Teorema del gráfico cerrado - Closed graph theorem
En matemáticas , el teorema del gráfico cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan funciones continuas en términos de sus gráficos . Cada uno da condiciones cuando las funciones con gráficos cerrados son necesariamente continuas.
Gráficos y mapas con gráficos cerrados
Si es un mapa entre espacios topológicos, entonces el gráfico de es el conjunto o de manera equivalente,
Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene un gráfico cerrado.
Cualquier mapa lineal, entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a las métricas invariantes de traducción, y si además (1a) es secuencialmente continuo en el sentido de la topología del producto, entonces el mapa es continuo y su gráfico,
Gr L , está necesariamente cerrado. Por el contrario, si es un mapa lineal de este tipo con, en lugar de (1a), la gráfica de (1b) se sabe que está cerrada en el espacio del producto cartesiano , entonces es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua.Ejemplos de mapas continuos que no están cerrados
Si es cualquier espacio, entonces el mapa de identidad es continuo pero su gráfico, que es la diagonal , se cierra en si y solo si es Hausdorff. En particular, si no es Hausdorff, entonces es continuo pero
no cerrado.Dejar que denotan los números reales con los habituales
topología euclidiana y dejar denotan con la topología indiscreta (donde nota que es no Hausdorff y que cada función valorada en es continua). Que nos definamos por y para todos . Entonces es continuo pero su gráfico no está cerrado .Teorema de gráfico cerrado en topología de conjuntos de puntos
En la topología de conjuntos de puntos , el teorema del gráfico cerrado establece lo siguiente:
Teorema del gráfico cerrado : si es un mapa de un espacio topológico a un espacio compacto de Hausdorff, entonces el gráfico de está cerrado si y solo si es continuo .
Para funciones con valores establecidos
Teorema de gráfico cerrado para funciones con valores establecidos : para un espacio de rango compacto de Hausdorff , una función con valores establecidos tiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinuo superior y F ( x ) es un conjunto cerrado para todos .
En análisis funcional
Si es un operador lineal entre
espacios vectoriales topológicos (TVS) entonces decimos que es un operador cerrado si el gráfico de está cerrado en when está dotado de la topología del producto.El teorema del gráfico cerrado es un resultado importante en el análisis funcional que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida de los teoremas de los gráficos cerrados es la siguiente.
Teorema : un mapa lineal entre dos espacios F (por ejemplo, espacios de Banach ) es continuo si y solo si su gráfico es cerrado.
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio en barril : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
- Gráfico cerrado : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto
- Operador lineal cerrado
- Operador lineal continuo
- Mapa lineal discontinuo
- Teorema de punto fijo de Kakutani : activado cuando una función f: S → Pow (S) en un subconjunto convexo compacto no vacío S⊂ℝⁿ tiene un punto fijo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : condición para que un operador lineal esté abierto
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Teorema de Ursescu : generalización de gráfico cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme
- Espacio palmeado : espacios donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Notas
Referencias
Bibliografía
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