Determinación - Determinacy

La determinación es un subcampo de la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , que examina las condiciones bajo las cuales uno u otro jugador de un juego tiene una estrategia ganadora y las consecuencias de la existencia de tales estrategias. Alternativamente y de manera similar, la "determinación" es la propiedad de un juego mediante el cual existe tal estrategia.

Los juegos que se estudian en la teoría de conjuntos suelen ser juegos de Gale –Stewart– juegos de dos jugadores de información perfecta en los que los jugadores realizan una secuencia infinita de movimientos y no hay empates. El campo de la teoría de juegos estudia tipos de juegos más generales, incluidos los juegos con tablas como el tic-tac-toe , el ajedrez o el ajedrez infinito , o los juegos con información imperfecta como el póquer .

Nociones basicas

Juegos

El primer tipo de juego que consideraremos es el juego de dos jugadores de información perfecta de longitud ω , en el que los jugadores juegan números naturales . Estos juegos a menudo se denominan juegos de Gale-Stewart.

En este tipo de juego hay dos jugadores, a menudo llamados I y II , que se turnan para jugar números naturales, siendo yo el primero. Juegan "para siempre"; es decir, sus jugadas están indexadas por números naturales. Cuando terminan, una condición predeterminada decide qué jugador ganó. Esta condición no necesita ser especificada por ninguna regla definible ; puede ser simplemente una tabla de búsqueda arbitraria (infinitamente larga) que dice quién ganó en una secuencia particular de jugadas.

Más formalmente, considere un subconjunto A del espacio de Baire ; recuerde que este último consta de todas las secuencias ω de números naturales. Luego, en el juego G _A , I juega un número natural un ₀ , entonces II juega un ₁ , entonces I juega un ₂ , y así sucesivamente. Entonces me gana el juego si y sólo si

{\ Displaystyle \ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots \ rangle \ in A}

y si no, yo gana. A continuación, se llama el conjunto recompensa de G _A .

Se supone que cada jugador puede ver todos los movimientos que preceden a cada uno de sus movimientos y también conoce la condición ganadora.

Estrategias

De manera informal, una estrategia para un jugador es una forma de jugar en la que sus jugadas están totalmente determinadas por las jugadas anteriores. Una vez más, tal "forma" no tiene que ser capaz de ser capturada por ninguna "regla" explicable, sino que puede ser simplemente una tabla de búsqueda.

Más formalmente, una estrategia para el jugador I (para un juego en el sentido de la subsección anterior) es una función que acepta como argumento cualquier secuencia finita de números naturales, de longitud par, y devuelve un número natural. Si σ es tal estrategia y <a ₀ ,...,a _2n-1> es una secuencia de jugadas, entonces σ (<a ₀ ,...,a _2n-1> ) es la siguiente jugada que haré , si sigo la estrategia σ . Las estrategias para II son las mismas, sustituyendo "par" por "impar".

Tenga en cuenta que, hasta el momento, no hemos dicho nada sobre si una estrategia es buena de alguna manera . Una estrategia podría dirigir a un jugador a realizar movimientos agresivamente malos, y aún así sería una estrategia. De hecho, ni siquiera es necesario conocer la condición ganadora de un juego, para saber qué estrategias existen para el juego.

Estrategias ganadoras

Una estrategia es ganadora si el jugador que la sigue debe necesariamente ganar, sin importar lo que juegue su oponente. Por ejemplo, si σ es una estrategia para I , entonces σ es una estrategia ganadora para I en el juego G _A si, para cualquier secuencia de números naturales que jugará II , digamos <a ₁ , a ₃ , a ₅ ,. ..>, la secuencia de jugadas producidas por σ cuando II juega así, a saber

{\ Displaystyle \ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1}, \ sigma (\ langle \ sigma (\ langle \ rangle), a_ {1} \ rangle), a_ {3}, \ ldots \ rangle }

es un elemento de A .

Juegos decididos

A (clase de) juego (s) se determina si por todas las instancias del juego hay una estrategia ganadora para uno de los jugadores (no necesariamente el mismo jugador para cada instancia). Tenga en cuenta que no puede haber una estrategia ganadora para ambos jugadores para el mismo juego, porque si la hubiera, las dos estrategias podrían jugarse entre sí. El resultado resultante sería entonces, por hipótesis, una victoria para ambos jugadores, lo cual es imposible.

Determinación de consideraciones elementales

Se determinan todos los juegos finitos de información perfecta en los que no se producen empates.

Los juegos del mundo real de información perfecta, como el tic-tac-toe , el ajedrez o el ajedrez infinito , siempre se terminan en un número finito de movimientos (en los juegos de ajedrez, esto supone que se aplica la regla de los 50 movimientos). Si tal juego se modifica para que un jugador en particular gane bajo cualquier condición en la que el juego se hubiera llamado empate, entonces siempre se determina. La condición de que el juego siempre haya terminado (es decir, todas las posibles extensiones de la posición finita dan como resultado una victoria para el mismo jugador) en un número finito de jugadas corresponde a la condición topológica de que el conjunto A que da la condición ganadora para G _A está cerrado en la topología del espacio de Baire .

Por ejemplo, modificar las reglas del ajedrez para que las partidas empatadas sean una victoria para las negras convierte al ajedrez en un juego determinado. Da la casualidad que el ajedrez tiene un número finito de posiciones y reglas de empate por repetición, por lo que con estas reglas modificadas, si el juego continúa el tiempo suficiente sin que las blancas hayan ganado, las negras pueden eventualmente forzar una victoria (debido a la modificación del empate). = ganar para las negras).

La prueba de que tales juegos están determinados es bastante simple: el jugador I simplemente juega para no perder ; es decir, el jugador I juega para asegurarse de que el jugador II no tenga una estrategia ganadora después de la jugada de I. Si el jugador I no puede hacer esto, significa que el jugador II tenía una estrategia ganadora desde el principio. Por otro lado, si el jugador que pueda jugar de esta manera, entonces me debe ganar, ya que el juego será terminado después de un número finito de movimientos, y el jugador que no puedo haber perdido en ese punto.

Esta prueba en realidad no requiere que el juego termine siempre en un número finito de movimientos, solo que termine en un número finito de movimientos siempre que II gane. Esa condición, topológicamente, es que el conjunto A esté cerrado . Este hecho, que todos los juegos cerrados están determinados, se denomina teorema de Gale-Stewart . Tenga en cuenta que por simetría, todos los juegos abiertos también están determinados. (Un juego es abierto si yo puedo ganar solamente por ganar en un número finito de movimientos.)

Determinación de ZFC

David Gale y FM Stewart demostraron que los juegos abiertos y cerrados están determinados. La determinación del segundo nivel de los juegos de jerarquía de Borel fue demostrada por Wolfe en 1955. Durante los siguientes 20 años, investigaciones adicionales que utilizaron argumentos cada vez más complicados establecieron que el tercer y cuarto nivel de la jerarquía de Borel están determinados.

En 1975, Donald A. Martin demostró que todos los juegos de Borel están determinados; es decir, si A es un subconjunto de Borel del espacio de Baire, entonces G _A está determinado. Este resultado, conocido como determinación de Borel , es el mejor resultado de determinación posible demostrable en ZFC, en el sentido de que la determinación de la siguiente clase superior de Wadge no se puede demostrar en ZFC.

En 1971, antes de que Martin obtuviera su prueba, Harvey Friedman demostró que cualquier prueba de la determinación de Borel debe usar el axioma de reemplazo de una manera esencial, con el fin de iterar el axioma de potencias transfinitamente a menudo. El trabajo de Friedman da un resultado nivel por nivel que detalla cuántas iteraciones del axioma del conjunto de poder son necesarias para garantizar la determinación en cada nivel de la jerarquía de Borel .

Para cada número entero n , ZFC \ P demuestra determinación en el n ésimo nivel de la jerarquía de diferencia de conjuntos, pero ZFC \ P no prueba que para cada entero n n ésimo nivel de la jerarquía de diferencia de conjuntos se determina. Consulte matemáticas inversas para conocer otras relaciones entre la determinación y los subsistemas de aritmética de segundo orden . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {3} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ Pi _ {3} ^ {0}}$

Determinación y grandes cardenales

Existe una relación íntima entre la determinación y los grandes cardenales . En general, axiomas cardinales grandes más fuertes prueban la determinación de clases puntuales más grandes , más altas en la jerarquía de Wadge , y la determinación de tales clases puntuales, a su vez, prueba la existencia de modelos internos de axiomas cardinales grandes ligeramente más débiles que los utilizados para probar la determinación de la clase de puntos en primer lugar.

Cardenales medibles

De la existencia de un cardinal medible se sigue que todo juego analítico (también llamado juego Σ ¹₁ ) está determinado, o de manera equivalente, que todo juego coanalítico (o Π ¹₁ ) está determinado. (Consulte la jerarquía proyectiva para ver las definiciones).

En realidad, un cardenal mensurable es más que suficiente. Un principio más débil: la existencia de 0 ^# es suficiente para probar la determinación coanalítica, y un poco más: el resultado preciso es que la existencia de 0 ^# es equivalente a la determinación de todos los niveles de la jerarquía de diferencias por debajo del nivel ω ² , es decir, ω · n- Π ¹₁ determinación para cada . ${\ Displaystyle n}$

De un cardinal mensurable podemos mejorar esto muy levemente a una determinación de ω ² - Π ¹₁ . A partir de la existencia de cardinales más mensurables, se puede probar la determinación de más niveles de la jerarquía de diferencias sobre Π ¹₁ .

Prueba de determinación de objetos punzantes

Para cada número real r , la determinación es equivalente a la existencia de r ^# . Para ilustrar cómo los grandes cardinales conducen a la determinación, aquí hay una prueba de la determinación dada la existencia de r ^# . ${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$

Sea A un subconjunto del espacio de Baire. A = p [ T ] para algún árbol T (construible de r ) en (ω, ω). (Eso es x∈A sif de alguna y , es un camino a través de T ). ${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1} (r)}$ ${\ Displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ...)}$

Dado un juego parcial s , sea el subárbol de T consistente con s sujeto a max (y ₀ , y ₁ , ..., y _{len (s) -1} ) <len (s). La condición adicional asegura que sea finito. La coherencia significa que cada camino a través tiene la forma donde hay un segmento inicial de s . ${\ Displaystyle T_ {s}}$ ${\ Displaystyle T_ {s}}$ ${\ Displaystyle T_ {s}}$ ${\ Displaystyle ((x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {i}, y_ {i}))}$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {i})}$

Para demostrar que A está determinado, defina el juego auxiliar de la siguiente manera:
además de los movimientos ordinarios, el jugador 2 debe jugar un mapeo de en ordinales (por debajo de un ordinal κ suficientemente grande ) de modo que ${\ Displaystyle T_ {s}}$

cada nuevo movimiento extiende el mapeo anterior y
el orden de los números ordinales de acuerdo con el orden de Kleene-Brouwer en . ${\ Displaystyle T_ {s}}$

Recuerde que el orden de Kleene-Brouwer es como el orden lexicográfico excepto que si s se extiende apropiadamente t entonces s < t . Es un buen orden si el árbol está bien fundado.

El juego auxiliar está abierto. Prueba: Si el jugador 2 no pierde en una etapa finita, entonces la unión de todos (que es el árbol que corresponde a la jugada) está bien fundada, por lo que el resultado de la jugada no auxiliar no está en A. ${\ Displaystyle T_ {s}}$

Así, se determina el juego auxiliar. Prueba: Por inducción transfinita, para cada ordinal α calcule el conjunto de posiciones donde el jugador 1 puede forzar una victoria en α pasos, donde una posición con el jugador 2 para moverse es perder (para el jugador 2) en α pasos sif para cada movimiento el resultado la posición se pierde en menos de α pasos. Una estrategia para el jugador 1 es reducir α con cada posición (digamos elegir la menor α y romper empates eligiendo la menor jugada), y una estrategia para el jugador 2 es elegir la menor (en realidad cualquiera funcionaría) jugada que no lleva a una posición con un α asignado. Tenga en cuenta que L ( r ) contiene el conjunto de posiciones ganadoras, así como las estrategias ganadoras dadas anteriormente.

Una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego original conduce a una estrategia ganadora en el juego auxiliar: El subárbol de T correspondiente a la estrategia ganadora está bien fundado, por lo que el jugador 2 puede elegir ordinales según el orden Kleene-Brouwer del árbol. Además, trivialmente, una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego auxiliar da una estrategia ganadora para el jugador 2 en el juego original.

Queda por demostrar que usando r ^# , la estrategia ganadora mencionada anteriormente para el jugador 1 en el juego auxiliar puede convertirse en una estrategia ganadora en el juego original. r ^# da una clase I adecuada de ( L ( r ), ∈, r ) ordinales indiscernibles . Por indiscernibilidad, si κ y los ordinales en la respuesta auxiliar están en I , entonces los movimientos del jugador 1 no dependen de los movimientos auxiliares (o de κ ), por lo que la estrategia se puede convertir en una estrategia para el juego original ( ya que el jugador 2 puede aguantar con indiscernibles cualquier número finito de pasos). Suponga que el jugador 1 pierde en el juego original. Entonces, el árbol correspondiente a una obra de teatro está bien fundado. Por lo tanto, el jugador 2 puede ganar el juego auxiliar usando movimientos auxiliares basados en los indiscernibles (ya que el tipo de orden de los indiscernibles excede el orden Kleene-Brouwer del árbol), lo que contradice que el jugador 1 gane el juego auxiliar.

Cardenales Woodin

Si hay un cardenal de Woodin con un cardenal medible encima, entonces se cumple la determinación de Π ¹₂ . De manera más general, si hay n cardenales de Woodin con un cardenal medible por encima de todos, entonces se cumple la determinación Π ¹_{n + 1} . De la determinación de Π ¹_{n + 1} , se deduce que hay un modelo interno transitivo que contiene n cardenales de Woodin.

${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$ La determinación (cara clara) es equivalente a un cardenal de Woodin. Si la determinación se cumple, entonces para un cono de Turing de x (es decir, para cada x real de grado de Turing suficientemente alto ), L [ x ] satisface la determinación de OD (es decir, la determinación de juegos en números enteros de longitud ω y pago ordinal definible) , y en HOD ^{L [}^x^] es un cardenal de Woodin. ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {2} ^ {L [x]}}$

Determinación proyectiva

Si hay infinitos cardenales de Woodin, entonces se mantiene la determinación proyectiva; es decir, se determina todo juego cuya condición ganadora sea un conjunto proyectivo . De la determinación proyectiva se sigue que, para cada número natural n , existe un modelo interno transitivo que satisface que hay n cardenales de Woodin.

Axioma de determinación

El axioma de determinación , o AD , afirma que todo juego de dos jugadores de información perfecta de longitud ω, en el que los jugadores juegan de forma natural, está determinado.

AD es demostrablemente falso a partir de ZFC; utilizando el axioma de la elección, se puede probar la existencia de un juego no determinado. Sin embargo, si hay infinitos cardenales Woodin con un medible por encima de todos, entonces L (R) es un modelo de ZF que satisface AD.

Consecuencias de la determinación

Propiedades de regularidad para conjuntos de reales

Si A es un subconjunto del espacio de Baire tal que el juego de Banach-Mazur para A se determina, entonces o bien II tiene una estrategia ganadora, en cuyo caso A es escasa , o que tiene una estrategia ganadora, en cuyo caso A es comeager en algunas barrio abierto.

Esto no implica del todo que A tenga la propiedad de Baire , pero se acerca: una simple modificación del argumento muestra que si Γ es una clase de puntos adecuada tal que cada juego en Γ está determinado, entonces cada conjunto de reales en Γ tiene la propiedad de Baire.

De hecho, este resultado no es óptimo; al considerar el juego desplegado de Banach-Mazur podemos mostrar que la determinación de Γ (para Γ con suficientes propiedades de cierre) implica que todo conjunto de reales que es la proyección de un conjunto en Γ tiene la propiedad de Baire. Entonces, por ejemplo, la existencia de un cardinal medible implica _una determinación de Π ¹₁ , lo que a su vez implica que todo conjunto de Σ ¹₂ de reales tiene la propiedad de Baire.

Al considerar otros juegos, podemos demostrar que la determinación de Π ¹_n implica que todo conjunto de reales Σ ¹_{n +1} tiene la propiedad de Baire, es medible según Lebesgue (de hecho , es medible universalmente ) y tiene la propiedad del conjunto perfecto .

Teoremas de periodicidad

El primer teorema de periodicidad implica que, para cada número natural n , si se cumple la determinación de Δ ¹_{2 n +1} , entonces Π ¹_{2 n +1} y Σ ¹_{2 n +2} tienen la propiedad de ordenamiento previo (y que Σ ¹_{2 n +1} y Π ¹_{2 n 2} do no tener la propiedad prewellordering, sino que tienen la propiedad de separación ).
El segundo teorema de periodicidad implica que, para cada número natural n , si se cumple la determinación de Δ ¹_{2 n +1} , entonces Π ¹_{2 n +1} y Σ ¹_{2 n} tienen la propiedad de escala . En particular, si se cumple la determinación proyectiva, entonces toda relación proyectiva tiene una uniformización proyectiva .
El tercer teorema de periodicidad proporciona una condición suficiente para que un juego tenga una estrategia ganadora definible.

Aplicaciones a la decidibilidad de ciertas teorías de segundo orden

En 1969, Michael O. Rabin demostró que la teoría de segundo orden de n sucesores es decidible . Un componente clave de la demostración requiere mostrar la determinación de los juegos de paridad , que se encuentran en el tercer nivel de la jerarquía de Borel .

Determinación de la guata

La determinación de Wadge es la afirmación de que para todos los pares A , B de subconjuntos del espacio de Baire , se determina el juego Wadge G ( A , B ). De manera similar, para una clase puntual Γ, la determinación de Wadge es el enunciado de que para todos los conjuntos A , B en Γ, se determina el juego Wadge G ( A , B ).

La determinación de Wadge implica el principio de ordenación semilineal para el orden Wadge . Otra consecuencia de la determinación de Wadge es la propiedad del conjunto perfecto .

En general, la determinación de Γ Wadge es una consecuencia de la determinación de combinaciones booleanas de conjuntos en Γ. En la jerarquía proyectiva , la determinación de Π ¹₁ Wadge es equivalente a la determinación de Π ¹₁ , como lo demostró Leo Harrington . Hjorth amplió este resultado para demostrar que la determinación de Π ¹₂ Wadge (y, de hecho, el principio de ordenación semilineal para Π ¹₂ ) ya implica ^una determinación de Π ¹₂ .

Juegos más generales

Juegos en los que los objetos jugados no son números naturales.

La determinación de juegos en ordinales con recompensa y longitud definibles ordinales ω implica que para cada cardinal regular κ > ω no hay subconjuntos estacionarios disjuntos definibles ordinales de κ hechos de ordinales de cofinalidad ω. Se desconoce la fuerza de la consistencia de la hipótesis de determinación, pero se espera que sea muy alta.

Juegos jugados en árboles

Juegos largos

La existencia de ω ₁ cardenales de Woodin implica que para cada ordinal contable α, se determinan todos los juegos de números enteros de longitud α y pago proyectivo. En términos generales, α cardenales de Woodin corresponde a la determinación de juegos en reales de longitud α (con un simple conjunto de pagos). Suponiendo un límite de cardenales de Woodin κ con o ( κ ) = κ ⁺⁺ y ω cardenales de Woodin por encima de κ , los juegos de longitud variable contable donde el juego termina tan pronto como su longitud es admisible en relación con la línea de juego y con pago proyectivo son determinado. Suponiendo que una cierta conjetura de iterabilidad es demostrable, la existencia de un cardinal de Woodin medible implica la determinación de juegos abiertos de longitud ω ₁ y pago proyectivo. (En estos juegos, una condición ganadora para el primer jugador se activa en una etapa contable, por lo que la recompensa se puede codificar como un conjunto de reales).

En relación con un límite de Woodin de cardenales de Woodin y un medible por encima de ellos, es consistente que cada juego en números enteros de longitud ω ₁ y pago ordinal definible está determinado. Se conjetura que la hipótesis de determinación es equivalente a un límite de Woodin de los cardenales de Woodin. ω ₁ es máximo porque hay juegos indeterminados en números enteros de longitud ω ₁ + ω y pago ordinal definible.

Juegos de información imperfecta

En cualquier juego interesante con información imperfecta , una estrategia ganadora será una estrategia mixta : es decir, dará alguna probabilidad de respuestas diferentes a la misma situación. Si las estrategias óptimas de ambos jugadores son estrategias mixtas, el resultado del juego no puede ser ciertamente determinante (como puede serlo para las estrategias puras , ya que son deterministas ). Pero se puede calcular la distribución de probabilidad de los resultados para las estrategias mixtas opuestas. Un juego que requiere estrategias mixtas se define como determinado si existe una estrategia que arroja un valor mínimo esperado (sobre posibles contraestrategias) que excede un valor dado. En contra de esta definición, todos los juegos finitos de dos jugadores de suma cero están claramente determinados. Sin embargo, la determinación de los juegos infinitos de información imperfecta (juegos de Blackwell) es menos clara.

En 1969, David Blackwell demostró que algunos "juegos infinitos con información imperfecta" (ahora llamados "juegos de Blackwell") están determinados, y en 1998 Donald A. Martin demostró que la determinación ordinaria (juego de información perfecta) para una clase de puntos en negrita implica la determinación de Blackwell para la clase de puntos. Esto, combinado con el teorema de determinación de Borel de Martin, implica que todos los juegos de Blackwell con funciones de pago de Borel están determinados. Martin conjeturó que la determinación ordinaria y la determinación de Blackwell para juegos infinitos son equivalentes en un sentido fuerte (es decir, que la determinación de Blackwell para una clase puntual en negrita a su vez implica una determinación ordinaria para esa clase puntual), pero a partir de 2010, no se ha probado que la determinación de Blackwell implique determinación del juego de información perfecta.

Cuasestrategias y cuasideterminación

Ver también

Notas al pie

^ Esto supone quemeestá tratando de obtener la intersección de los barrios jugado a ser un producto único, cuyo único elemento es un elemento deA. Algunos autores lo convierten en el objetivo del jugadorII; ese uso requiere modificar las observaciones anteriores en consecuencia.

Referencias

Gale, David y Stewart, FM (1953). Kuhn, HW; Tucker, AW (eds.). Juegos infinitos con información perfecta . Contribuciones a la teoría de los juegos, volumen II . Annals of Mathematics Studies 28. Princeton University Press. págs. 245-266. ISBN 9780691079356.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
Harrington, Leo (enero de 1978). "Determinación analítica y 0 #". El diario de la lógica simbólica . 43 (4): 685–693. doi : 10.2307 / 2273508 . JSTOR 2273508 .
Hjorth, Greg (enero de 1996). " Π ¹₂ Wadge grados" . Anales de lógica pura y aplicada . 77 : 53–74. doi : 10.1016 / 0168-0072 (95) 00011-9 .
Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Saltador. ISBN 978-3-540-44085-7.
Martin, Donald A. (1975). "Determinación Borel". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 102 (2): 363–371. doi : 10.2307 / 1971035 . JSTOR 1971035 .
Martin, Donald A. y John R. Steel (enero de 1989). "Una prueba de determinación proyectiva" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307 / 1990913 . JSTOR 1990913 .
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-70199-2.
Woodin, W. Hugh (1988). "Cardenales supercompactos, conjuntos de reales y árboles débilmente homogéneos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 85 (18): 6587–6591. Código Bibliográfico : 1988PNAS ... 85.6587W . doi : 10.1073 / pnas.85.18.6587 . PMC 282022 . PMID 16593979 .
Martin, Donald A. (2003). "Una simple prueba de que la determinación implica la mensurabilidad de Lebesgue". Desgarrar. Sem. Estera. Univ. Pol. Torino . 61 (4): 393–399. ( PDF )
Wolfe, P. (1955). "La determinación estricta de ciertos juegos infinitos" . Pacific J. Math . 5 (5): Suplemento I: 841–847. doi : 10.2140 / pjm.1955.5.841 .

enlaces externos

"Grandes cardenales y determinación" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford

Languages

In other projects