Teorema fundamental de la aritmética - Fundamental theorem of arithmetic

El teorema de factorización único fue probado por Gauss con su libro de 1801 Disquisitiones Arithmeticae . En este libro, Gauss utilizó el teorema fundamental para demostrar la ley de reciprocidad cuadrática .

En teoría de números , el teorema fundamental de la aritmética , también llamado teorema de factorización única , establece que todo entero mayor que 1 puede representarse de forma única como un producto de números primos, hasta el orden de los factores. Por ejemplo,

${\ Displaystyle 1200 = 2 ^ {4} \ cdot 3 \ cdot 5 ^ {2} = (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2) \ cdot 3 \ cdot (5 \ cdot 5) = 5 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 2 = \ ldots}$

El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 se puede representar como un producto de números primos, y segundo, que no importa cómo se haga esto, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro. primos en el producto.

El requisito de que los factores sean primos es necesario: las factorizaciones que contienen números compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, ). ${\ Displaystyle 12 = 2 \ cdot 6 = 3 \ cdot 4}$

Este teorema es una de las principales razones por las que 1 no se considera un número primo : si 1 fuera primo, la factorización en primos no sería única; por ejemplo,${\ Displaystyle 2 = 2 \ cdot 1 = 2 \ cdot 1 \ cdot 1 = \ ldots}$

Versión original de Euclides

El Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y el Libro IX, proposición 14 de los Elementos de Euclides son esencialmente el enunciado y la prueba del teorema fundamental.

Si dos números al multiplicarse entre sí forman un número, y cualquier número primo mide el producto, también medirá uno de los números originales.

-  Euclides, Libro de Elementos VII , Proposición 30

(En terminología moderna: si un primo p divide el producto ab , entonces p divide a o b o ambos.) La proposición 30 se conoce como el lema de Euclides y es la clave en la demostración del teorema fundamental de la aritmética.

Cualquier número compuesto se mide por algún número primo.

-  Euclides, Libro de Elementos VII , Proposición 31

(En terminología moderna: todo número entero mayor que uno se divide uniformemente por algún número primo.) La proposición 31 se prueba directamente por descendencia infinita .

Cualquier número es primo o se mide por algún número primo.

-  Euclides, Libro de Elementos VII , Proposición 32

La proposición 32 se deriva de la proposición 31 y prueba que la descomposición es posible.

Si un número es el mínimo que se mide con números primos, no se medirá con ningún otro número primo excepto los que lo miden originalmente.

-  Euclides, Libro de Elementos IX , Proposición 14

(En terminología moderna: un mínimo común múltiplo de varios números primos no es un múltiplo de ningún otro número primo.) Libro IX, proposición 14 se deriva del Libro VII, proposición 30, y prueba parcialmente que la descomposición es única - un punto críticamente señalado por André Weil . De hecho, en esta proposición los exponentes son todos iguales a uno, por lo que no se dice nada para el caso general.

El artículo 16 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss es una declaración y una demostración modernas tempranas que emplean aritmética modular .

Aplicaciones

Representación canónica de un entero positivo

Todo entero positivo n > 1 puede representarse exactamente de una manera como un producto de las potencias primas:

${\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {n_ {k}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n_ {i}}}$

donde p ₁ < p ₂ <... < p _k son primos y los n _i son enteros positivos. Esta representación se extiende comúnmente a todos los números enteros positivos, incluido 1, por la convención de que el producto vacío es igual a 1 (el producto vacío corresponde a k = 0).

Esta representación se llama representación canónica de n , o la forma estándar de n . Por ejemplo,

999 = 3 ³ × 37

1000 = 2 ³ × 5 ³ ,

1001 = 7 × 11 × 13

Los factores p ⁰ = 1 pueden insertarse sin cambiar el valor de n (por ejemplo, 1000 = 2 ³ × 3 ⁰ × 5 ³ ). De hecho, cualquier entero positivo se puede representar de forma única como un producto infinito tomado sobre todos los números primos positivos:

${\ Displaystyle n = 2 ^ {n_ {1}} 3 ^ {n_ {2}} 5 ^ {n_ {3}} 7 ^ {n_ {4}} \ cdots = \ prod _ {i = 1} ^ { \ infty} p_ {i} ^ {n_ {i}},}$

donde un número finito de n _i son enteros positivos y el resto es cero. Permitir exponentes negativos proporciona una forma canónica para números racionales positivos .

Operaciones aritmeticas

Las representaciones canónicas del producto, máximo común divisor (MCD), y el mínimo común múltiplo (LCM) de dos números a y b pueden ser expresadas simplemente en términos de las representaciones canónicas de una y b sí mismos:

${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} a \ cdot b & = 2 ^ {a_ {1} + b_ {1}} 3 ^ {a_ {2} + b_ {2}} 5 ^ {a_ {3} + b_ {3}} 7 ^ {a_ {4} + b_ {4}} \ cdots && = \ prod p_ {i} ^ {a_ {i} + b_ {i}}, \\\ gcd (a, b ) & = 2 ^ {\ min (a_ {1}, b_ {1})} 3 ^ {\ min (a_ {2}, b_ {2})} 5 ^ {\ min (a_ {3}, b_ { 3})} 7 ^ {\ min (a_ {4}, b_ {4})} \ cdots && = \ prod p_ {i} ^ {\ min (a_ {i}, b_ {i})}, \\ \ operatorname {lcm} (a, b) & = 2 ^ {\ max (a_ {1}, b_ {1})} 3 ^ {\ max (a_ {2}, b_ {2})} 5 ^ {\ max (a_ {3}, b_ {3})} 7 ^ {\ max (a_ {4}, b_ {4})} \ cdots && = \ prod p_ {i} ^ {\ max (a_ {i}, b_ {i})}. \ end {alignedat}}}$

Sin embargo, la factorización de enteros , especialmente de grandes números, es mucho más difícil que los productos informáticos, GCD o LCM. Por tanto, estas fórmulas tienen un uso limitado en la práctica.

Funciones aritméticas

Muchas funciones aritméticas se definen utilizando la representación canónica. En particular, los valores de las funciones aditivas y multiplicativas están determinados por sus valores en las potencias de los números primos.

Prueba

La demostración usa el lema de Euclides ( Elementos VII, 30): si un número primo divide el producto de dos números enteros, entonces debe dividir al menos uno de estos números enteros.

Existencia

Debe demostrarse que todo entero mayor que 1 es primo o producto de primos. Primero, 2 es primo. Luego, por inducción fuerte , suponga que esto es cierto para todos los números mayores que 1 y menores que n . Si n es primo, no hay nada más que demostrar. De lo contrario, no son números enteros un y b , donde n = ab , y 1 < un ≤ b < n . Por la hipótesis de inducción, un = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _j y b = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _k son productos de números primos. Pero entonces n = ab = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _j q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _k es un producto de números primos.

Unicidad

Supongamos, por el contrario, que hay un número entero que tiene dos factorizaciones primas distintas. Sea n el menor número entero y escriba n = p ₁ p ₂ ... p _j = q ₁ q ₂ ... q _k , donde cada p _i y q _i es primo. Vemos que p ₁ divide a q ₁ q ₂ ... q _k , por lo que p ₁ divide algo de q _i por el lema de Euclides . Sin pérdida de generalidad, digamos que p ₁ divide a q ₁ . Dado que p ₁ y q ₁ son primos, se deduce que p ₁ = q ₁ . Volviendo a nuestras factorizaciones de n , podemos cancelar estos dos factores para concluir que p ₂ ... p _j = q ₂ ... q _k . Ahora tenemos dos factorizaciones primas distintas de algún número entero estrictamente menor que n , lo que contradice la minimidad de n .

Unicidad sin el lema de Euclides

El teorema fundamental de la aritmética también se puede demostrar sin usar el lema de Euclides. La prueba que sigue está inspirada en la versión original de Euclides del algoritmo euclidiano .

Suponga que es el entero positivo más pequeño que es el producto de números primos de dos formas diferentes. Por cierto, esto implica que , si existe, debe ser un número compuesto mayor que . Ahora di ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} s & = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {m} \\ & = q_ {1} q_ {2} \ cdots q_ {n}. \ end {alineado}} }$

Cada debe ser distinto de cada De lo contrario, si digamos, entonces existiría algún entero positivo que sea más pequeño que sy tenga dos factorizaciones primas distintas. También se puede suponer que intercambiando las dos factorizaciones, si es necesario. ${\ Displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle q_ {j}.}$${\ Displaystyle p_ {i} = q_ {j},}$${\ Displaystyle t = s / p_ {i} = s / q_ {j}}$${\ Displaystyle p_ {1} <q_ {1},}$

Entorno y uno tiene De ello se deduce que ${\ Displaystyle P = p_ {2} \ cdots p_ {m}}$${\ Displaystyle Q = q_ {2} \ cdots q_ {n},}$${\ Displaystyle s = p_ {1} P = q_ {1} Q.}$

${\ Displaystyle (q_ {1} -p_ {1}) Q = p_ {1} (PQ) <s.}$

Como los números enteros positivos menores que s han supone que tiene una factorización prima única, debe ocurrir en la factorización de cualquiera o Q . El último caso es imposible, como Q , siendo menor que s , debe tener una factorización prima única, y se diferencia de todos los El primer caso también es imposible, ya que, si es un divisor de que debe ser también un divisor de que es imposible, ya y son primos distintos. ${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle q_ {1} -p_ {1}}$${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle q_ {j}.}$${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle q_ {1} -p_ {1},}$${\ Displaystyle q_ {1},}$${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle q_ {1}}$

Por lo tanto, no puede existir un número entero más pequeño con más de una factorización prima distinta. Cada entero positivo debe ser un número primo en sí mismo, que se factorizaría de forma única, o un compuesto que también factorizara de forma única en números primos, o en el caso del número entero , no factorizar en ningún primo. ${\ Displaystyle 1}$

Generalizaciones

La primera generalización del teorema se encuentra en la segunda monografía de Gauss (1832) sobre la reciprocidad bicuadrática . Este artículo introdujo lo que ahora se llama el anillo de los enteros gaussianos , el conjunto de todos los números complejos a + bi donde a y b son números enteros. Ahora se denota con He mostró que este anillo tiene las cuatro unidades ± 1 y ± i , que los números distintos de cero y no unitarios se dividen en dos clases, primos y compuestos, y que (excepto por el orden), los compuestos tienen factorización única como producto de números primos. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [i].}$

De manera similar, en 1844 mientras trabajaba en la reciprocidad cúbica , Eisenstein introdujo el anillo , donde es una raíz cúbica de la unidad . Este es el anillo de los enteros de Eisenstein , y demostró que tiene las seis unidades y que tiene una factorización única. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]}$${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}},}$   ${\ Displaystyle \ omega ^ {3} = 1}$${\ Displaystyle \ pm 1, \ pm \ omega, \ pm \ omega ^ {2}}$

Sin embargo, también se descubrió que la factorización única no siempre es válida. Un ejemplo lo da . En este anillo uno tiene ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$

${\ Displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (1 + {\ sqrt {-5}}) (1 - {\ sqrt {-5}}).}$

Ejemplos como este hicieron que se modificara la noción de "primo". En se puede demostrar que si cualquiera de los factores anteriores se puede representar como un producto, por ejemplo, 2 = ab , entonces una de una o b debe ser una unidad. Ésta es la definición tradicional de "principal". También se puede probar que ninguno de estos factores obedece al lema de Euclides; por ejemplo, 2 no divide ni (1 + √ −5 ) ni (1 - √ −5 ) aunque divide su producto 6. En la teoría algebraica de números, 2 se llama irreducible en (solo divisible por sí mismo o una unidad) pero no primo en (si divide un producto, debe dividir uno de los factores). Se requiere la mención de porque 2 es primo e irreducible. Usando estas definiciones se puede probar que en cualquier dominio integral un primo debe ser irreductible. El lema clásico de Euclides puede reformularse como "en el anillo de los números enteros, todo irreducible es primo". Esto también es cierto en y pero no en${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega],}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}].}$

Los anillos en los que la factorización en irreducibles es esencialmente única se denominan dominios de factorización únicos . Ejemplos importantes son los anillos polinomiales sobre los números enteros o sobre un campo , los dominios euclidianos y los dominios ideales principales .

En 1843, Kummer introdujo el concepto de número ideal , que fue desarrollado por Dedekind (1876) en la teoría moderna de los ideales , subconjuntos especiales de anillos. La multiplicación se define por ideales, y los anillos en los que tienen factorización única se denominan dominios de Dedekind .

Existe una versión de factorización única para ordinales , aunque requiere algunas condiciones adicionales para garantizar la singularidad.

Ver también

• Factorización de enteros  : descomposición de un entero en un producto
• Firma  prima: conjunto múltiple de exponentes primos en una factorización prima

Notas

Referencias

The Disquisitiones Arithmeticae se ha traducido del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus artículos sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (traductor al inglés) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Segunda edición corregida) , Nueva York: Springer , ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (traductor al alemán) (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae y otros artículos sobre teoría de números) (segunda edición) , Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Las dos monografías que publicó Gauss sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene §§ 1–23 y la segunda §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos son de la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. N ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Gotinga: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 7

Estos se encuentran en el Werke de Gauss , Vol II, págs. 65-92 y 93-148; Las traducciones alemanas son las págs. 511–533 y 534–586 de la edición alemana de Disquisitiones .

• Baker, Alan (1984), A Concise Introduction to the Theory of Numbers , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
• Euclid (1956), Los trece libros de los elementos , 2 (Libros III-IX), Traducido por Thomas Little Heath (Segunda edición ed. Íntegra), Nueva York: Dover , ISBN 978-0-486-60089-5
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de los números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. Señor  2445243 . Zbl  1159.11001 .
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• Weisstein, Eric W. "Número anormal" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema fundamental de la aritmética" . MathWorld .

enlaces externos

• ¿Por qué no es obvio el teorema fundamental de la aritmética?
• MCD y el teorema fundamental de la aritmética en el corte del nudo .
• PlanetMath: prueba del teorema fundamental de la aritmética
• Blog del último teorema de Fermat: Factorización única , un blog que cubre la historia del último teorema de Fermat desde Diofanto de Alejandría hasta la prueba de Andrew Wiles .
• "Teorema fundamental de la aritmética" por Héctor Zenil, Proyecto de demostraciones Wolfram , 2007.
• Grime, James. "1 y números primos" . Numberphile . Brady Haran .