Teorema del gráfico cerrado - Closed graph theorem

Una función cúbica
La función Heaviside
La gráfica de la función cúbica en el intervalo está cerrada porque la función es continua . La gráfica de la función de Heaviside sobre no está cerrado, ya que la función no es continua.

En matemáticas , el teorema del gráfico cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan funciones continuas en términos de sus gráficos . Cada uno da condiciones cuando las funciones con gráficos cerrados son necesariamente continuas.

Gráficos y mapas con gráficos cerrados

Si es un mapa entre espacios topológicos, entonces el gráfico de es el conjunto o de manera equivalente,

Se dice que el gráfico de está cerrado si es un subconjunto cerrado de (con la topología del producto ).

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene un gráfico cerrado.

Cualquier mapa lineal, entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a las métricas invariantes de traducción, y si además (1a) es secuencialmente continuo en el sentido de la topología del producto, entonces el mapa es continuo y su gráfico,

Gr L , está necesariamente cerrado. Por el contrario, si es un mapa lineal de este tipo con, en lugar de (1a), la gráfica de (1b) se sabe que está cerrada en el espacio del producto cartesiano , entonces es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua.

Ejemplos de mapas continuos que no están cerrados

Si es cualquier espacio, entonces el mapa de identidad es continuo pero su gráfico, que es la diagonal , se cierra en si y solo si es Hausdorff. En particular, si no es Hausdorff, entonces es continuo pero

no cerrado.

Dejar que denotan los números reales con los habituales

topología euclidiana y dejar denotan con la topología indiscreta (donde nota que es no Hausdorff y que cada función valorada en es continua). Que nos definamos por y para todos . Entonces es continuo pero su gráfico no está cerrado .

Teorema de gráfico cerrado en topología de conjuntos de puntos

En la topología de conjuntos de puntos , el teorema del gráfico cerrado establece lo siguiente:

Teorema del gráfico cerrado  :  si es un mapa de un espacio topológico a un espacio compacto de Hausdorff, entonces el gráfico de está cerrado si y solo si es continuo .

Para funciones con valores establecidos

Teorema de gráfico cerrado para funciones con valores establecidos  :  para un espacio de rango compacto de Hausdorff , una función con valores establecidos tiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinuo superior y F ( x ) es un conjunto cerrado para todos .

En análisis funcional

Si es un operador lineal entre

espacios vectoriales topológicos (TVS) entonces decimos que es un operador cerrado si el gráfico de está cerrado en when está dotado de la topología del producto.

El teorema del gráfico cerrado es un resultado importante en el análisis funcional que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida de los teoremas de los gráficos cerrados es la siguiente.

Teorema  :  un mapa lineal entre dos espacios F (por ejemplo, espacios de Banach ) es continuo si y solo si su gráfico es cerrado.

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía