Mapa lineal discontinuo - Discontinuous linear map

En matemáticas , los mapas lineales forman una clase importante de funciones "simples" que conservan la estructura algebraica de los espacios lineales y se utilizan a menudo como aproximaciones a funciones más generales (ver aproximación lineal ). Si los espacios involucrados también son espacios topológicos (es decir, espacios vectoriales topológicos ), entonces tiene sentido preguntarse si todos los mapas lineales son continuos . Resulta que para los mapas definidos en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (por ejemplo, espacios normados de dimensión infinita ), la respuesta es generalmente no: existen mapas lineales discontinuos . Si el dominio de la definición es completo , es más complicado; Se puede probar la existencia de tales mapas, pero la prueba se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito.

Un mapa lineal de un espacio de dimensión finita es siempre continuo

Deje que X y Y sean dos espacios normados y f un mapa lineal de X a Y . Si X es de dimensión finita , elija una base ( e ₁ , e ₂ ,…, e _n ) en X que pueden tomarse como vectores unitarios. Luego,

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i}),}$

y así por la desigualdad del triángulo ,

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | = \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i}) \ right \ | \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ | f (e_ {i}) \ |.}$

Dejando

${\ Displaystyle M = \ sup _ {i} \ {\ | f (e_ {i}) \ | \},}$

y usando el hecho de que

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ leq C \ | x \ |}$

para algún C > 0 que se deriva del hecho de que dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes , se encuentra

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ right) M \ leq CM \ | x \ |.}$

Por tanto, es un operador lineal acotado y, por tanto, es continuo. De hecho, para ver esto, simplemente en cuenta que f es lineal, y por lo tanto por alguna constante universal K . Así, para cualquiera , podemos elegir de modo que ( y están las bolas normativas alrededor de y ), lo que da continuidad. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ | f (x) -f (x ') \ | = \ | f (x-x') \ | \ leq K \ | x-x '\ |}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta \ leq \ epsilon / K}$${\ Displaystyle f (B (x, \ delta)) \ subseteq B (f (x), \ epsilon)}$${\ Displaystyle B (x, \ delta)}$${\ Displaystyle B (f (x), \ epsilon)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x)}$

Si X es de dimensión infinita, esta prueba fallará ya que no hay garantía de que exista el supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, el único mapa entre X e Y es el mapa cero que es trivialmente continuo. En todos los demás casos, cuando X es infinito-dimensional y Y no es el espacio cero, uno puede encontrar un mapa discontinua desde X a Y .

Un ejemplo concreto

Los ejemplos de mapas lineales discontinuos son fáciles de construir en espacios que no están completos; en cualquier secuencia de Cauchy de vectores linealmente independientes que no tiene un límite, hay un operador lineal tal que las cantidades crecen sin límite. En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "huecos". ${\ Displaystyle e_ {i}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ | T (e_ {i}) \ | / \ | e_ {i} \ |}$

Por ejemplo, considere el espacio X de funciones suaves de valor real en el intervalo [0, 1] con la norma uniforme , es decir,

${\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [0,1]} | f (x) |.}$

El mapa de la derivada en un punto , dado por

${\ Displaystyle T (f) = f '(0) \,}$

definida en X y con valores reales, es lineal, pero no continua. De hecho, considere la secuencia

${\ Displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {\ sin (n ^ {2} x)} {n}}}$

para n ≥1. Esta secuencia converge uniformemente a la función constantemente cero, pero

${\ Displaystyle T (f_ {n}) = {\ frac {n ^ {2} \ cos (n ^ {2} \ cdot 0)} {n}} = n \ to \ infty}$

como n → ∞ en lugar de lo que sería válido para un mapa continuo. Tenga en cuenta que T tiene un valor real, por lo que en realidad es un funcional lineal en X (un elemento del espacio dual algebraico X ^* ). El mapa lineal X → X que asigna a cada función su derivada es igualmente discontinuo. Tenga en cuenta que aunque el operador derivado no es continuo, está cerrado . ${\ Displaystyle T (f_ {n}) \ a T (0) = 0}$

El hecho de que el dominio no esté completo aquí es importante. Los operadores discontinuos en espacios completos requieren un poco más de trabajo.

Un ejemplo no constructivo

Una base algebraica para los números reales como un espacio vectorial sobre los racionales se conoce como base de Hamel (tenga en cuenta que algunos autores usan este término en un sentido más amplio para referirse a una base algebraica de cualquier espacio vectorial). Tenga en cuenta que dos números no medibles cualesquiera, digamos 1 y π, son linealmente independientes. Uno puede encontrar una base de Hamel que los contenga y definir un mapa f de R a R de modo que f (π) = 0, f actúa como la identidad en el resto de la base de Hamel y se extiende a todo R por linealidad. Sea { r _n } _n cualquier secuencia de racionales que converja a π. Entonces lim _n f ( r _n ) = π, pero f (π) = 0. Por construcción, f es lineal sobre Q (no sobre R ), pero no continua. Tenga en cuenta que f tampoco es medible ; una función real aditiva es lineal si y solo si es medible, por lo que para cada función de este tipo hay un conjunto Vitali . La construcción de f se basa en el axioma de elección.

Este ejemplo puede extenderse a un teorema general sobre la existencia de mapas lineales discontinuos en cualquier espacio normado de dimensión infinita (siempre que el codominio no sea trivial).

Teorema de existencia general

Se puede demostrar que los mapas lineales discontinuos existen de manera más general, incluso si el espacio es completo. Deje que X y Y sean espacios normados sobre el campo K , donde K = R o K = C . Suponga que X es de dimensión infinita y que Y no es el espacio cero. Encontraremos un mapa lineal discontinuo f de X a K , lo que implicará la existencia de un mapa lineal discontinuo g de X a Y dado por la fórmula g ( x ) = f ( x ) y ₀ donde y ₀ es un arbitrario distinto de cero vector en Y .

Si X es de dimensión infinita, mostrar la existencia de un funcional lineal que no es continuo equivale a construir f que no está acotado. Para que, considere una secuencia ( e _n ) _n ( n ≥ 1) de linealmente independientes vectores en X . Definir

${\ Displaystyle T (e_ {n}) = n \ | e_ {n} \ | \,}$

para cada n = 1, 2, ... Complete esta secuencia de vectores linealmente independientes a una base de espacio vectorial de X , y defina T en los otros vectores en la base para que sea cero. T así definido se extenderá únicamente a un mapa lineal en X , y dado que claramente no está acotado, no es continuo.

Observe que al usar el hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes se puede completar hasta una base, usamos implícitamente el axioma de elección, que no era necesario para el ejemplo concreto de la sección anterior, sino uno.

Papel del axioma de elección

Como se señaló anteriormente, el axioma de elección (AC) se utiliza en el teorema de existencia general de mapas lineales discontinuos. De hecho, no existen ejemplos constructivos de mapas lineales discontinuos con dominio completo (por ejemplo, espacios de Banach ). En el análisis, tal como lo practican habitualmente los matemáticos en activo, siempre se emplea el axioma de elección (es un axioma de la teoría de conjuntos ZFC ); así, para el analista, todos los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita admiten mapas lineales discontinuos.

Por otro lado, en 1970 Robert M. Solovay exhibió un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es medible. Esto implica que no existen funciones reales lineales discontinuas. Claramente AC no se sostiene en el modelo.

El resultado de Solovay muestra que no es necesario asumir que todos los espacios vectoriales de dimensión infinita admiten mapas lineales discontinuos, y hay escuelas de análisis que adoptan un punto de vista más constructivista . Por ejemplo, HG Garnir, al buscar los llamados "espacios de ensueño" (espacios vectoriales topológicos en los que cada mapa lineal en un espacio normado es continuo), fue llevado a adoptar ZF + DC + BP (la elección dependiente es una forma debilitada y la propiedad de Baire es una negación de AC fuerte) como sus axiomas para demostrar el teorema del grafo cerrado de Garnir-Wright que establece, entre otras cosas, que cualquier mapa lineal desde un espacio F a un TVS es continuo. Llegando al extremo del constructivismo , se encuentra el teorema de Ceitin , que establece que toda función es continua (esto debe entenderse en la terminología del constructivismo, según la cual sólo se consideran funciones representables las funciones representables). Estas posturas las mantiene solo una pequeña minoría de matemáticos en activo.

El resultado es que la existencia de mapas lineales discontinuos depende de AC; es consistente con la teoría de conjuntos sin AC que no hay mapas lineales discontinuos en espacios completos. En particular, ninguna construcción concreta como la derivada puede lograr definir un mapa lineal discontinuo en todas partes de un espacio completo.

Operadores cerrados

Muchos operadores discontinuos lineales que ocurren naturalmente son cerrados , una clase de operadores que comparten algunas de las características de los operadores continuos. Tiene sentido preguntar qué operadores lineales en un espacio dado están cerrados. El teorema del grafo cerrado afirma que un operador cerrado definido en todas partes en un dominio completo es continuo, por lo que para obtener un operador cerrado discontinuo, se deben permitir operadores que no estén definidos en todas partes.

Para ser más concreto, sea ​​un mapa de a con dominio , escrito . No perdemos mucho si reemplazamos X por el cierre de . Es decir, al estudiar operadores que no están definidos en todas partes, uno puede restringir la atención a operadores densamente definidos sin pérdida de generalidad. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ operatorname {Dom} (T)}$${\ Displaystyle T: \ operatorname {Dom} (T) \ subseteq X \ to Y}$${\ Displaystyle \ operatorname {Dom} (T)}$

Si la gráfica de está cerrada en X × Y , llamamos a T cerrada . De lo contrario, considerar su cierre en X × Y . Si es en sí mismo el gráfico de algún operador , se denomina cerrable y se denomina cierre de . ${\ Displaystyle \ Gamma (T)}$${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\ Displaystyle {\ overline {T}}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle {\ overline {T}}}$${\ Displaystyle T}$

Entonces, la pregunta natural que se debe hacer acerca de los operadores lineales que no están definidos en todas partes es si se pueden cerrar. La respuesta es, "no necesariamente"; de hecho, todo espacio normado de dimensión infinita admite operadores lineales que no se pueden cerrar. Como en el caso de los operadores discontinuos considerados anteriormente, la demostración requiere el axioma de elección y, por lo tanto, en general no es constructiva, aunque nuevamente, si X no está completo, hay ejemplos construibles.

De hecho, hay incluso un ejemplo de un operador lineal cuya gráfica tiene un cierre de todo de X × Y . Dicho operador no se puede cerrar. Deje que X sea el espacio de funciones polinómicas de [0,1] para R y Y el espacio de funciones polinómicas de [2,3] para R . Son subespacios de C ([0,1]) y C ([2,3]) respectivamente, por lo que son espacios normativos. Defina un operador T que lleve la función polinomial x ↦ p ( x ) en [0,1] a la misma función en [2,3]. Como consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , la gráfica de este operador es densa en X × Y , por lo que esto proporciona una especie de mapa lineal máximamente discontinuo ( no confiere función continua en ninguna parte ). Tenga en cuenta que X no está completo aquí, como debe ser el caso cuando existe un mapa construible de este tipo.

Impacto para espacios duales

El espacio dual de un espacio vectorial topológico es la colección de mapas lineales continuos desde el espacio hasta el campo subyacente. Por lo tanto, el hecho de que algunos mapas lineales no sean continuos para espacios normados de dimensión infinita implica que para estos espacios, es necesario distinguir el espacio dual algebraico del espacio dual continuo que es entonces un subconjunto adecuado. Ilustra el hecho de que se necesita una dosis adicional de precaución al realizar análisis en espacios de dimensión infinita en comparación con los de dimensión finita.

Más allá de los espacios normativos

El argumento a favor de la existencia de mapas lineales discontinuos en espacios normativos se puede generalizar a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables, especialmente a todos los espacios de Fréchet, pero existen espacios vectoriales topológicos localmente convexos de dimensión infinita, de manera que todo funcional es continuo. Por otro lado, el teorema de Hahn-Banach , que se aplica a todos los espacios localmente convexos, garantiza la existencia de muchos funcionales lineales continuos y, por tanto, un gran espacio dual. De hecho, a cada conjunto convexo, el medidor de Minkowski asocia un funcional lineal continuo . El resultado es que los espacios con menos conjuntos convexos tienen menos funcionales y, en el peor de los casos, un espacio puede no tener ningún otro funcional que el funcional cero. Este es el caso de los espacios L ^p ( R , dx ) con 0 <  p  <1, de lo que se deduce que estos espacios no son convexos. Tenga en cuenta que aquí se indica la medida de Lebesgue en la línea real. Hay otros espacios L ^p con 0 <  p  <1 que tienen espacios duales no triviales.

Otro ejemplo de este tipo es el espacio de funciones medibles de valor real en el intervalo unitario con cuasinorma dado por

${\ Displaystyle || f || = \ int _ {I} {\ frac {| f (x) |} {1+ | f (x) |}} dx.}$

Este espacio convexo no local tiene un espacio dual trivial.

Se pueden considerar espacios aún más generales. Por ejemplo, la existencia de un homomorfismo entre grupos métricos separables completos también se puede mostrar de forma no constructiva.

Notas

Referencias

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Ejercicios de análisis funcional , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
• Schechter, Eric, Manual de análisis y sus fundamentos , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .