Función medible - Measurable function

En matemáticas y en particular teoría de la medida , una función medible es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios medibles que conserva la estructura de los espacios: la imagen inversa de cualquier medible conjunto es mensurable. Esto está en analogía directa con la definición de que una función continua entre espacios topológicos preserva la estructura topológica: la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta. En el análisis real , las funciones medibles se utilizan en la definición de la integral de Lebesgue . En la teoría de la probabilidad , una función medible en un espacio de probabilidad se conoce como variable aleatoria .

Definicion formal

Deje y sean espacios medibles, lo que significa que y son conjuntos equipados con respectivos -álgebras y función A se dice que es medible si para cada la pre-imagen de bajo está en ; es decir, para todos${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ Displaystyle (Y, \ mathrm {T})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathrm {T}.}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$

Es decir, ¿ dónde está el σ-álgebra generada por f . Si es una función medible, escribiremos ${\ Displaystyle \ sigma (f) \ subseteq \ Sigma,}$${\ Displaystyle \ sigma (f)}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

para enfatizar la dependencia de las -álgebras y${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathrm {T}.}$

Variaciones de uso del término

La elección de -álgebras en la definición anterior a veces es implícita y se deja al contexto. Por ejemplo, para otros espacios topológicos, el álgebra de Borel (que contiene todos los conjuntos abiertos) es una elección común. Algunos autores definen las funciones medibles como exclusivamente de valor real con respecto al álgebra de Borel. ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$

Si los valores de la función se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita , existen otras definiciones no equivalentes de mensurabilidad, como mensurabilidad débil y mensurabilidad de Bochner .

Clases notables de funciones medibles

• Las variables aleatorias son, por definición, funciones medibles definidas en espacios de probabilidad.
• Si y son espacios de Borel , una función medible también se llama función de Borel . Las funciones continuas son funciones de Borel, pero no todas las funciones de Borel son continuas. Sin embargo, una función medible es casi una función continua; ver el teorema de Luzin . Si una función de Borel es una sección de un mapa , se denomina sección de Borel .${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ Displaystyle (Y, T)}$${\ Displaystyle f: (X, \ Sigma) \ to (Y, T)}$${\ displaystyle Y \ xrightarrow {~ \ pi ~} X,}$
• Una función medible de Lebesgue es una función medible donde está el -álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue, y es el álgebra de Borel sobre los números complejos Las funciones medibles de Lebesgue son de interés en el análisis matemático porque pueden integrarse. En el caso de Lebesgue medible, iff es medible para todos Esto también es equivalente a cualquiera de ser medible para todos o la preimagen de cualquier conjunto abierto es medible. Las funciones continuas, las funciones monótonas, las funciones escalonadas, las funciones semicontinuas, las funciones integrables de Riemann y las funciones de variación limitada son todas mensurables según Lebesgue. Una función es medible si las partes real e imaginaria son medibles.${\ Displaystyle f: (\ mathbb {R}, {\ mathcal {L}}) \ to (\ mathbb {C}, {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}),}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ {f> \ alpha \} = \ {x \ in X: f (x)> \ alpha \}}$${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ {f \ geq \ alpha \}, \ {f <\ alpha \}, \ {f \ leq \ alpha \}}$${\ Displaystyle \ alpha,}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

Propiedades de funciones medibles

• La suma y el producto de dos funciones medibles de valor complejo son medibles. También lo es el cociente, siempre que no haya división por cero.
• Si y son funciones medibles, entonces también lo es su composición.${\ Displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ a (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ Displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {2}) \ to (Z, \ Sigma _ {3})}$${\ Displaystyle g \ circ f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Z, \ Sigma _ {3}).}$
• Si y son funciones mensurables, no es necesario que su composición sea medible a menos que , de hecho, se puedan construir dos funciones mensurables de Lebesgue de tal manera que su composición no sea mensurable por Lebesgue.${\ Displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ a (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ Displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {3}) \ a (Z, \ Sigma _ {4})}$${\ Displaystyle g \ circ f: X \ to Z}$${\ Displaystyle (\ Sigma _ {1}, \ Sigma _ {4})}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {3} \ subseteq \ Sigma _ {2}.}$
• El supremum (puntual) , el infimum , el límite superior y el límite inferior de una secuencia (es decir, numerablemente muchas) de funciones mensurables de valor real también son mensurables.
• El límite puntual de una secuencia de funciones medibles es medible, donde es un espacio métrico (dotado del álgebra de Borel). Esto no es cierto en general si no es metrizable. Tenga en cuenta que el enunciado correspondiente para funciones continuas requiere condiciones más fuertes que la convergencia puntual, como la convergencia uniforme.${\ Displaystyle f_ {n}: X \ a Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$

Funciones no medibles

Las funciones de valor real que se encuentran en las aplicaciones tienden a ser medibles; sin embargo, no es difícil probar la existencia de funciones no medibles. Tales demostraciones se basan en el axioma de elección de una manera esencial, en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no prueba la existencia de tales funciones.

En cualquier espacio de medida con un conjunto no medible, se puede construir una función de indicador no medible : ${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ Displaystyle A \ subconjunto X,}$ ${\ Displaystyle A \ notin \ Sigma,}$

donde está equipado con el álgebra de Borel habitual . Esta es una función no medible ya que la preimagen del conjunto medible es la no medible${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ {1 \}}$${\ Displaystyle A.}$  

Como otro ejemplo, cualquier función no constante no es medible con respecto al álgebra trivial, ya que la preimagen de cualquier punto en el rango es un subconjunto apropiado, no vacío, del cual no es un elemento del trivial.${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ Sigma = \ {\ varnothing, X \},}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ Sigma.}$

Ver también

• Función medible de Bochner
• Espacio Bochner
• Espacio lp  - Espacios funcionales que generalizan espacios p norm de dimensión finita - Espacios vectoriales de funciones medibles: los

espacios${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Sistema dinámico que preserva la medida  : tema de estudio en teoría ergódica

Medida vectorial

Función débilmente mensurable

Notas

enlaces externos

• Función medible en Encyclopedia of Mathematics
• Función Borel en Encyclopedia of Mathematics