Campo ciclotómico - Cyclotomic field

En teoría de números , un campo ciclotómico es un campo numérico obtenido al unir una raíz compleja de la unidad a $Q$ , el campo de los números racionales .

Los campos ciclotómicos jugaron un papel crucial en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de números debido a su relación con el último teorema de Fermat . Fue en el proceso de sus profundas investigaciones de la aritmética de estos campos (para primos $n$ ) - y más precisamente, debido al fracaso de la factorización única en sus anillos de enteros - que Ernst Kummer introdujo por primera vez el concepto de número ideal y demostró sus célebres congruencias .

Definición

Para $n \geq 1$ , sea $ζ n = e 2π i / n \in C$ ; esto es una primitiva $n$ º raíz de la unidad. Entonces el $n$ -ésimo campo ciclotómico es la extensión $Q (ζ n)$ de $Q$ generado por $ζ n$ .

Propiedades

El $n$ - ésimo polinomio ciclotómico

{\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \! \! \! \ prod _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \! \! \! \ left (xe ^ {2 \ pi ik / n} \ right) = \! \! \! \ prod _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1 }} \! \! \! (x - {\ zeta _ {n}} ^ {k})}

es irreducible , por lo que es el polinomio mínimo de $ζ n$ sobre $Q$ .

Los conjugados de $ζ n$ en $C$ son, por tanto, las otras raíces primitivas $n$ -ésimas de la unidad: $ζ n k$ para $1 \leq k \leq n$ con $mcd (k, n) = 1$ .
El grado de $Q (ζ n)$ es por lo tanto $[Q (ζ n): Q] = deg Φ n = φ (n)$ , donde $φ$ es la función totiente de Euler .
Las raíces de $x n - 1$ son los poderes de $ζ n$ , por lo que $Q (ζ n)$ es el cuerpo de descomposición de $x n - 1$ (o de $Φ (x)$ ) sobre $Q$ .
Por lo tanto $Q (ζ n)$ es una extensión de Galois de $Q$ .
El grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo , que consiste en los residuos invertibles de módulo $n$ , que son los residuos de $un$ $mod$ $n$ con $1 \leq$ $un$ $\leq$ $n$ y $gcd ($ $a$ $,$ $n$ $) = 1$ . El isomorfismo envía cada uno a $un$ $mod$ $n$ , donde $a$ es un número entero tal que $σ (ζ$ $n$ $) = ζ$ $n$ $a$ . ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} (\ mathbf {Q} (\ zeta _ {n}) / \ mathbf {Q})}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}) ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ in \ operatorname {Gal} (\ mathbf {Q} (\ zeta _ {n}) / \ mathbf {Q})}$
El anillo de números enteros de $Q (ζ n)$ es $Z [ζ n]$ .
Para $n > 2$ , el discriminante de la extensión $Q (ζ n) / Q$ es

{\ displaystyle (-1) ^ {\ varphi (n) / 2} {\ frac {n ^ {\ varphi (n)}} {\ displaystyle \ prod _ {p | n} p ^ {\ varphi (n) / (p-1)}}}.}

En particular, $Q (ζ n) / Q$ está sin ramificar por encima de cada primo $q que$ no divide $n$ .
Si $n$ es una potencia de un primo $p$ , entonces $Q (ζ n) / Q$ está totalmente ramificado por encima de $p$ .
Si $q$ es un primo que no divide a $n$ , entonces el elemento de Frobenius corresponde al residuo de $q$ en . ${\ Displaystyle \ operatorname {Frob} _ {q} \ in \ operatorname {Gal} (\ mathbf {Q} (\ zeta _ {n}) / \ mathbf {Q})}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}) ^ {\ times}}$
El grupo de raíces de unidad en $Q (ζ n)$ tiene orden $n$ o $2 n$ , según $n$ sea par o impar.
El grupo unitario $Z [ζ n] \times$ es un grupo abeliano generado finitamente de rango $φ (n) / 2$ , para cualquier $n > 2$ , según el teorema de la unidad de Dirichlet . En particular, el grupo unitario es infinito, excepto cuando $n \in {1,2,3,4,6$ }. El subgrupo de torsión de $Z [ζ n] \times$ es el grupo de raíces de unidad en $Q (ζ n)$ , que se describió en el ítem anterior. Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo explícito de índice finito de $Z [ζ n] \times$ .
El teorema de Kronecker-Weber establece que toda extensión abeliana finita de $Q$ en $C$ está contenida en $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ para algún $n$ . De manera equivalente, la unión de todos los campos ciclotómicos $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ es la extensión máxima abeliano $Q$ $ab$ de $Q$ .

Relación con polígonos regulares

Gauss hizo incursiones tempranas en la teoría de los campos ciclotómicos, en relación con el problema de construir un $n$ -gon regular con un compás y una regla . Su sorprendente resultado que había escapado a sus predecesores fue que un 17-gon regular podría construirse de esa manera. De manera más general, para cualquier número entero $n \geq 3$ , los siguientes son equivalentes:

un $n$ -gon regular es construible;
hay una secuencia de campos, comenzando con $Q$ y terminando con $Q (ζ n)$ , de manera que cada uno es una extensión cuadrática del campo anterior;
$φ (n)$ es una potencia de 2 ;
${\ Displaystyle n = 2 ^ {a} p_ {1} \ cdots p_ {r}}$ para algunos enteros $a, r \geq 0$ y números primos de Fermat . (Un primo de Fermat es un primo impar $p$ tal que $p$ $- 1$ es una potencia de 2. Los primos de Fermat conocidos son 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , y es probable que no haya otros). ${\ Displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {r}}$

Pequeños ejemplos

$n = 3$ y $n = 6$ : Las ecuacionesymuestran que $Q$ $(ζ$ $3$ $) =$ $Q$ $(ζ$ $6$ $) =$ $Q$ $($ $\sqrt$ $-3$ $)$ , que es una extensión cuadrática de $Q$ . En consecuencia, se pueden construir un 3-gon regular y un 6-gon regular. ${\ Displaystyle \ zeta _ {3} = {\ tfrac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {6} = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {-3}}} {2}}}$
$n = 4$ : De manera similar, $ζ 4 = i$ , entonces $Q (ζ 4) = Q (i)$ , y un 4-gon regular es construible.
$n = 5$ : El campo $Q (ζ 5)$ no es una extensión cuadrática de $Q$ , pero es una extensión cuadrática de la extensión cuadrática $Q (\sqrt 5)$ , por lo que un 5-gon regular es construible.

Relación con el último teorema de Fermat

Un enfoque natural para demostrar el último teorema de Fermat es factorizar el binomio $x n + y n$ , donde $n$ es un primo impar , que aparece en un lado de la ecuación de Fermat.

{\ Displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}

como sigue:

{\ Displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = (x + y) (x + \ zeta y) \ cdots (x + \ zeta ^ {n-1} y)}

Aquí $x$ y $y$ son enteros ordinarias, mientras que los factores son enteros algebraicos en el campo ciclotómico $Q (ζ n)$ . Si la factorización única se cumple en los enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , entonces se puede usar para descartar la existencia de soluciones no triviales a la ecuación de Fermat.

Varios intentos de abordar el último teorema de Fermat procedieron a lo largo de estas líneas, y tanto la prueba de Fermat para $n = 4$ como la prueba de Euler para $n = 3$ pueden reformularse en estos términos. La lista completa de $n$ para los cuales $Q (ζ n)$ tiene factorización única es

1 a 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer encontró una manera de lidiar con el fracaso de la factorización única. Introdujo un reemplazo para los números primos en los enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , midió el fracaso de la factorización única a través del número de clase $h n$ y demostró que si $h p$ no es divisible por un primo $p$ (tales $p$ se llaman primos regulares ) entonces el teorema de Fermat es cierto para el exponente $n = p$ . Además, dio un criterio para determinar qué primos son regulares y estableció el teorema de Fermat para todos los exponentes primos $p$ menores que 100, excepto para los primos irregulares 37 , 59 y 67 . El trabajo de Kummer sobre las congruencias para los números de clase de los campos ciclotómicos fue generalizado en el siglo XX por Iwasawa en la teoría de Iwasawa y por Kubota y Leopoldt en su teoría de las funciones zeta p-ádicas .

Lista de números de clase de campos ciclotómicos

(secuencia A061653 en la OEIS ), o OEIS : A055513 o OEIS : A000927 para la parte-(para prima n ) ${\ Displaystyle h}$

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65: 64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

Ver también

Referencias

Fuentes

Bryan Birch , "Cyclotomic fields and Kummer extensions", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap.III, págs. 45-93.
Daniel A. Marcus, Number Fields , tercera edición, Springer-Verlag, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, 83 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1934-7 , ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
Serge Lang , Cyclotomic Fields I y II , Segunda edición combinada. Con un apéndice de Karl Rubin . Textos de posgrado en matemáticas , 121. Springer-Verlag, Nueva York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Otras lecturas

Coates, John ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores zeta . Springer Monografías en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002 .
Weisstein, Eric W. "Campo ciclotómico" . MathWorld .
"Campo ciclotómico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Sobre el anillo de enteros de campos ciclotómicos reales. Koji Yamagata y Masakazu Yamagishi: Proc, Academia de Japón, 92. Ser a (2016)

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