Heptadecágono - Heptadecagon

Heptadecágono regular
Un heptadecágono regular
Escribe	Polígono regular
Aristas y vértices	17
Símbolo de Schläfli	{17}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diedro (D 17 ), orden 2 × 17
Ángulo interno ( grados )	≈158.82 °
Polígono dual	Uno mismo
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría , un heptadecágono o 17 gon es un polígono de diecisiete lados . Otro nombre menos conocido para un polígono con 17 lados es Deceptagon.

Heptadecágono regular

Un heptadecágono regular está representado por el símbolo Schläfli {17}.

Construcción

Publicación de C. F. Gauss en Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung

Como 17 es un número primo de Fermat , el heptadecágono regular es un polígono construible (es decir, uno que se puede construir con un compás y una regla sin marcar ): esto lo demostró Carl Friedrich Gauss en 1796 a la edad de 19 años. primer progreso en la construcción de polígonos regulares en más de 2000 años. La prueba de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresibilidad de las funciones trigonométricas del ángulo común en términos de operaciones aritméticas y extracciones de raíces cuadradas , y en segundo lugar en su prueba de que esto se puede hacer si los factores primos impares de , el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, que tienen la forma de algún entero no negativo . Por tanto, construir un heptadecágono regular implica hallar el coseno de en términos de raíces cuadradas, lo que implica una ecuación de grado 17, un primo de Fermat. El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae da esto como (en notación moderna): ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle F_ {n} = 2 ^ {2 ^ {n}} + 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 \ pi / 17}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 16 \, \ cos {\ frac {2 \ pi} {17}} = & - 1 + {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt { 17}}}} + \\ & 2 {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 { \ sqrt {17}}}}}} \\ = & - 1 + {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + \\ & 2 {\ sqrt {17 +3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {170 + 38 {\ sqrt {17}}}}}}. \ End {alineado}}}$

Construcción gaussiana del heptadecágono regular.

Euclides había dado construcciones para el triángulo regular , pentágono , pentadecágono y polígonos con 2 ^h veces más lados, pero las construcciones basadas en los números primos de Fermat distintos de 3 y 5 eran desconocidas para los antiguos. (Los únicos números primos de Fermat conocidos son F _n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537).

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por Herbert William Richmond en 1893. El siguiente método de construcción usa círculos de Carlyle , como se muestra a continuación. Basado en la construcción del 17-gon regular, uno puede construir fácilmente n -gons siendo n el producto de 17 con 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: un 51-gon regular, 85-gon o 255 -gon y cualquier n -gon regular con 2 ^h veces más lados.

Construcción según Duane W.DeTemple con círculos de Carlyle, animación 1 min 57 s

Otra construcción del heptadecágono regular usando regla y compás es la siguiente:

TP Stowell de Rochester, NY, respondió a la Consulta de WE Heal, Wheeling, Indiana en The Analyst en el año 1874:

"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Dibuja el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, toma OQ igual a la mitad y OD igual a la octava parte del radio: haz DE y DF cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente iguales a EQ y FQ; tome OK una media proporcional entre OH y OQ, y a través de K, dibuje KM paralelo a AB, encontrando el semicírculo descrito en OG en M; dibuje MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N - el arco AN es la decimoséptima parte de toda la circunferencia ".

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Agregado: "tome OK una media proporcional entre OH y OQ"

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Agregado: "tome OK una media proporcional entre OH y OQ" , animación

El siguiente diseño simple proviene de Herbert William Richmond del año 1893:

"DEJE OA, OB (fig. 6) ser dos radios perpendiculares de un círculo. Haga OI un cuarto de OB y ​​el ángulo OIE un cuarto de OIA; también encuentre en OA producido un punto F tal que EIF sea 45 ° .Deje que el círculo en AF como diámetro corte OB en K, y deje que el círculo cuyo centro es E y radio EK corte OA en N ₃ y N ₅ ; luego, si las ordenadas N ₃ P ₃ , N ₅ P ₅ se dibujan en el círculo , los arcos AP ₃ , AP ₅ serán 3/17 y 5/17 de la circunferencia ".

• El punto N ₃ está muy cerca del punto central del teorema de Thales sobre AF.

Construcción según HW Richmond

Construcción según HW Richmond como animación

La siguiente construcción es una variación de la construcción de HW Richmond.

Las diferencias con el original:

• El círculo k ₂ determina el punto H en lugar de la bisectriz w ₃ .
• El círculo k ₄ alrededor del punto G '(reflexión del punto G en m) produce el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción de la tangente.
• Algunos nombres han sido cambiados.

Heptadecágono en principio según HW Richmond, una variación del diseño con respecto al punto N

Otra construcción más reciente la da Callagy.

Simetría

Simetrías de un heptadecágono regular. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Las líneas de espejo azul se dibujan a través de vértices y bordes. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El heptadecágono regular tiene simetría Dih ₁₇ , orden 34. Dado que 17 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclico : Z ₁₇ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el heptadecágono. John Conway los etiqueta por orden de letra y grupo. La simetría completa de la forma regular es r34 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.

La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g17 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Polígonos relacionados

Heptadecagramas

Un heptadecagrama es un polígono estelar de 17 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17 / 8}. Dado que 17 es un número primo, todos estos son estrellas regulares y no cifras compuestas.

Fotografía	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
Angulo interior	≈137.647 °	≈116.471 °	≈95.2941 °	≈74.1176 °	≈52,9412 °	≈31.7647 °	≈10.5882 °

Polígonos de Petrie

El heptadecágono regular es el polígono de Petrie para un politopo convexo regular de dimensiones superiores, proyectado en una proyección ortogonal sesgada :

16 simplex (16D)

Referencias

Otras lecturas

• Dunham, William (septiembre de 1996). "1996: un triple aniversario" . Horizontes de matemáticas . 4 : 8-13. doi : 10.1080 / 10724117.1996.11974982 . Consultado el 6 de diciembre de 2009 .
• Klein, Felix y col. Problemas famosos y otras monografías . - Describe el aspecto algebraico, por Gauss.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Heptadecagon" . MathWorld . Contiene una descripción de la construcción.
• "Construyendo el Heptadecágono" . MathPages.com .
• Funciones trigonométricas del heptadecágono
• Vídeo de la BBC del nuevo centro de I + D para SolarUK
• Eisenbud, David . "El Heptadecágono asombroso (17-gon)" (Video) . Brady Haran . Consultado el 2 de marzo de 2015 .