Constructivismo (filosofía de las matemáticas) - Constructivism (philosophy of mathematics)

En la filosofía de las matemáticas , el constructivismo afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para demostrar que existe un ejemplo. Por el contrario, en la matemática clásica , uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su inexistencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivo implica una interpretación verificatoria del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica.

Hay muchas formas de constructivismo. Estos incluyen el programa de intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivos como CZF y el estudio de la teoría de topos .

El constructivismo se identifica a menudo con el intuicionismo, aunque el intuicionismo es solo un programa constructivista. El intuicionismo sostiene que los fundamentos de las matemáticas se encuentran en la intuición del matemático individual, lo que convierte a las matemáticas en una actividad intrínsecamente subjetiva. Otras formas de constructivismo no se basan en este punto de vista de la intuición y son compatibles con un punto de vista objetivo de las matemáticas.

Matemáticas constructivas

Gran parte de las matemáticas constructivas utilizan la lógica intuicionista , que es esencialmente lógica clásica sin la ley del medio excluido . Esta ley establece que, para cualquier proposición, esa proposición es verdadera o su negación lo es. Esto no quiere decir que la ley del medio excluido se niegue por completo; Se podrán demostrar casos especiales de la ley. Es solo que la ley general no se asume como un axioma . La ley de la no contradicción (que establece que los enunciados contradictorios no pueden ser verdaderos a la vez) sigue siendo válida.

Por ejemplo, en la aritmética de Heyting , se puede probar que para cualquier proposición p que no contenga cuantificadores , es un teorema (donde x , y , z ... son las variables libres en la proposición p ). En este sentido, las proposiciones restringidas a lo finito todavía se consideran verdaderas o falsas, como lo son en las matemáticas clásicas, pero esta bivalencia no se extiende a las proposiciones que se refieren a colecciones infinitas .

De hecho, LEJ Brouwer , fundador de la escuela intuicionista, vio la ley del medio excluido como abstraída de la experiencia finita, y luego aplicada al infinito sin justificación . Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es la afirmación de que todo número par (mayor que 2) es la suma de dos números primos . Es posible probar cualquier número par particular si es o no la suma de dos primos (por ejemplo, mediante una búsqueda exhaustiva), por lo que cualquiera de ellos es la suma de dos primos o no lo es. Y hasta ahora, cada uno de los probados ha sido de hecho la suma de dos números primos.

Pero no hay ninguna prueba conocida de que todos sean así, ni ninguna prueba conocida de que no todos lo sean. Así, para Brouwer, no estamos justificados para afirmar que "o la conjetura de Goldbach es cierta o no lo es". Y aunque la conjetura puede resolverse algún día, el argumento se aplica a problemas similares sin resolver; para Brouwer, la ley del medio excluido equivalía a suponer que todo problema matemático tiene una solución.

Con la omisión de la ley del medio excluido como axioma, el sistema lógico restante tiene una propiedad de existencia que la lógica clásica no tiene: siempre que se prueba de manera constructiva, de hecho se prueba de manera constructiva para (al menos) un particular , a menudo llamado un testigo. Así, la prueba de la existencia de un objeto matemático está ligada a la posibilidad de su construcción.

Ejemplo de análisis real

En el análisis real clásico , una forma de definir un número real es como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales .

En matemáticas constructivas, una forma de construir un número real es como una función ƒ que toma un entero positivo y da como resultado un ƒ ( n ) racional , junto con una función g que toma un entero positivo n y da como resultado un entero positivo g ( n ) tal que

de modo que a medida que n aumenta, los valores de ƒ ( n ) se acercan cada vez más. Podemos utilizar ƒ y g juntos para calcular una aproximación lo más cerca racional como nos gusta el número real que representan.

Bajo esta definición, una representación simple del número real e es:

Esta definición corresponde a la definición clásica que usa secuencias de Cauchy, excepto con un giro constructivo: para una secuencia de Cauchy clásica, se requiere que, para cualquier distancia dada, exista (en un sentido clásico) un miembro en la secuencia después del cual todos los miembros están más juntos que esa distancia. En la versión constructiva, se requiere que, para cualquier distancia dada, sea posible especificar un punto en la secuencia donde esto sucede (esta especificación requerida a menudo se llama módulo de convergencia ). De hecho, la interpretación constructiva estándar del enunciado matemático

es precisamente la existencia de la función que calcula el módulo de convergencia. Por tanto, la diferencia entre las dos definiciones de números reales puede considerarse como la diferencia en la interpretación del enunciado "para todos ... existe ..."

Esto abre la pregunta de qué tipo de función de un conjunto contable a un conjunto contable, como f y g anteriores, se puede construir realmente. Diferentes versiones del constructivismo divergen en este punto. Las construcciones pueden definirse tan ampliamente como secuencias de libre elección , que es la visión intuicionista, o tan estrictamente como los algoritmos (o más técnicamente, las funciones computables ), o incluso dejarse sin especificar. Si, por ejemplo, se toma la visión algorítmica, entonces los reales tal como se construyen aquí son esencialmente lo que clásicamente se llamarían números computables .

Cardinalidad

Tomar la interpretación algorítmica anterior parecería estar en desacuerdo con las nociones clásicas de cardinalidad . Al enumerar algoritmos, podemos mostrar de manera clásica que los números computables son contables. Y, sin embargo, el argumento diagonal de Cantor muestra que los números reales tienen una cardinalidad más alta. Además, el argumento de la diagonal parece perfectamente constructivo. Entonces, identificar los números reales con los números computables sería una contradicción.

Y de hecho, el argumento diagonal de Cantor es constructivo, en el sentido de que dada una biyección entre los números reales y los números naturales, uno construye un número real que no encaja y, por lo tanto, demuestra una contradicción. De hecho, podemos enumerar algoritmos para construir una función T , sobre la cual asumimos inicialmente que es una función de los números naturales a los reales. Pero, a cada algoritmo, puede o no corresponder un número real, ya que el algoritmo puede no satisfacer las restricciones, o incluso no ser terminante ( T es una función parcial ), por lo que esto no produce la biyección requerida. En resumen, quien considera que los números reales son (individualmente) efectivamente computables interpreta que el resultado de Cantor muestra que los números reales (colectivamente) no son recursivamente enumerables .

Aún así, uno podría esperar que dado que T es una función parcial de los números naturales a los números reales, que por lo tanto los números reales no sean más que contables. Y, dado que cada número natural se puede representar trivialmente como un número real, los números reales no son menos que contables. Por tanto, son exactamente contables. Sin embargo, este razonamiento no es constructivo, ya que aún no construye la biyección requerida. El teorema clásico que demuestra la existencia de una biyección en tales circunstancias, a saber, el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , no es constructivo. Recientemente se ha demostrado que el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder implica la ley del medio excluido , por lo que no puede haber prueba constructiva del teorema.

Axioma de elección

El estatus del axioma de elección en las matemáticas constructivas se complica por los diferentes enfoques de los diferentes programas constructivistas. Un significado trivial de "constructivo", utilizado informalmente por los matemáticos, es "demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de la elección". Sin embargo, los defensores de formas más limitadas de matemáticas constructivas afirmarían que ZF en sí mismo no es un sistema constructivo.

En las teorías intuicionistas de la teoría de tipos (especialmente la aritmética de tipo superior), se permiten muchas formas del axioma de elección. Por ejemplo, el axioma AC 11 se puede parafrasear para decir que para cualquier relación R en el conjunto de números reales, si ha demostrado que para cada número real x hay un número real y tal que R ( x , y ) se cumple, entonces existe realmente una función F tal que R ( x , F ( x )) se cumple para todos los números reales. Se aceptan principios de elección similares para todos los tipos finitos. La motivación para aceptar estos principios aparentemente no constructivos es la comprensión intuicionista de la prueba de que "para cada número real x hay un número real y tal que R ( x , y ) se cumple". Según la interpretación de BHK , esta prueba en sí misma es esencialmente la función F que se desea. Los principios de elección que aceptan los intuicionistas no implican la ley del medio excluido .

Sin embargo, en ciertos sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos constructiva, el axioma de elección implica la ley del medio excluido (en presencia de otros axiomas), como lo muestra el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill . Algunas teorías de conjuntos constructivos incluyen formas más débiles del axioma de elección, como el axioma de elección dependiente en la teoría de conjuntos de Myhill.

Teoría de la medida

La teoría clásica de la medida es fundamentalmente no constructiva, ya que la definición clásica de medida de Lebesgue no describe ninguna forma de calcular la medida de un conjunto o la integral de una función. De hecho, si uno piensa en una función solo como una regla que "ingresa un número real y genera un número real", entonces no puede haber ningún algoritmo para calcular la integral de una función, ya que cualquier algoritmo solo podría llamar a un número finito valores de la función a la vez, y un número finito de valores no es suficiente para calcular la integral con una precisión no trivial. La solución a este enigma, llevado a cabo por primera vez en el libro de Bishop de 1967, es considerar solo las funciones que están escritas como el límite puntual de funciones continuas (con módulo de continuidad conocido), con información sobre la tasa de convergencia. Una ventaja de construir la teoría de la medida es que si uno puede probar que un conjunto es constructivamente de la medida completa, entonces existe un algoritmo para encontrar un punto en ese conjunto (nuevamente vea el libro de Bishop). Por ejemplo, este enfoque se puede utilizar para construir un número real que sea normal para todas las bases.

El lugar del constructivismo en las matemáticas

Tradicionalmente, algunos matemáticos han sospechado, si no antagonistas, del constructivismo matemático, en gran parte debido a las limitaciones que creían que planteaba para el análisis constructivo. Estos puntos de vista fueron expresados ​​enérgicamente por David Hilbert en 1928, cuando escribió en Grundlagen der Mathematik : "Tomar el principio del medio excluido del matemático sería lo mismo, digamos, que prohibir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños ".

Errett Bishop , en su obra de 1967 Foundations of Constructive Analysis , trabajó para disipar estos temores desarrollando una gran cantidad de análisis tradicional en un marco constructivo.

Aunque la mayoría de los matemáticos no aceptan la tesis constructivista de que solo las matemáticas realizadas con base en métodos constructivos son sólidas, los métodos constructivos son cada vez más interesantes por motivos no ideológicos. Por ejemplo, las pruebas constructivas en el análisis pueden asegurar la extracción de testigos , de tal manera que trabajar dentro de las limitaciones de los métodos constructivos puede hacer que encontrar testigos de las teorías sea más fácil que usar métodos clásicos. También se han encontrado aplicaciones para las matemáticas constructivas en los cálculos lambda mecanografiados , la teoría topos y la lógica categórica , que son asignaturas notables en las matemáticas fundamentales y la informática . En álgebra, para entidades como topoi y álgebras de Hopf , la estructura apoya un lenguaje interno que es una teoría constructiva; trabajar dentro de las limitaciones de ese lenguaje es a menudo más intuitivo y flexible que trabajar externamente por medios como el razonamiento sobre el conjunto de posibles álgebras concretas y sus homomorfismos .

El físico Lee Smolin escribe en Three Roads to Quantum Gravity que la teoría topos es "la forma correcta de lógica para la cosmología" (página 30) y "En sus primeras formas se la llamó 'lógica intuicionista'" (página 31). "En este tipo de lógica, las afirmaciones que un observador puede hacer sobre el universo se dividen en al menos tres grupos: aquellas que podemos juzgar como verdaderas, aquellas que podemos juzgar como falsas y aquellas cuya verdad no podemos decidir en el tiempo presente "(página 28).

Matemáticos que han hecho importantes contribuciones al constructivismo.

  • Leopold Kronecker (antiguo constructivismo, semi-intuicionismo)
  • LEJ Brouwer (fundador del intuicionismo)
  • AA Markov (antepasado de la escuela rusa de constructivismo)
  • Arend Heyting (lógica y teorías intuicionistas formalizadas)
  • Per Martin-Löf (fundador de las teorías de tipos constructivos)
  • Errett Bishop (promovió una versión del constructivismo que se afirmaba que era coherente con las matemáticas clásicas)
  • Paul Lorenzen (análisis constructivo desarrollado)

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Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos