Polinomio mínimo (teoría de campos) - Minimal polynomial (field theory)

En la teoría de campos , una rama de las matemáticas , el polinomio mínimo de un valor α es, en términos generales, el polinomio de grado más bajo que tiene coeficientes de un tipo específico, de modo que α es una raíz del polinomio. Si existe el polinomio mínimo de α , es único. Se requiere que el coeficiente del término de mayor grado en el polinomio sea 1, y el tipo especificado para los coeficientes restantes podrían ser enteros , números racionales , números reales u otros.

Más formalmente, un polinomio mínimo se define con relación a una extensión de campo E / F y un elemento del campo de extensión E . El polinomio mínimo de un elemento, si existe, es un miembro de F [ x ], el anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en F . Dado un elemento α de E , sea J α el conjunto de todos los polinomios f ( x ) en F [ x ] tales que f ( α ) = 0. El elemento α se llama raíz o cero de cada polinomio en J α . El conjunto J α se llama así porque es un ideal de F [ x ]. El polinomio cero, cuyos coeficientes son 0, está en todo J α ya que 0 α i = 0 para todo α e i . Esto hace que el polinomio cero sea inútil para clasificar diferentes valores de α en tipos, por lo que se exceptúa. Si hay polinomios distintos de cero en J α , entonces α se llama un elemento algebraico sobre F , y existe un polinomio mónico de menor grado en J α . Este es el polinomio mínimo de α con respecto a E / F . Es único e irreductible sobre F . Si el polinomio cero es el único miembro de J α , entonces α se llama un elemento trascendental sobre F y no tiene polinomio mínimo con respecto a E / F .

Los polinomios mínimos son útiles para construir y analizar extensiones de campo. Cuando α es algebraico con polinomio mínimo una ( x ), el campo más pequeño que contiene tanto F y α es isomorfo al anillo cociente F [ x ] / ⟨ una ( x )⟩, donde ⟨ una ( x )⟩ es el ideal de F [ x ] generado por a ( x ). Los polinomios mínimos también se utilizan para definir elementos conjugados .

Definición

Deje E / F sea una extensión de campo , α un elemento de E , y F [ x ] el anillo de polinomios en x más de F . El elemento α tiene un polinomio mínimo cuando α es algebraico sobre F , es decir, cuando f ( α ) = 0 para algún polinomio distinto de cero f ( x ) en F [ x ]. Entonces, el polinomio mínimo de α se define como el polinomio mónico de menor grado entre todos los polinomios en F [ x ] que tienen α como raíz.

Unicidad

Deje una ( x ) el polinomio mínimo de α con respecto a E / F . La unicidad de a ( x ) se establece considerando el homomorfismo de anillo sub α de F [ x ] a E que sustituye α por x , es decir, sub α ( f ( x )) = f ( α ). El núcleo de sub α , ker (sub α ), es el conjunto de todos los polinomios en F [ x ] que tienen α como raíz. Es decir, ker (sub α ) = J α desde arriba. Dado que sub α es un homomorfismo de anillo, ker (sub α ) es un ideal de F [ x ]. Dado que F [ x ] es un anillo principal siempre que F es un campo, hay al menos un polinomio en ker (sub α ) que genera ker (sub α ). Dicho polinomio tendrá el menor grado entre todos los polinomios distintos de cero en ker (sub α ), y se considera que a ( x ) es el polinomio mónico único entre estos.

Unicidad del polinomio monic

Supongamos que p y q son polinomios monic en J α de grado mínimo n > 0. Como p - q J α y DEG ( p - q ) < n se sigue que p - q = 0, es decir, p = q .

Propiedades

Un polinomio mínimo es irreducible. Sea E / F una extensión de campo sobre F como arriba, α E , y f F [ x ] un polinomio mínimo para α . Suponga que f = gh , donde g , h F [ x ] son ​​de menor grado que f . Ahora f ( α ) = 0. Dado que los campos también son dominios integrales , tenemos g ( α ) = 0 o h ( α ) = 0. Esto contradice la minimidad del grado de f . Por tanto, los polinomios mínimos son irreducibles.

Ejemplos de

Polinomio mínimo de una extensión de campo de Galois

Dada una extensión de campo de Galois, el polinomio mínimo de cualquiera que no esté en se puede calcular como

si no tiene estabilizadores en la acción de Galois. Dado que es irreducible, lo que se puede deducir mirando las raíces de , es el polinomio mínimo. Tenga en cuenta que se puede encontrar el mismo tipo de fórmula reemplazando con dónde está el grupo estabilizador de . Por ejemplo, si entonces su estabilizador es , entonces es su polinomio mínimo.

Extensiones de campo cuadráticas

Q ( 2 )

Si F = Q , E = R , α = 2 , entonces el polinomio mínimo para α es a ( x ) = x 2 - 2. El campo base F es importante ya que determina las posibilidades para los coeficientes de a ( x ) . Por ejemplo, si tomamos F = R , entonces el polinomio mínimo para α = 2 es a ( x ) = x - 2 .

Q ( d )

En general, para la extensión cuadrática dada por un cuadrado libre , el cálculo del polinomio mínimo de un elemento se puede encontrar usando la teoría de Galois. Luego

en particular, esto implica y . Esto se puede usar para determinar a través de una serie de relaciones usando aritmética modular .

Extensiones de campo bicuadráticas

Si α = 2 + 3 , entonces el polinomio mínimo en Q [ x ] es a ( x ) = x 4 - 10 x 2 + 1 = ( x - 2 - 3 ) ( x + 2 - 3 ) ( x - 2 + 3 ) ( x + 2 + 3 ).

Observe si entonces la acción de Galois se estabiliza . Por tanto, el polinomio mínimo se puede encontrar utilizando el grupo del cociente .

Raíces de unidad

Los polinomios mínimos en Q [ x ] de raíces de unidad son los polinomios ciclotómicos .

Polinomios de Swinnerton-Dyer

El polinomio mínimo en Q [ x ] de la suma de las raíces cuadradas de los primeros n números primos se construye de manera análoga y se denomina polinomio de Swinnerton-Dyer .

Ver también

Referencias

  • Weisstein, Eric W. "Polinomio mínimo de números algebraicos" . MathWorld .
  • Polinomio mínimo en PlanetMath .
  • Pinter, Charles C. Un libro de álgebra abstracta . Serie de libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Dover, 2010, p. 270–273. ISBN   978-0-486-47417-5