Función multivalor - Multivalued function

Este diagrama representa una de varios valores, pero no un adecuado (de un solo valor) función , ya que el elemento 3 en X está asociado con dos elementos, b y c , en Y .

En matemáticas , una función de valores múltiples , también llamada multifunción , función multivaluada , función de conjunto de valor , es similar a una función , pero puede asociar varios valores a cada entrada. Más precisamente, una función multivalor desde un dominio X a un codominio Y asocia cada x en X a uno o más valores y en Y ; por tanto, es una relación binaria en serie . Algunos autores permiten que una función multivalor no tenga valor para algunas entradas (en este caso, una función multivalor es simplemente una relación binaria).

Sin embargo, en algunos contextos, como en el análisis complejo ( X = Y = C ), los autores prefieren imitar la teoría de funciones, ya que amplían los conceptos de las funciones ordinarias (de un solo valor). En este contexto, una función ordinaria a menudo se denomina función de un solo valor para evitar confusiones.

El término función multivalor se originó en el análisis complejo, a partir de la continuación analítica . A menudo ocurre que uno conoce el valor de una función analítica compleja en alguna vecindad de un punto . Este es el caso de las funciones definidas por el teorema de la función implícita o por una serie de Taylor alrededor . En tal situación, se puede extender el dominio de la función de valor único a lo largo de curvas en el plano complejo que comienza en . Al hacerlo, se encuentra que el valor de la función extendida en un punto depende de la curva elegida de a ; dado que ninguno de los nuevos valores es más natural que los demás, todos se incorporan a una función multivalor.

Por ejemplo, sea ​​la función de raíz cuadrada habitual en números reales positivos. Uno puede extender su dominio a una vecindad de en el plano complejo, y luego más a lo largo de las curvas que comienzan en , de modo que los valores a lo largo de una curva dada varíen continuamente de . Extendiéndose a números reales negativos, se obtienen dos valores opuestos para la raíz cuadrada, por ejemplo, ± i para –1, dependiendo de si el dominio se ha extendido a través de la mitad superior o inferior del plano complejo. Este fenómeno es muy frecuente y ocurre para las raíces n ésimas , logaritmos y funciones trigonométricas inversas .

Para definir una función de valor único a partir de una función de valor múltiple compleja, se puede distinguir uno de los valores múltiples como el valor principal , produciendo una función de valor único en todo el plano que es discontinua a lo largo de ciertas curvas de contorno. Alternativamente, lidiar con la función multivalor permite tener algo que es continuo en todas partes, a costa de posibles cambios de valor cuando se sigue un camino cerrado ( monodromía ). Estos problemas se resuelven en la teoría de las superficies de Riemann : para considerar una función multivalor como una función ordinaria sin descartar ningún valor, se multiplica el dominio en un espacio de cobertura de muchas capas , una variedad a la que está asociada la superficie de Riemann .

Ejemplos de

  • Todo número real mayor que cero tiene dos raíces cuadradas reales , por lo que la raíz cuadrada puede considerarse una función de varios valores. Por ejemplo, podemos escribir ; A pesar de cero tiene sólo una raíz cuadrada, .
  • Cada distinto de cero número complejo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas , y en general n n th raíces . La única raíz n -ésima de 0 es 0.
  • La función de logaritmo complejo tiene varios valores. Los valores asumidos por para números reales y son para todos los enteros .
  • Las funciones trigonométricas inversas tienen valores múltiples porque las funciones trigonométricas son periódicas. Tenemos
    Como consecuencia, arctan (1) se relaciona intuitivamente con varios valores: π / 4, 5 π / 4, −3 π / 4, y así sucesivamente. Podemos tratar arctan como una función de un solo valor al restringir el dominio de tan x a - π / 2 < x < π / 2 - un dominio sobre el cual tan x aumenta monótonamente. Por lo tanto, el rango de arctan ( x ) se convierte en - π / 2 < y < π / 2 . Estos valores de un dominio restringido se denominan valores principales .
  • La antiderivada se puede considerar como una función multivalor. La antiderivada de una función es el conjunto de funciones cuya derivada es esa función. La constante de integración se deriva del hecho de que la derivada de una función constante es 0.
  • Las funciones hiperbólicas inversas sobre el dominio complejo tienen valores múltiples porque las funciones hiperbólicas son periódicas a lo largo del eje imaginario. Sobre los reales, tienen un valor único, excepto arcosh y arsech.
  • El argmax tiene varios valores, por ejemplo

Todos estos son ejemplos de funciones multivalor que provienen de funciones no inyectivas . Dado que las funciones originales no conservan toda la información de sus entradas, no son reversibles. A menudo, la restricción de una función multivalor es una inversa parcial de la función original.

Las funciones multivalor de una variable compleja tienen puntos de ramificación . Por ejemplo, para las funciones raíz y logaritmo n- ésima, 0 es un punto de ramificación; para la función arcotangente, las unidades imaginarias i y - i son puntos de ramificación. Usando los puntos de ramificación, estas funciones se pueden redefinir para que sean funciones de un solo valor, restringiendo el rango. Se puede encontrar un intervalo adecuado mediante el uso de un corte de rama , una especie de curva que conecta pares de puntos de rama, reduciendo así la superficie de Riemann multicapa de la función a una sola capa. Como en el caso de las funciones reales, el rango restringido puede denominarse rama principal de la función.

Análisis de valores establecidos

El análisis de conjuntos valorados es el estudio de conjuntos en el espíritu del análisis matemático y la topología general .

En lugar de considerar colecciones de solo puntos, el análisis de valores de conjuntos considera colecciones de conjuntos. Si una colección de conjuntos está dotada de una topología o hereda una topología apropiada de un espacio topológico subyacente, entonces se puede estudiar la convergencia de conjuntos.

Gran parte del análisis de valores establecidos surgió a través del estudio de la economía matemática y el control óptimo , en parte como una generalización del análisis convexo ; el término " análisis variacional " es utilizado por autores como R. Tyrrell Rockafellar y Roger JB Wets , Jonathan Borwein y Adrian Lewis , y Boris Mordukhovich . En la teoría de la optimización, la convergencia de la aproximación de subdiferenciales a una subdiferencial es importante para comprender las condiciones necesarias o suficientes para cualquier punto de minimización.

Existen extensiones de valores establecidos de los siguientes conceptos del análisis de valores puntuales: continuidad , diferenciación , integración , teorema de función implícita , mapeos de contracción , teoría de medidas , teoremas de punto fijo , optimización y teoría de grados topológicos .

Las ecuaciones se generalizan a inclusiones .

Tipos de funciones multivalor

Se pueden distinguir múltiples conceptos que generalizan la continuidad , como la propiedad de gráfico cerrado y la hemicontinuidad superior e inferior . También hay varias generalizaciones de medida para multifunciones.

Aplicaciones

Las multifunciones surgen en la teoría de control óptimo , especialmente inclusiones diferenciales y temas relacionados como la teoría de juegos , donde el teorema de punto fijo de Kakutani para multifunciones se ha aplicado para demostrar la existencia de equilibrios de Nash (en el contexto de la teoría de juegos, una función multivalor generalmente se conoce como como correspondencia ). Esta, entre muchas otras propiedades vagamente asociadas con la aproximación de multifunciones hemicontinuas superiores a través de funciones continuas, explica por qué la hemicontinuidad superior es más preferida que la hemicontinuidad inferior.

Sin embargo, las multifunciones semicontinuas inferiores generalmente poseen selecciones continuas como se establece en el teorema de selección de Michael , que proporciona otra caracterización de los espacios paracompactos . Otros teoremas de selección, como la selección continua direccional de Bressan-Colombo , el teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski , la selección medible de Aumann y la selección de Fryszkowski para mapas descomponibles son importantes en el control óptimo y la teoría de inclusiones diferenciales .

En física, las funciones multivalor juegan un papel cada vez más importante. Forman la base matemática para Dirac 's monopolos magnéticos , para la teoría de defectos en los cristales y el resultante plasticidad de materiales, por vórtices en superfluidos y superconductores , y para las transiciones de fase en estos sistemas, por ejemplo de fusión y el confinamiento quark . Son el origen de las estructuras de campo de calibre en muchas ramas de la física.

Contrastar con

Ver también

Referencias

Notas

Otras lecturas