Entero gaussiano - Gaussian integer

En teoría de números , un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son ambas enteras . Los enteros gaussianos, con la suma y multiplicación ordinarias de números complejos , forman un dominio integral , generalmente escrito como $Z [i]$ . Este dominio integral es un caso particular de un anillo conmutativo de números enteros cuadráticos . No tiene un ordenamiento total que respete la aritmética.

Enteros gaussianos como puntos de celosía en el plano complejo

Definiciones basicas

Los enteros gaussianos son el conjunto

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} [i] = \ {a + bi \ mid a, b \ in \ mathbf {Z} \}, \ qquad {\ text {donde}} i ^ {2} = - 1. }

En otras palabras, un número entero gaussiano es un número complejo de modo que sus partes real e imaginaria son ambas enteras . Dado que los enteros gaussianos se cierran con la suma y la multiplicación, forman un anillo conmutativo , que es un subanillo del campo de números complejos. Por tanto, es un dominio integral .

Cuando se considera dentro del plano complejo , los enteros de Gauss constituyen el $2$ -dimensional celosía número entero .

El conjugado de un entero gaussiano $a + bi$ es el entero gaussiano $a - bi$ .

La norma de un entero gaussiano es su producto con su conjugado.

{\ Displaystyle N (a + bi) = (a + bi) (a-bi) = a ^ {2} + b ^ {2}.}

Por tanto, la norma de un entero gaussiano es el cuadrado de su valor absoluto como número complejo. La norma de un entero gaussiano es un entero no negativo, que es la suma de dos cuadrados . Por tanto, una norma no puede ser de la forma $4 k + 3$ , con $k$ entero.

La norma es multiplicativa , es decir, se tiene

{\ Displaystyle N (zw) = N (z) N (w),}

para cada par de enteros gaussianos $z, w$ . Esto se puede mostrar directamente o usando la propiedad multiplicativa del módulo de números complejos.

Las unidades del anillo de los enteros gaussianos (es decir, los enteros gaussianos cuyo inverso multiplicativo es también un entero gaussiano) son precisamente los enteros gaussianos con norma 1, es decir, 1, –1, $i$ y $- i$ .

División euclidiana

Visualización de la distancia máxima a algún entero gaussiano

Los enteros gaussianos tienen una división euclidiana (división con resto) similar a la de los enteros y polinomios . Esto hace que los enteros gaussianos sean un dominio euclidiano e implica que los enteros gaussianos comparten con los enteros y polinomios muchas propiedades importantes, como la existencia de un algoritmo euclidiano para calcular los máximos divisores comunes , la identidad de Bézout , la propiedad ideal principal , el lema de Euclides , la factorización única. teorema , y el teorema del resto chino , todos los cuales se pueden demostrar usando sólo la división euclidiana.

Un algoritmo de división euclidiana toma, en el anillo de los enteros gaussianos, un dividendo $ay$ $un$ divisor $b \neq 0$ , y produce un cociente $q$ y un resto $r$ tal que

{\ Displaystyle a = bq + r \ quad {\ text {y}} \ quad N (r) <N (b).}

De hecho, se puede hacer que el resto sea más pequeño:

{\ Displaystyle a = bq + r \ quad {\ text {y}} \ quad N (r) \ leq {\ frac {N (b)} {2}}.}

Incluso con esta mejor desigualdad, el cociente y el resto no son necesariamente únicos, pero se puede refinar la elección para garantizar la singularidad.

Para probar esto, se puede considerar el cociente de números complejos $x + iy =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} a/B$ . Hay números enteros únicos $m$ y $n$ tal que $- 1 / 2 < x - m \leq 1 / 2$ y $- 1 / 2 < y - n \leq 1 / 2$ , y así $N (x - m + i (y - n)) \leq 1 / 2$ . Tomando $q = m + in$ , uno tiene

{\ Displaystyle a = bq + r,}

con

{\ Displaystyle r = b {\ bigl (} x-m + i (yn) {\ bigr)},}

y

{\ Displaystyle N (r) \ leq {\ frac {N (b)} {2}}.}

La elección de $x - m$ y $y - n$ en un intervalo semi-abierto se requiere para la unicidad. Esta definición de división euclidiana se puede interpretar geométricamente en el plano complejo (ver la figura), señalando que la distancia desde un número complejo $ξ$ al entero gaussiano más cercano es como máximo $\sqrt 2 / 2$ .

Principales ideales

Dado que el anillo $G$ de los enteros gaussianos es un dominio euclidiano, $G$ es un dominio ideal principal , lo que significa que todo ideal de $G$ es principal . Explícitamente, un ideales $I$ es un subconjunto de un anillo $R$ de tal manera que cada suma de elementos de $I$ y cada producto de un elemento de $I$ por un elemento de $R$ pertenecen a $I$ . Un ideal es principal , si consta de todos los múltiplos de un solo elemento $g$ , es decir, tiene la forma

{\ Displaystyle \ {gx \ mid x \ in G \}.}

En este caso, se dice que el ideal es generado por $go$ que $g$ es un generador del ideal.

Todo ideal $I$ en el anillo de los enteros gaussianos es principal, porque, si se elige en $I$ un elemento $g$ distinto de cero de norma mínima, para cada elemento $x$ de $I$ , el resto de la división euclidiana de $x$ por $g$ pertenece también a $I$ y tiene una norma que es menor que la de $g$ ; debido a la elección de $g$ , esta norma es cero y, por lo tanto, el resto también es cero. Es decir, uno tiene $x = qg$ , donde $q$ es el cociente.

Para cualquier $g$ , el ideal generado por $g$ también lo genera cualquier asociado de $g$ , es decir, $g, gi, - g, - gi$ ; ningún otro elemento genera el mismo ideal. Como todos los generadores de un ideal tienen la misma norma, la norma de un ideal es la norma de cualquiera de sus generadores.

En algunas circunstancias, conviene elegir, de una vez por todas, un generador para cada ideal. Hay dos formas clásicas de hacer eso, ambas considerando primero los ideales de la norma extraña. Si $g = a + bi$ tiene una norma impar $a 2 + b 2$ , entonces uno de $a$ y $b$ es impar y el otro es par. Por tanto, $g$ tiene exactamente un asociado con una parte real $a$ que es impar y positiva. En su artículo original, Gauss hizo otra elección, eligiendo el asociado único de modo que el resto de su división por $2 + 2 i$ sea uno. De hecho, como $N (2 + 2 i) = 8$ , la norma del resto no es mayor que 4. Como esta norma es impar, y 3 no es la norma de un entero gaussiano, la norma del resto es uno, es decir, el resto es una unidad. Al multiplicar $g$ por el inverso de esta unidad, se encuentra un asociado que tiene uno como resto, cuando se divide por $2 + 2 i$ .

Si la norma de $g$ es par, entonces $g = 2 k h$ o $g = 2 k h (1 + i)$ , donde $k$ es un número entero positivo y $N (h)$ es impar. Por lo tanto, se elige el asociado de $g$ para obtener una $h$ que se ajuste a la elección de los asociados para elementos de norma impar.

Primos gaussianos

Como los enteros gaussianos forman un dominio ideal principal , también forman un dominio de factorización único . Esto implica que un entero gaussiano es irreducible (es decir, no es el producto de dos no unidades ) si y solo si es primo (es decir, genera un ideal primo ).

Los elementos primos de $Z [i]$ también se conocen como primos gaussianos . Un asociado de un primo gaussiano es también un primo gaussiano. El conjugado de un primo gaussiano es también un primo gaussiano (esto implica que los primos gaussianos son simétricos con respecto a los ejes real e imaginario).

Un entero positivo es un número primo de Gauss si y solo si es un número primo que es congruente con 3 módulo 4 (es decir, se puede escribir $4 n + 3$ , con $n$ un número entero no negativo) (secuencia A002145 en la OEIS ). Los otros números primos no son primos gaussianos, pero cada uno es el producto de dos primos gaussianos conjugados.

Un entero gaussiano $a + bi$ es un número primo gaussiano si y solo si:

uno de $a, b$ es cero y el valor absoluto del otro es un número primo de la forma $4 n + 3$ (con $n$ un entero no negativo), o
ambos son distintos de cero y $a 2 + b 2$ es un número primo (que no será de la forma $4 n + 3$ ).

En otras palabras, un entero gaussiano es un número primo gaussiano si y solo si su norma es un número primo o es el producto de una unidad ( $\pm 1, \pm i$ ) y un número primo de la forma $4 n + 3$ .

De ello se deduce que hay tres casos para la factorización de un número primo $p$ en los enteros gaussianos:

Si $p$ es congruente con 3 módulo 4, entonces es un primo gaussiano; en el lenguaje de la teoría algebraica de números , se dice que $p$ es inerte en los enteros gaussianos.
Si $p$ es congruente con 1 módulo 4, entonces es el producto de un primo gaussiano por su conjugado, ambos son primos gaussianos no asociados (ninguno es el producto del otro por una unidad); Se dice que $p$ es un número primo descompuesto en los enteros gaussianos. Por ejemplo, $5 = (2 + i) (2 - i)$ y $13 = (3 + 2 i) (3 - 2 i)$ .
Si $p = 2$ , tenemos $2 = (1 + i) (1 - i) = i (1 - i) 2$ ; es decir, 2 es el producto del cuadrado de un primo gaussiano por una unidad; es el primo ramificado único en los enteros gaussianos.

Factorización única

Como para cada dominio de factorización único , cada entero gaussiano puede factorizarse como un producto de una unidad y primos gaussianos, y esta factorización es única hasta el orden de los factores, y el reemplazo de cualquier primo por cualquiera de sus asociados (junto con un cambio correspondiente del factor unitario).

Si se elige, de una vez por todas, un primo gaussiano fijo para cada clase de equivalencia de primos asociados, y si se toman solo estos primos seleccionados en la factorización, se obtiene una factorización prima que es única hasta el orden de los factores. Con las opciones descritas anteriormente , la factorización única resultante tiene la forma

{\ Displaystyle u (1 + i) ^ {e_ {0}} {p_ {1}} ^ {e_ {1}} \ cdots {p_ {k}} ^ {e_ {k}},}

donde $u$ es una unidad (es decir, $u \in {1, -1, i, - i}$ ), $e 0$ y $k$ son enteros no negativos, $e 1,\dots, e k$ son enteros positivos y $p 1,\dots, p k$ son primos gaussianos distintos de modo que, dependiendo de la elección de asociados seleccionados,

ya sea $p k = a k + ib k$ con $un$ impar y positivo, $yb$ par,
o el resto de la división euclidiana de $p k$ por $2 + 2 i$ es igual a 1 (esta es la elección original de Gauss).

Una ventaja de la segunda opción es que los asociados seleccionados se comportan bien bajo productos para enteros gaussianos de norma impar. Por otro lado, el asociado seleccionado para los primos gaussianos reales son enteros negativos. Por ejemplo, la factorización de 231 en los enteros, y con la primera opción de asociados es 3 × 7 × 11 , mientras que es (–1) × (–3) × (–7) × (–11) con el segundo elección.

Racionales gaussianos

El campo de los racionales gaussianos es el campo de las fracciones del anillo de los enteros gaussianos. Consiste en los números complejos cuya parte real e imaginaria son racionales .

El anillo de los enteros gaussianos es el cierre integral de los enteros en los racionales gaussianos.

Esto implica que los enteros gaussianos son enteros cuadráticos y que un racional gaussiano es un entero gaussiano, si y solo si es una solución de una ecuación

{\ Displaystyle x ^ {2} + cx + d = 0,}

con $c$ y $d$ números enteros. De hecho $a + bi$ es la solución de la ecuación

{\ displaystyle x ^ {2} -2ax + a ^ {2} + b ^ {2},}

y esta ecuación tiene coeficientes enteros si y sólo si $una$ y $b$ son ambos números enteros.

Máximo común divisor

Como para cualquier dominio de factorización única , un máximo común divisor (MCD) de dos enteros de Gauss $a, b$ es un número entero de Gauss $d$ que es un divisor común de $un$ y $b$ , que tiene todos los divisores comunes de $una$ y $b$ como divisor. Es decir (donde $|$ denota la relación de divisibilidad ),

$d | una$ y $d | b$ , y
$c | una$ y $c | b$ implica $c | d$ .

Por lo tanto, mayor se refiere a la relación de divisibilidad y no a un orden del anillo (para números enteros, ambos significados de mayor coinciden).

Más técnicamente, un máximo común divisor de $un$ y $b$ es un generador de la ideales generada por $una$ y $b$ (esta caracterización es válido para dominios de ideal principal , pero no, en general, para los dominios de factorización única).

El máximo común divisor de dos enteros gaussianos no es único, sino que se define hasta la multiplicación por una unidad . Es decir, dado un máximo común divisor $d$ de $un$ y $b$ , el máximo común divisor de $un$ y $b$ son $d, - d, ID$ , y $- ID$ .

Hay varias maneras para el cálculo de un máximo común divisor de dos enteros de Gauss $una$ y $b$ . Cuando se conocen los factores primos de $un$ y $b$ ,

{\ Displaystyle a = i ^ {k} \ prod _ {m} {p_ {m}} ^ {\ nu _ {m}}, \ quad b = i ^ {n} \ prod _ {m} {p_ { m}} ^ {\ mu _ {m}},}

donde los números primos $p m$ no están asociados por pares y los exponentes $μ m$ no están asociados, un máximo común divisor es

{\ Displaystyle \ prod _ {m} {p_ {m}} ^ {\ lambda _ {m}},}

con

{\ Displaystyle \ lambda _ {m} = \ min (\ nu _ {m}, \ mu _ {m}).}

Desafortunadamente, excepto en casos simples, la factorización prima es difícil de calcular y el algoritmo euclidiano conduce a un cálculo mucho más fácil (y rápido). Este algoritmo consiste en reemplazar la entrada $(a, b)$ por $(b, r)$ , donde $r$ es el resto de la división euclidiana de $a$ por $b$ , y repetir esta operación hasta obtener un resto cero, que es un par $(d, 0)$ . Este proceso termina porque, en cada paso, la norma del segundo entero gaussiano disminuye. El resultante $d$ es un divisor común más grande, debido a que (en cada paso) $b$ y $r = un - bq$ tienen los mismos divisores como $un$ y $b$ , y por tanto el mismo máximo común divisor.

Este método de cálculo funciona siempre, pero no es tan simple como para los números enteros porque la división euclidiana es más complicada. Por lo tanto, a menudo se prefiere un tercer método para los cálculos escritos a mano. Consiste en señalando que la norma $N (d)$ del máximo común divisor de $un$ y $b$ es un divisor común de $N (un)$ , $N (b)$ , y $N (un + b)$ . Cuando el máximo común divisor $D$ de estos tres números enteros tiene pocos factores, entonces es fácil de probar, por divisor común, todos los enteros de Gauss con una norma que divide $D$ .

Por ejemplo, si $a = 5 + 3 i$ , y $b = 2 - 8 i$ , uno tiene $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ y $N (a + b) = 74$ . Como el máximo común divisor de los tres normas es 2, el máximo común divisor de $un$ y $b$ tiene 1 o 2 como una norma. Como un entero gaussiano de norma 2 está asociado necesario $1 + i$ , y como $1 + i$ divide $una$ y $b$ , entonces el máximo común divisor es $1 + i$ .

Si $b$ se reemplaza por su conjugado $b = 2 + 8 i$ , entonces el máximo común divisor de las tres normas es 34, la norma de $a$ , por lo que se puede suponer que el máximo común divisor es $a$ , es decir, que $a | b$ . De hecho, uno tiene $2 + 8 i = (5 + 3 i) (1 + i)$ .

Congruencias y clases de residuos

Dado un entero gaussiano $z 0$ , llamado módulo , dos enteros gaussianos $z 1, z 2$ son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia es un múltiplo de $z 0$ , es decir, si existe un entero gaussiano $q$ tal que $z 1 - z 2 = qz 0$ . En otras palabras, dos enteros gaussianos son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia pertenece al ideal generado por $z 0$ . Esto se denota como $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ .

La congruencia módulo $z 0$ es una relación de equivalencia (también llamada relación de congruencia ), que define una partición de los enteros gaussianos en clases de equivalencia , denominadas aquí clases de congruencia o clases de residuos . El conjunto de las clases de residuos se denota generalmente $Z [i] / z 0 Z [i]$ , o $Z [i] / ⟨ z 0 ⟩$ , o simplemente $Z [i] / z 0$ .

La clase de residuo de un entero gaussiano $a$ es el conjunto

{\ Displaystyle {\ bar {a}}: = \ left \ {z \ in \ mathbf {Z} [i] \ mid z \ equiv a {\ pmod {z_ {0}}} \ right \}}

de todos los enteros gaussianos que son congruentes con $a$ . De ello se deduce que $a = b$ si y solo si $a \equiv b (mod z 0)$ .

La suma y la multiplicación son compatibles con las congruencias. Esto significa que $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ y $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ implican $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod z 0)$ y $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (mod z 0)$ . Esto define operaciones bien definidas (que es independiente de la elección de representantes) en las clases de residuos:

{\ Displaystyle {\ bar {a}} + {\ bar {b}}: = {\ overline {a + b}} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ bar {a}} \ cdot { \ bar {b}}: = {\ overline {ab}}.}

Con estas operaciones, las clases de residuos forman un anillo conmutativo , el anillo cociente de los enteros gaussianos por el ideal generado por $z 0$ , que también se denomina tradicionalmente anillo de clases de residuos módulo $z 0$ (para más detalles, consulte Anillo de cociente ).

Ejemplos de

Hay exactamente dos clases de residuos para el módulo $1 + i$ , a saber, $0 = {0, \pm 2, \pm 4,\dots, \pm 1 \pm i, \pm 3 \pm i,\dots}$ (todos los múltiplos de $1 + i$ ) y $1 = {\pm 1, \pm 3, \pm 5,\dots, \pm i, \pm 2 \pm i,\dots}$ , que forman un patrón de tablero de ajedrez en el plano complejo. Estas dos clases forman así un anillo con dos elementos, que es, de hecho, un campo , el campo único (hasta un isomorfismo) con dos elementos, y por lo tanto puede identificarse con los números enteros módulo 2 . Estas dos clases pueden considerarse como una generalización de la partición de enteros en enteros pares e impares. Así, uno puede hablar de incluso y impares enteros de Gauss (Gauss divide incluso enteros de Gauss en incluso , que es divisible por 2, y un medio de equilibrio ).
Para el módulo 2 hay cuatro clases de residuos, a saber $,$ $0, 1, i, 1 + i$ . Éstos forman un anillo con cuatro elementos, en el que $x = - x$ para cada $x$ . Por tanto, este anillo no es isomorfo con el anillo de números enteros módulo 4, otro anillo con cuatro elementos. Uno tiene $1 + i 2 = 0$ , por lo que este anillo no es el campo finito con cuatro elementos, ni el producto directo de dos copias del anillo de números enteros módulo 2.
Para el módulo $2 + 2i = (i - 1) 3$ hay ocho clases de residuos, a saber, $0, \pm 1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , de las cuales cuatro contienen solo enteros gaussianos pares y cuatro contienen solo enteros gaussianos impares.

Descripción de clases de residuos

Las 13 clases de residuos con sus residuos mínimos (puntos azules) en el cuadrado

Q 00

(fondo verde claro) para el módulo

z 0 = 3 + 2 i

. Una clase de residuo con

z = 2 - 4 i \equiv - i (mod z 0)

se resalta con puntos amarillos / naranjas.

Dado un módulo $z 0$ , todos los elementos de una clase de residuo tienen el mismo resto para la división euclidiana por $z 0$ , siempre que se utilice la división con cociente y resto únicos, que se describe anteriormente . Por tanto, enumerar las clases de residuos equivale a enumerar los posibles residuos. Esto se puede hacer geométricamente de la siguiente manera.

En el plano complejo , se puede considerar una cuadrícula , cuyos cuadrados están delimitados por las dos líneas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {s} & = \ left \ {\ left.z_ {0} \ left (s - {\ tfrac {1} {2}} + ix \ right) \ right \ vert x \ in \ mathbf {R} \ right \} \ quad {\ text {y}} \\ H_ {t} & = \ left \ {\ left.z_ {0} \ left (x + i \ left (t - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ right) \ right \ vert x \ in \ mathbf {R} \ right \}, \ end {alineado}}}

con $s$ y $t$ enteros (líneas azules en la figura). Estos dividen el plano en el semi-abierta cuadrados (donde $m$ y $n$ son números enteros)

{\ Displaystyle Q_ {mn} = \ left \ {(s + it) z_ {0} \ left \ vert s \ in \ left [m - {\ tfrac {1} {2}}, m + {\ tfrac {1 } {2}} \ right), t \ in \ left [n - {\ tfrac {1} {2}}, n + {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ right. \ Right \}. }

Los intervalos semiabiertos que ocurren en la definición de $Q mn$ se han elegido para que cada número complejo pertenezca exactamente a un cuadrado; es decir, los cuadrados $Q mn$ forman una partición del plano complejo. Uno tiene

{\ Displaystyle Q_ {mn} = (m + adentro) z_ {0} + Q_ {00} = \ left \ {(m + adentro) z_ {0} + z \ mid z \ in Q_ {00} \ right \ }.}

Esto implica que todo entero gaussiano es congruente módulo $z 0$ con un entero gaussiano único en $Q 00$ (el cuadrado verde de la figura), que es el resto de la división por $z 0$ . En otras palabras, cada clase de residuo contiene exactamente un elemento en $Q 00$ .

Los enteros gaussianos en $Q 00$ (o en su límite ) a veces se denominan residuos mínimos porque su norma no es mayor que la norma de cualquier otro entero gaussiano en la misma clase de residuos (Gauss los llamó residuos absolutamente más pequeños ).

De esto se puede deducir por consideraciones geométricas, que el número de clases de residuos módulo un entero gaussiano $z 0 = a + bi$ es igual a su norma $N (z 0) = a 2 + b 2$ (ver más abajo para una prueba; de manera similar, para enteros , el número de clases de residuos módulo $n$ es su valor absoluto $| n |$ ).

Prueba -

La relación $Q mn = (m + en) z 0 + Q 00$ significa que todos los $Q mn$ se obtienen de $Q 00$ por la traducción de ella por un número entero de Gauss. Esto implica que todos $Q mn$ tienen la misma área $N = N (z 0)$ y contienen el mismo número $n g$ de enteros gaussianos.

Generalmente, el número de puntos de la cuadrícula (aquí los enteros gaussianos) en un cuadrado arbitrario con el área $A$ es $A + Θ (\sqrt A)$ (ver Big theta para la notación). Si se considera un cuadrado grande que consta de $k \times k$ cuadrados $Q mn$ , entonces contiene $k 2 N + O (k \sqrt N)$ puntos de la cuadrícula. Sigue $k 2 n g = k 2 N + Θ (k \sqrt N)$ , y por lo tanto $n g = N + Θ (\sqrt N / k)$ , después de una división por $k 2$ . Tomando el límite cuando $k$ tiende al infinito da $n g = N = N (z 0)$ .

Campos de clase de residuo

La clase de residuo anillo módulo a entero gaussiano $z 0$ es un campo si y solo si es un número primo gaussiano. ${\ Displaystyle z_ {0}}$

Si $z 0$ es un primo descompuesto o el primo ramificado $1 + i$ (es decir, si su norma $N (z 0)$ es un número primo, que es 2 o un primo congruente con 1 módulo 4), entonces el campo de clase de residuo tiene un número primo de elementos (es decir, $N (z 0)$ ). Por tanto, es isomorfo al campo de los números enteros módulo $N (z 0)$ .

Si, por otro lado, $z 0$ es un primo inerte (es decir, $N (z 0) = p 2$ es el cuadrado de un número primo, que es congruente con 3 módulo 4), entonces el campo de clase de residuo tiene $p 2$ elementos, y es una extensión del grado 2 (único, hasta un isomorfismo) del campo primo con $p$ elementos (los enteros módulo $p$ ).

Grupo de clases de residuos primitivos y función totient de Euler

Muchos teoremas (y sus demostraciones) para módulos de números enteros pueden transferirse directamente a módulos de números enteros gaussianos, si se reemplaza el valor absoluto del módulo por la norma. Esto es válido especialmente para el grupo de clases de residuos primitivos (también llamado grupo multiplicativo de enteros módulo $n$ ) y la función totient de Euler . El grupo de clases de residuos primitivos de un módulo $z$ se define como el subconjunto de sus clases de residuos, que contiene todas las clases de residuos $a$ que son coprimas $az$ , es decir $(a, z) = 1$ . Obviamente, este sistema construye un grupo multiplicativo . El número de sus elementos se denotará por $ϕ (z)$ (análogamente a la función totient de Euler $φ (n)$ para enteros $n$ ).

Para los primos gaussianos, se sigue inmediatamente que $ϕ (p) = | p | 2 - 1$ y para enteros de Gauss compuestos arbitrarios

{\ Displaystyle z = i ^ {k} \ prod _ {m} {p_ {m}} ^ {\ nu _ {m}}}

La fórmula del producto de Euler se puede derivar como

{\ Displaystyle \ phi (z) = \ prod _ {m \, (\ nu _ {m}> 0)} | {p_ {m}} ^ {\ nu _ {m}} | ^ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {| p_ {m} | ^ {2}}} \ derecha) = | z | ^ {2} \ prod _ {p_ {m} | z} \ izquierda (1- { \ frac {1} {| p_ {m} | ^ {2}}} \ right)}

donde el producto se construirá sobre todos los divisores primos $p m$ de $z$ (con $ν m > 0$ ). También el importante teorema de Euler se puede transferir directamente:

Para todo

a

con

(a, z) = 1

, se sostiene que

a ϕ (z) \equiv 1 (mod z)

.

Antecedentes históricos

El anillo de los enteros gaussianos fue introducido por Carl Friedrich Gauss en su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica (1832). El teorema de la reciprocidad cuadrática (que había logrado demostrar por primera vez en 1796) relaciona la solubilidad de la congruencia $x 2 \equiv q (mod p)$ con la de $x 2 \equiv p (mod q)$ . De manera similar, la reciprocidad cúbica relaciona la solubilidad de $x 3 \equiv q (mod p)$ con la de $x 3 \equiv p (mod q)$ , y la reciprocidad bicuadrática (o cuártica) es una relación entre $x 4 \equiv q (mod p)$ y $x 4 \equiv p (mod q)$ . Gauss descubrió que la ley de la reciprocidad bicuadrática y sus suplementos se enunciaban y probaban más fácilmente como afirmaciones sobre "números enteros complejos" (es decir, los enteros gaussianos) que como afirmaciones sobre números enteros ordinarios (es decir, los enteros).

En una nota a pie de página, señala que los números enteros de Eisenstein son el dominio natural para enunciar y probar resultados sobre reciprocidad cúbica e indica que extensiones similares de los números enteros son los dominios apropiados para estudiar leyes de reciprocidad superior.

Este artículo no solo presentó los enteros gaussianos y demostró que son un dominio de factorización único, sino que también introdujo los términos norma, unidad, primario y asociado, que ahora son estándar en la teoría algebraica de números.

Problemas no resueltos

La distribución de los pequeños primos gaussianos en el plano complejo

La mayoría de los problemas no resueltos están relacionados con la distribución de números primos gaussianos en el plano.

El problema del círculo de Gauss no se ocupa de los enteros gaussianos per se, sino que pide el número de puntos de la red dentro de un círculo de un radio dado centrado en el origen. Esto es equivalente a determinar el número de enteros gaussianos con norma menor que un valor dado.

También hay conjeturas y problemas sin resolver acerca de los números primos gaussianos. Dos de ellos son:

Los ejes real e imaginario tienen el conjunto infinito de primos gaussianos 3, 7, 11, 19, ... y sus asociados. ¿Hay otras líneas que tengan infinitos números primos gaussianos? En particular, ¿hay infinitos números primos gaussianos de la forma $1 + ki$ ?
¿Es posible caminar hasta el infinito usando los números primos gaussianos como escalones y dando pasos de una longitud uniformemente acotada? Esto se conoce como el problema del foso gaussiano ; fue planteado en 1962 por Basil Gordon y sigue sin resolverse.

Ver también

Entero algebraico
Campo ciclotómico
Entero de Eisenstein
Eisenstein prima
Cuaternión de Hurwitz
Demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
Pruebas de reciprocidad cuadrática
Entero cuadrático
La división de los ideales primos en las extensiones de Galois describe la estructura de los ideales primarios en los enteros gaussianos.
Tabla de factorizaciones de enteros gaussianos

Notas

Referencias

CF Gauss (1831) "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda". , Com. Soc. Reg. Sci. Gotinga 7 : 89-148; reimpreso en Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, págs. 93-148. Una traducción al alemán de este documento está disponible en línea en ″ H. Maser (ed.): Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik de Carl Friedrich Gauss. Springer, Berlín 1889, págs. 534 ”.

Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
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enlaces externos

Texto del compendio de la OMI sobre extensiones cuadráticas y enteros gaussianos en la resolución de problemas
Keith Conrad, Los enteros gaussianos .

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