Entero de Eisenstein - Eisenstein integer

Enteros de Eisenstein como puntos de intersección de una red triangular en el plano complejo

En matemáticas , los enteros de Eisenstein (llamados así por Gotthold Eisenstein ), ocasionalmente también conocidos como enteros eulerianos (por Leonhard Euler ), son números complejos de la forma

donde un y b son números enteros y

es una raíz cúbica de unidad primitiva (por lo tanto, no real) . Los enteros de Eisenstein forman un retículo triangular en el plano complejo , en contraste con los enteros gaussianos , que forman un retículo cuadrado en el plano complejo. Los enteros de Eisenstein son un conjunto infinito numerable .

Propiedades

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el campo numérico algebraico , el tercer campo ciclotómico . Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos, tenga en cuenta que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico  

En particular, ω satisface la ecuación

El producto de dos enteros de Eisenstein a + bω y c + dω viene dado explícitamente por     

La norma de un entero de Eisenstein es solo el cuadrado de su módulo , y está dada por

que es claramente un entero ordinario (racional) positivo.

Además, el complejo conjugado de ω satisface

El grupo de unidades en este anillo es el grupo cíclico formado por las sextas raíces de la unidad en el plano complejo: los enteros de Eisenstein de la norma 1.

Números primos de Eisenstein

Pequeños números primos de Eisenstein.

Si x e y son números enteros de Eisenstein, decimos que x divide y si hay algún Eisenstein número entero z tal que y = zx . Un entero de Eisenstein no unitario x se dice que es un número primo de Eisenstein si sus únicos divisores no unitarios son de la forma ux , donde u es cualquiera de las seis unidades.

Hay dos tipos de números primos de Eisenstein. Primero, un número primo ordinario (o primo racional ) que es congruente con 2 mod 3 también es un número primo de Eisenstein. En segundo lugar, 3 y cualquier primo racional congruente con 1 mod 3 es igual a la norma x 2 - xy + y 2 de un entero de Eisentein x + ωy . Por lo tanto, tal número primo puede factorizarse como ( x + ωy ) ( x + ω 2 y ) , y estos factores son números primos de Eisenstein: son precisamente los números enteros de Eisenstein cuya norma es un primo racional.

Dominio euclidiano

El anillo de números enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N está dada por el módulo cuadrado, como se muestra arriba:

Un algoritmo de división , aplicado a cualquier dividendo y divisor , da un cociente y un resto más pequeños que el divisor, satisfaciendo:

Aquí están todos los números enteros de Eisenstein. Este algoritmo implica el algoritmo euclidiano , que prueba el lema de Euclides y la factorización única de los números enteros de Eisenstein en números primos de Eisenstein.

Un algoritmo de división es el siguiente. Primero realiza la división en el campo de números complejos y escribe el cociente en términos de ω:

por racional . Luego, obtenga el cociente de números enteros de Eisenstein redondeando los coeficientes racionales al número entero más cercano:

Aquí puede denotar cualquiera de las funciones estándar de redondeo a entero.

La razón por la que esto satisface , mientras que el procedimiento análogo falla para la mayoría de los otros anillos enteros cuadráticos , es la siguiente. Un dominio fundamental para el ideal , que actúa por traslaciones en el plano complejo, es el rombo de 60 ° -120 ° con vértices . Cualquier entero de Eisenstein α se encuentra dentro de una de las traslaciones de este paralelogramo, y el cociente es uno de sus vértices. El resto es la distancia al cuadrado de α a este vértice, pero la distancia máxima posible en nuestro algoritmo es solo , entonces . (El tamaño de ρ podría reducirse ligeramente tomando como la esquina más cercana).

Cociente de C por los enteros de Eisenstein

El cociente del plano complejo C por la red que contiene todos los enteros de Eisenstein es un toro complejo de dimensión real 2. Este es uno de los dos toros con simetría máxima entre todos esos toros complejos. Este toro se puede obtener identificando cada uno de los tres pares de bordes opuestos de un hexágono regular. (El otro toro simétrico máximo es el cociente del plano complejo por la red aditiva de los enteros gaussianos , y se puede obtener identificando cada uno de los dos pares de lados opuestos de un dominio fundamental cuadrado, como [0,1] × [ 0,1] .)

Ver también

Notas

enlaces externos