Polinomio mínimo de 2cos (2pi / n) - Minimal polynomial of 2cos(2pi/n)

Para un número entero , el polinomio mínimo de es la no-cero polinomio mónico de grado para y el grado para con enteros coeficientes , de manera que . Aquí denota la función totient de Euler . En particular, para uno tiene y${\ Displaystyle n \ geq 1}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}$ ${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle n = 1,2}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ varphi (n)}$${\ Displaystyle n \ geq 3}$${\ Displaystyle \ Psi _ {n} \! \ left (2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) \ right) = 0}$${\ Displaystyle \ varphi (n)}$${\ Displaystyle n \ leq 2,}$${\ Displaystyle \ Psi _ {1} (x) = x-2}$${\ Displaystyle \ Psi _ {2} (x) = x + 2.}$

Para cada n , el polinomio es monico, tiene coeficientes enteros y es irreducible sobre los enteros y los números racionales . Todas sus raíces son reales ; son los números reales con k coprime con n y 1 ≤ k ≤ n (la coprimalidad implica que k = n solo puede ocurrir para n = 1 ). Estas raíces son el doble de las partes reales de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad . ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2k \ pi} {n}} \ right)}$

Los polinomios son ejemplos típicos de polinomios irreducibles cuyas raíces son todas reales y que tienen un grupo de Galois cíclico . ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

Ejemplos de

Los primeros polinomios son ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Psi _ {1} (x) & = x-2 \\\ Psi _ {2} (x) & = x + 2 \\\ Psi _ {3} (x) & = x + 1 \\\ Psi _ {4} (x) & = x \\\ Psi _ {5} (x) & = x ^ {2} + x-1 \\\ Psi _ {6} ( x) & = x-1 \\\ Psi _ {7} (x) & = x ^ {3} + x ^ {2} -2x-1 \\\ Psi _ {8} (x) & = x ^ {2} -2 \\\ Psi _ {9} (x) & = x ^ {3} -3x + 1 \\\ Psi _ {10} (x) & = x ^ {2} -x-1 \ \\ Psi _ {11} (x) & = x ^ {5} + x ^ {4} -4x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x + 1 \\\ Psi _ {12} (x) & = x ^ {2} -3 \ end {alineado}}}$

Raíces

Las raíces de están dadas por , dónde y . Dado que es monico, tenemos ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)}$${\ Displaystyle 1 \ leq k <{\ frac {n} {2}}}$${\ Displaystyle \ gcd (k, n) = 1}$${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x) = \ Displaystyle \ prod _ {\ begin {array} {c} 1 \ leq k <{\ frac {n} {2}} \\\ gcd (k, n ) = 1 \ end {matriz}} \ left (x-2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) \ right).}$

Combinando este resultado con el hecho de que la función es par , encontramos que es un entero algebraico para cualquier entero positivo y cualquier entero . ${\ Displaystyle \ cos (x)}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$

Relación con los polinomios ciclotómicos

Para un número entero positivo , sea una raíz primitiva -ésima de la unidad. Entonces, el polinomio mínimo de viene dado por el -ésimo polinomio ciclotómico . Dado que , la relación entre y está dada por . Esta relación se puede exhibir en la siguiente identidad probada por Lehmer, que se cumple para cualquier número complejo distinto de cero : ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ zeta _ {n} = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {n}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ derecha) + \ sin \ izquierda ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ derecha) i}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ zeta _ {n}}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x)}$${\ Displaystyle \ zeta _ {n} ^ {- 1} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) - \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} { n}} \ derecha) i}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}$${\ Displaystyle \ zeta _ {n}}$${\ Displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) = \ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {n} \ left (z + z ^ {- 1} \ right) = z ^ {- {\ frac {\ varphi (n)} {2}}} \ Phi _ {n} ( z)}$

Relación con los polinomios de Chebyshev

En 1993, Watkins y Zeitlin establecieron la siguiente relación entre los polinomios de Chebyshev y del primer tipo. ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

Si es extraño , entonces ${\ Displaystyle n = 2s + 1}$

${\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid n} \ Psi _ {d} (2x) = 2 (T_ {s + 1} (x) -T_ {s} (x)),}$

y si es par , entonces ${\ Displaystyle n = 2s}$

${\ Displaystyle \ prod _ {d \ mid n} \ Psi _ {d} (2x) = 2 (T_ {s + 1} (x) -T_ {s-1} (x)).}$

Valor absoluto del coeficiente constante

El valor absoluto del coeficiente constante de se puede determinar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle | \ Psi _ {n} (0) | = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ n = 4, \\ 2 & {\ text {if}} \ n = 2 ^ { k}, k \ geq 0, k \ neq 2, \\ p & {\ text {if}} \ n = 4p ^ {k}, k \ geq 1, p> 2 \ {\ text {prime,}} \ \ 1 & {\ text {de lo contrario.}} \ End {cases}}}$

Campo numérico algebraico generado

El campo numérico algebraico es el subcampo real máximo de un campo ciclotómico . Si denota el anillo de números enteros de , entonces . En otras palabras, el conjunto es una base integral de . En vista de esto, el discriminante del campo numérico algebraico es igual al discriminante del polinomio , es decir ${\ Displaystyle K_ {n} = \ mathbb {Q} \ left (\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {n})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}}}$${\ Displaystyle K_ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}} = \ mathbb {Z} \ left [\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ left \ {1, \ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1}, \ ldots, \ left (\ zeta _ {n} + \ zeta _ {n} ^ {- 1} \ right) ^ {{\ frac {\ varphi (n)} {2}} - 1} \ right \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K_ {n}}}$ ${\ Displaystyle K_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {n} (x)}$

${\ Displaystyle D_ {K_ {n}} = {\ begin {cases} 2 ^ {(m-1) 2 ^ {m-2} -1} & {\ text {if}} \ n = 2 ^ {m }, m> 2, \\ p ^ {(mp ^ {m} - (m + 1) p ^ {m-1} -1) / 2} & {\ text {if}} \ n = p ^ { m} \ {\ text {o}} \ 2p ^ {m}, p> 2 \ {\ text {prime}}, \\\ izquierda (\ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} p_ {i} ^ {e_ {i} -1 / (p_ {i} -1)} \ right) ^ {\ frac {\ varphi (n)} {2}} & {\ text {if}} \ \ omega (n)> 1, k \ neq 2p ^ {m}. \ end {cases}}}$

Referencias