre otras cosas, que se conserva la simetría rotacional del poliedro original y que cada estelación tiene un aspecto exterior diferente. Los cuatro tipos de estelación que se acaban de definir son todos subconjuntos de las estelaciones de Miller.

También podemos identificar algunas otras categorías:

• Una estelación parcial es aquella en la que no se amplían todos los elementos de una dimensionalidad determinada.
• Una estelación subsimétrica es aquella en la que no todos los elementos se extienden simétricamente.

Los sólidos de Arquímedes y sus duales también se pueden estrellar. Aquí solemos añadir la regla de que todos los planos frontales originales deben estar presentes en la estelación, es decir, no consideramos estelaciones parciales. Por ejemplo, el cubo no suele considerarse una estelación del cuboctaedro .

Generalizando las reglas de Miller hay:

• 4 estelaciones del dodecaedro rómbico
• 187 estelaciones del triakis tetraedro
• 358,833,097 estelaciones del triacontaedro rómbico
• 17 estelaciones del cuboctaedro (4 se muestran en los modelos poliedros de Wenninger )
• Un número desconocido de estelaciones del icosidodecaedro ; hay 7071671 estelaciones no quirales , pero se desconoce el número de estelaciones quirales. (20 se muestran en los modelos de poliedro de Wenninger )

Diecisiete de los poliedros uniformes no convexos son estelaciones de sólidos de Arquímedes.

Reglas de Miller

En el libro The Fifty-Nine Icosahedra , JCP Miller propuso un conjunto de reglas para definir qué formas de estelación deben considerarse "adecuadamente significativas y distintas".

Estas reglas se han adaptado para su uso con estelaciones de muchos otros poliedros. Bajo las reglas de Miller encontramos:

• No hay estelaciones del tetraedro , porque todas las caras son adyacentes.
• No hay estelaciones del cubo , porque las caras no adyacentes son paralelas y, por lo tanto, no se pueden extender para reunirse en nuevos bordes.
• Hay 1 estelación del octaedro , la estela octangula
• Hay 3 estelaciones del dodecaedro : el pequeño dodecaedro estrellado , el gran dodecaedro y el gran dodecaedro estrellado , todos los cuales son poliedros de Kepler-Poinsot.
• Hay 58 estelaciones del icosaedro , incluido el gran icosaedro (uno de los poliedros de Kepler-Poinsot) y la segunda y última estelación del icosaedro. El modelo 59 de Los cincuenta y nueve icosaedros es el mismo icosaedro original.

Muchas "estelaciones de Miller" no se pueden obtener directamente utilizando el método de Kepler. Por ejemplo, muchos tienen centros huecos donde faltan por completo las caras y los bordes originales del poliedro central: no queda nada para ser estrellado. Por otro lado, el método de Kepler también produce estelaciones que están prohibidas por las reglas de Miller ya que sus celdas están conectadas por bordes o vértices, aunque sus caras sean polígonos individuales. Esta discrepancia no recibió una atención real hasta Inchbald (2002).

Otras reglas para la estelación

Las reglas de Miller de ninguna manera representan la forma "correcta" de enumerar las estelas. Se basan en la combinación de partes dentro del diagrama de estelación de determinadas formas y no tienen en cuenta la topología de las caras resultantes. Como tales, hay algunas estelaciones bastante razonables del icosaedro que no forman parte de su lista: una fue identificada por James Bridge en 1974, mientras que algunas "estelaciones de Miller" son cuestionables en cuanto a si deben considerarse como estelas en absoluto, una de las el conjunto icosaédrico comprende varias células bastante desconectadas que flotan simétricamente en el espacio.

Hasta ahora, no se ha desarrollado completamente un conjunto alternativo de reglas que tenga esto en cuenta. La mayor parte del progreso se ha realizado sobre la base de la noción de que la estelación es el proceso recíproco o dual del facetado , mediante el cual las partes se eliminan de un poliedro sin crear nuevos vértices. Por cada estelación de algún poliedro, existe una doble faceta del poliedro dual , y viceversa. Al estudiar las facetas del dual, obtenemos conocimientos sobre las estelaciones del original. Bridge encontró su nueva estelación del icosaedro al estudiar las facetas de su dual, el dodecaedro.

Algunos poliedronistas opinan que la estelación es un proceso bidireccional, de modo que dos poliedros que comparten los mismos planos faciales son estelaciones entre sí. Esto es comprensible si uno está ideando un algoritmo general adecuado para su uso en un programa de computadora, pero por lo demás no es particularmente útil.

Se pueden encontrar muchos ejemplos de estelaciones en la lista de modelos de estelación de Wenninger .

Politopos esterilizados

El proceso de estelación también se puede aplicar a politopos de mayor dimensión. Existe un diagrama de estelación de un n -politopo en un hiperplano ( n  - 1) dimensional de una faceta dada .

Por ejemplo, en 4 espacios, la gran gran estrella de 120 celdas es la estelación final de la 4 politopo regular de 120 celdas .

Nombrar estelaciones

La primera denominación sistemática de los poliedros estrellados fue la denominación de Cayley de los poliedros estelares regulares (hoy en día conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot ). Este sistema fue adoptado ampliamente, pero no siempre de manera sistemática, para otros poliedros y politopos superiores.

John Conway ideó una terminología para polígonos estrellados , poliedros y policoras (Coxeter 1974). En este sistema el proceso de extender aristas para crear una nueva figura se llama estelación , el de extender caras se llama engrandecimiento y el de extender celdas se llama engrandecimiento (esto último no se aplica a los poliedros). Esto permite un uso sistemático de palabras como "estrellado", "grande" y "grandioso" al idear nombres para las figuras resultantes. Por ejemplo, Conway propuso algunas variaciones menores a los nombres de los poliedros de Kepler-Poinsot .

Estelacion al infinito

Wenninger notó que algunos poliedros, como el cubo, no tienen estelaciones finitas. Sin embargo, las celdas de estelación se pueden construir como prismas que se extienden hasta el infinito. La figura que comprende estos prismas puede denominarse una estelación hasta el infinito . Sin embargo, según la mayoría de las definiciones de poliedro, estas estelaciones no son estrictamente poliedros.

Las figuras de Wenninger ocurrieron como duales del hemipolyhedra uniforme , donde las caras que pasan por el centro son enviadas a vértices "en el infinito".

De las matemáticas al arte

Magnus Wenninger con algunos de sus modelos de poliedros estrellados en 2009

Además de sus contribuciones a las matemáticas, Magnus Wenninger se describe en el contexto de la relación entre las matemáticas y el arte como haciendo modelos "especialmente hermosos" de complejos poliedros estrellados.

Suelo de mosaico de mármol de Paolo Uccello , Basílica de San Marcos, Venecia , c. 1430

El artista renacentista italiano Paolo Uccello creó un mosaico de suelo que muestra un pequeño dodecaedro estrellado en la Basílica de San Marcos, Venecia , c. 1430. La representación de Uccello se utilizó como símbolo de la Bienal de Venecia de 1986 sobre el tema "Arte y ciencia". La misma estelación es fundamental para dos litografías de MC Escher : Contrast (Order and Chaos) , 1950, y Gravitation , 1952.

Ver también

• Los cincuenta y nueve icosaedros
• Lista de modelos de poliedros de Wenninger Incluye 44 formas estrelladas del octaedro, dodecaedro, icosaedro e icosidodecaedro, enumeradas en el libro de 1974 "Modelos de poliedros" de Magnus Wenninger
• Compuesto poliédrico Incluye 5 compuestos regulares y 4 compuestos regulares duales.
• Lista de estelaciones poliédricas

Referencias

• Bridge, Nueva Jersey; Facetas del dodecaedro, Acta Crystallographica A30 (1974), págs. 548–552.
• Coxeter , HSM; Politopos complejos regulares (1974).
• Coxeter , HSM; Du Val, P .; Flather, HT; y Petrie, JF The Fifty-Nine Icosahedra , 3ª edición. Stradbroke, Inglaterra: Tarquin Publications (1999).
• Inchbald, G .; En busca del icosaedro perdido, The Mathematical Gazette 86 (2002), págs. 208-215.
• Messer, P .; Estelaciones del triacontaedro rómbico y más allá, Simetría: cultura y ciencia , 11 (2000), págs. 201–230.
• Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedros . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-24524-9.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Stellation" . MathWorld .
• Stelar el icosaedro y facetar el dodecaedro
• Stella: Polyhedron Navigator - Software para explorar poliedros y redes de impresión para su construcción física. Incluye poliedros uniformes, estelaciones, compuestos, sólidos de Johnson, etc.
• Enumeración de estelaciones
• Vladimir Bulatov Polyhedra Stelation.
• El applet Polyhedra Stellations de Vladimir Bulatov empaquetado como una aplicación OS X
• Applet de estelación
• Una creación interactiva de estelaciones de poliedros con varias simetrías
• El Cincuenta y Nueve Icosaedros - Applet
• 59 estelaciones del icosaedro, George Hart
• Stelation: Matemáticas hermosas
• Más estelas de los poliedros uniformes, John Lawrence Hudson The Mathematical Intelligencer, Volumen 31, Número 4, 2009