Teorema de Kronecker-Weber - Kronecker–Weber theorem

En la teoría algebraica de números , se puede demostrar que todo campo ciclotómico es una extensión abeliana del campo numérico racional Q , que tiene el grupo de Galois de la forma . El teorema de Kronecker-Weber proporciona una inversa parcial: cada extensión abeliana finita de Q está contenida dentro de algún campo ciclotómico. En otras palabras, todo entero algebraico cuyo grupo de Galois sea abeliano puede expresarse como una suma de raíces de unidad con coeficientes racionales. Por ejemplo, ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {5}} = e ^ {2 \ pi i / 5} -e ^ {4 \ pi i / 5} -e ^ {6 \ pi i / 5} + e ^ {8 \ pi i / 5},}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-3}} = e ^ {2 \ pi i / 3} -e ^ {4 \ pi i / 3},}$ y ${\ Displaystyle {\ sqrt {3}} = e ^ {\ pi i / 6} -e ^ {5 \ pi i / 6}.}$

El teorema lleva el nombre de Leopold Kronecker y Heinrich Martin Weber .

Formulación de teoría de campo

El teorema de Kronecker-Weber se puede enunciar en términos de campos y extensiones de campo . Precisamente, el teorema de Kronecker-Weber establece: toda extensión abeliana finita de los números racionales Q es un subcampo de un campo ciclotómico. Es decir, siempre que un campo numérico algebraico tiene un grupo de Galois sobre Q que es un grupo abeliano , el campo es un subcampo de un campo obtenido al unir una raíz de unidad a los números racionales.

Para una extensión abeliana dada K de Q hay un campo ciclotómico mínimo que lo contiene. El teorema permite definir el conductor de K como el número entero más pequeño n tal que K se encuentra dentro del campo generado por las n -ésimas raíces de la unidad. Por ejemplo, los campos cuadráticos tienen como conductor el valor absoluto de su discriminante , hecho generalizado en la teoría de campos de clases .

Historia

El teorema fue enunciado por primera vez por Kronecker  ( 1853 ), aunque su argumento no estaba completo para extensiones de grado a potencia de 2. Weber  ( 1886 ) publicó una demostración, pero esta tenía algunas lagunas y errores que fueron señalados y corregidos por Neumann (1981). ) . La primera prueba completa fue dada por Hilbert  ( 1896 ).

Generalizaciones

Lubin y Tate ( 1965 , 1966 ) demostraron el teorema local de Kronecker-Weber que establece que cualquier extensión abeliana de un campo local puede construirse utilizando extensiones ciclotómicas y extensiones de Lubin-Tate . Hazewinkel ( 1975 ), Rosen ( 1981 ) y Lubin ( 1981 ) dieron otras pruebas.

El duodécimo problema de Hilbert pide generalizaciones del teorema de Kronecker-Weber a campos base distintos de los números racionales, y pide los análogos de las raíces de la unidad para esos campos. La teoría de campos de clases ofrece un enfoque diferente a las extensiones abelianas .

Referencias

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