Medida de Lebesgue - Lebesgue measure

En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , la medida de Lebesgue , que lleva el nombre del matemático francés Henri Lebesgue , es la forma estándar de asignar una medida a subconjuntos del espacio euclidiano n- dimensional . Para n = 1, 2 o 3, coincide con la medida estándar de longitud , área o volumen . En general, también se le llama n volumen -dimensional , n -volumen , o simplemente volumen . Se utiliza en todo análisis real , en particular para definir la integración de Lebesgue . Los conjuntos a los que se les puede asignar una medida de Lebesgue se denominan medibles de Lebesgue ; la medida del conjunto A medible de Lebesgue se denota aquí por λ ( A ).

Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901, seguido al año siguiente por su descripción de la integral de Lebesgue . Ambos fueron publicados como parte de su disertación en 1902.

La medida de Lebesgue a menudo se denota por dx , pero esto no debe confundirse con la noción distinta de forma de volumen .

Definición

Para cualquier intervalo (o ) en el conjunto de números reales, denotemos su longitud. Para cualquier subconjunto , la medida exterior de Lebesgue se define como un mínimo

Algunos conjuntos satisfacen el criterio Carathéodory , que requiere que para cada ,

El conjunto de todas esas formas forma un σ -álgebra . Para cualquier tales , su medida de Lebesgue se define para ser su medida exterior de Lebesgue: .

Un conjunto que no satisface el criterio de Carathéodory no es medible según Lebesgue. Existen conjuntos no medibles ; un ejemplo son los sets Vitali .

Intuición

La primera parte de la definición establece que el subconjunto de los números reales se reduce a su medida exterior por la cobertura de conjuntos de intervalos abiertos. Cada uno de estos conjuntos de intervalos cubre en cierto sentido, ya que la unión de estos intervalos contiene . La longitud total de cualquier conjunto de intervalos de cobertura puede sobrestimar la medida de porque es un subconjunto de la unión de los intervalos, por lo que los intervalos pueden incluir puntos que no están dentro . La medida exterior de Lebesgue surge como el mayor límite inferior (infimum) de las longitudes de entre todos los conjuntos posibles. Intuitivamente, es la longitud total de esos conjuntos de intervalos la que se ajusta más estrechamente y no se superponen.

Eso caracteriza la medida exterior de Lebesgue. Que esta medida externa se traduzca en la medida de Lebesgue propiamente dicha depende de una condición adicional. Esta condición se prueba tomando subconjuntos de los números reales usando como instrumento para dividir en dos particiones: la parte de la cual se cruza con y la parte restante de la cual no está en : la diferencia de conjunto de y . Estas particiones de están sujetas a la medida exterior. Si para todos los posibles subconjuntos de los números reales, las particiones de cortadas por tienen medidas exteriores cuya suma es la medida exterior de , entonces la medida exterior de Lebesgue de da su medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que el conjunto no debe tener algunas propiedades curiosas que provoquen una discrepancia en la medida de otro conjunto cuando se utilice como "máscara" para "recortar" ese conjunto, insinuando la existencia de conjuntos para los cuales el Lebesgue externo La medida no da la medida de Lebesgue. (De hecho, estos conjuntos no son medibles según Lebesgue).

Ejemplos de

Propiedades

Invarianza de traducción: la medida de Lebesgue de y son iguales.

La medida de Lebesgue en R n tiene las siguientes propiedades:

  1. Si A es un producto cartesiano de intervalos I 1 × I 2 × ⋯ × I n , entonces A es medible según Lebesgue y Aquí, | Yo | denota la longitud del intervalo I .
  2. Si A es una unión disjunta de innumerables conjuntos disjuntos mensurables de Lebesgue, entonces A es él mismo mensurable de Lebesgue y λ ( A ) es igual a la suma (o serie infinita ) de las medidas de los conjuntos mensurables involucrados.
  3. Si A es medible según Lebesgue, entonces también lo es su complemento .
  4. λ ( A ) ≥ 0 para cada conjunto A medible de Lebesgue .
  5. Si A y B son medibles según Lebesgue y A es un subconjunto de B , entonces λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Una consecuencia de 2, 3 y 4.)
  6. Las uniones contables y las intersecciones de conjuntos mensurables de Lebesgue son mensurables de Lebesgue. (No es una consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos que se cierra bajo complementos y uniones contables disjuntas no necesita cerrarse bajo uniones contables:. )
  7. Si A es un subconjunto abierto o cerrado de R n (o incluso el conjunto de Borel , consulte el espacio métrico ), entonces A es medible según Lebesgue.
  8. Si A es un conjunto medible de Lebesgue, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida de Lebesgue (ver el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue ).
  9. Un conjunto medible de Lebesgue puede "exprimirse" entre un conjunto abierto contenedor y un conjunto cerrado contenido. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de la mensurabilidad de Lebesgue. Más precisamente, es Lebesgue-mensurable si y sólo si para cada existe un conjunto abierto y un conjunto cerrado tal que y .
  10. Un conjunto Lebesgue-medible puede ser "exprimido" entre una que contiene G δ conjunto y una contenida F σ . Es decir, si A es medible según Lebesgue, entonces existe un conjunto G δ G y un F σ F tal que G  ⊇  A  ⊇  F y λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
  11. La medida de Lebesgue es tanto localmente finita como interna regular , por lo que es una medida de radón .
  12. La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su soporte es el conjunto de R n .
  13. Si A es un conjunto medible de Lebesgue con λ ( A ) = 0 (un conjunto nulo ), entonces cada subconjunto de A es también un conjunto nulo. A fortiori , cada subconjunto de A es medible.
  14. Si A es medible por Lebesgue y x es un elemento de R n , entonces la traslación de A por x , definida por A + x = { a + x  : aA }, también es medible por Lebesgue y tiene la misma medida que Una .
  15. Si A es medible por Lebesgue y , entonces la dilatación de por definida por también es medible por Lebesgue y tiene medida
  16. De manera más general, si T es una transformación lineal y A es un subconjunto medible de R n , entonces T ( A ) también es medible según Lebesgue y tiene la medida .

Todo lo anterior se puede resumir sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones están vinculadas de manera no trivial a lo siguiente):

Los conjuntos medibles de Lebesgue forman un σ -álgebra que contiene todos los productos de intervalos, y λ es la única medida invariante de traducción completa en esa σ-álgebra con

La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ -finita .

Conjuntos nulos

Un subconjunto de R n es un conjunto nulo si, para cada ε> 0, puede cubrirse con muchos productos contables de n intervalos cuyo volumen total sea como máximo ε. Todos los conjuntos contables son conjuntos nulos.

Si un subconjunto de R n tiene una dimensión de Hausdorff menor que n, entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n- dimensional. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en R n (o cualquier métrica de Lipschitz equivalente a ella). Por otro lado, un conjunto puede tener una dimensión topológica menor que ny tener una medida de Lebesgue n- dimensional positiva . Un ejemplo de esto es el conjunto Smith-Volterra-Cantor que tiene una dimensión topológica 0 pero tiene una medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para demostrar que un conjunto A dado es medible según Lebesgue, normalmente se intenta encontrar un conjunto B "más agradable" que difiera de A sólo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica ( A - B ) ∪ ( B - A ) es un conjunto nulo) y luego demuestre que B se puede generar usando uniones contables e intersecciones de conjuntos abiertos o cerrados.

Construcción de la medida de Lebesgue

La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory . Procede de la siguiente manera.

Fix nN . Una caja en R n es un conjunto de la forma

donde b ia i , y el símbolo del producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como

Para cualquier subconjunto A de R n , podemos definir su medida exterior λ * ( A ) por:

Luego definimos el conjunto A como medible según Lebesgue si para cada subconjunto S de R n ,

Estos conjuntos mensurables de Lebesgue forman un σ -algebra , y la medida de Lebesgue se define por λ ( A ) = λ * ( A ) para cualquier conjunto A mensurable de Lebesgue .

La existencia de conjuntos que no son medibles por Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos , que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas para la teoría de conjuntos . El teorema de Vitali , que se deriva del axioma, establece que existen subconjuntos de R que no son medibles por Lebesgue. Suponiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no medibles con muchas propiedades sorprendentes, como los de la paradoja de Banach-Tarski .

En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son mensurables por Lebesgue no se puede demostrar dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (ver modelo de Solovay ).

Relación con otras medidas

La medida de Borel concuerda con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos mensurables de Lebesgue que conjuntos mensurables de Borel. La medida de Borel es invariante en la traducción, pero no completa .

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue ( R n con adición es un grupo localmente compacto).

La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que es útil para medir los subconjuntos de R n de dimensiones inferiores a n , como subvariedades , por ejemplo, superficies o curvas en R 3 y conjuntos fractales . La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff .

Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue .

Ver también

Referencias