Función elemental - Elementary function

En matemáticas , una función elemental es una función de una sola variable (típicamente real o compleja ) que se define tomando sumas , productos y composiciones de un número finito de funciones polinomiales , racionales , trigonométricas , hiperbólicas y exponenciales , incluidas posiblemente sus funciones inversas. (por ejemplo, arcsin , log o x ^{1 / n} ).

Las funciones elementales fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos de 1833 a 1841. Joseph Fels Ritt inició un tratamiento algebraico de las funciones elementales en la década de 1930.

Ejemplos de

Ejemplos básicos

Las funciones elementales de una sola variable $x$ incluyen:

Funciones constantes : etc. ${\ Displaystyle 2, \ \ pi, \ e,}$
Funciones de potencia : etc. ${\ Displaystyle x, \ x ^ {2}, \ x ^ {3},}$
Función de raíz cuadrada : ${\ Displaystyle {\ sqrt {x}}}$
$n$ º funciones de la raíz : etc. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}, \ {\ sqrt [{4}] {x}},}$
Funciones exponenciales : ${\ Displaystyle e ^ {x}, \ a ^ {x}}$
Logaritmos : ${\ Displaystyle \ ln x, \ \ log _ {a} x}$
Funciones trigonométricas : etc. ${\ Displaystyle \ sin x, \ \ cos x, \ \ tan x,}$
Funciones trigonométricas inversas : etc. ${\ Displaystyle \ arcsin x, \ \ arccos x,}$
Funciones hiperbólicas : etc. ${\ Displaystyle \ sinh x, \ \ cosh x,}$
Funciones hiperbólicas inversas : etc. ${\ Displaystyle \ operatorname {arsinh} x, \ \ operatorname {arcosh} x,}$
Todas las funciones obtenidas sumando, restando, multiplicando o dividiendo un número finito de cualquiera de las funciones anteriores
Todas las funciones obtenidas al componer un número finito de cualquiera de las funciones enumeradas anteriormente

Ciertas funciones elementales de una única variable compleja $z$ , como y , pueden tener varios valores . ${\ Displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ Displaystyle \ log z}$

Ejemplos compuestos

Ejemplos de funciones elementales incluyen:

Suma, p. Ej. ( X +1)
Multiplicación, p. Ej. (2 x )
Funciones polinomiales
${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {\ tan x}} {1 + x ^ {2}}} \ sin \ left ({\ sqrt {1 + (\ ln x) ^ {2}}} \ right) }$
${\ Displaystyle -i \ ln \ left (x + i {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}$

La última función es igual a , el coseno inverso , en todo el plano complejo . ${\ Displaystyle \ arccos x}$

Todos los monomios , polinomios y funciones racionales son elementales. Además, la función de valor absoluto , de verdad , también es elemental, ya que puede ser expresado como la composición de una potencia y la raíz de : . ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ textstyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$

Funciones no elementales

Un ejemplo de una función que no es elemental es la función de error

${\ Displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt ,}$

un hecho que puede no ser inmediatamente obvio, pero que puede probarse utilizando el algoritmo de Risch .

Véanse también los ejemplos en la función de Liouvillian y la integral no elemental .

Cierre

Se deduce directamente de la definición que el conjunto de funciones elementales está cerrado bajo operaciones aritméticas y composición. Las funciones elementales se cierran por diferenciación . No se cierran bajo límites y sumas infinitas . Es importante destacar que las funciones elementales no están cerradas bajo integración , como lo muestra el teorema de Liouville , ver Integral no elemental . Las funciones de Liouvillian se definen como las funciones elementales y, recursivamente, las integrales de las funciones de Liouvillian.

Álgebra diferencial

La definición matemática de una función elemental , o una función en forma elemental, se considera en el contexto del álgebra diferencial . Un álgebra diferencial es un álgebra con la operación adicional de derivación (versión algebraica de diferenciación). Usando la operación de derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones se pueden usar en extensiones del álgebra. Al comenzar con el campo de las funciones racionales , se pueden agregar dos tipos especiales de extensiones trascendentales (el logaritmo y la exponencial) al campo que construye una torre que contiene funciones elementales.

Un campo diferencial F es un campo F ₀ (funciones racionales sobre los racionales Q, por ejemplo) junto con un mapa de derivación u → ∂ u . (Aquí ∂ u es una función nueva. A veces se usa la notación u ′). La derivación captura las propiedades de diferenciación, de modo que para dos elementos cualesquiera del campo base, la derivación es lineal

{\ estilo de visualización \ parcial (u + v) = \ parcial u + \ parcial v}

y cumple con la regla de producto de Leibniz

{\ estilo de visualización \ parcial (u \ cdot v) = \ parcial u \ cdot v + u \ cdot \ parcial v \ ,.}

Un elemento h es una constante si ∂h = 0 . Si el campo base está por encima de los racionales, se debe tener cuidado al extender el campo para agregar las constantes trascendentales necesarias.

Una función u de una extensión diferencial F [ u ] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

es algebraico sobre F , o
es un exponencial , es decir, ∂ u = u ∂ a para a ∈ F , o
es un logaritmo , es decir, ∂ u = ∂ un / a para un ∈ F .

(ver también el teorema de Liouville )

Ver también

Notas

Referencias

Liouville, Joseph (1833a). "Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tomo XIV: 124-148.
Liouville, Joseph (1833b). "Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tomo XIV: 149-193.
Liouville, Joseph (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Revista für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
Ritt, Joseph (1950). Álgebra diferencial . AMS .
Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integración en términos finitos". American Mathematical Monthly . 79 (9): 963–972. doi : 10.2307 / 2318066 . JSTOR 2318066 .

Otras lecturas

Davenport, JH: Lo que podría significar "entender una función". En: Kauers, M .; Kerber, M., Miner, R .; Windsteiger, W .: Hacia asistentes matemáticos mecanizados. Springer, Berlín / Heidelberg 2007, pág. 55-65. [1]

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