Gran cardenal - Large cardinal

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , una gran propiedad cardinal es un cierto tipo de propiedad de los números cardinales transfinitos . Los cardenales con tales propiedades son, como sugiere el nombre, generalmente muy "grandes" (por ejemplo, más grandes que el menor α tal que α = ω α ). La proposición de que tales cardinales existen no puede ser probada en la axiomatización más común de la teoría de conjuntos, a saber, ZFC , y tales proposiciones pueden verse como formas de medir cuánto, más allá de ZFC, se necesita asumir para poder probar ciertos valores deseados. resultados. En otras palabras, pueden verse, en la frase de Dana Scott , como cuantificando el hecho de que "si quieres más tienes que asumir más".

Existe una convención aproximada de que los resultados demostrables de ZFC solo pueden enunciarse sin hipótesis, pero que si la prueba requiere otras suposiciones (como la existencia de grandes cardinales), estas deben establecerse. Si esto es simplemente una convención lingüística, o algo más, es un punto controvertido entre las distintas escuelas filosóficas (ver Motivaciones y estatus epistémico a continuación).

Un axioma cardinal grande es un axioma que establece que existe un cardinal (o quizás muchos de ellos) con alguna propiedad cardinal grande especificada.

La mayoría de los teóricos de conjuntos de trabajo creen que los grandes axiomas cardinales que se están considerando actualmente son consistentes con ZFC. Estos axiomas son lo suficientemente fuertes como para implicar la consistencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) que su consistencia con ZFC no se puede probar en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente).

No existe una definición precisa generalmente acordada de lo que es una propiedad cardinal grande, aunque esencialmente todos están de acuerdo en que aquellos en la lista de propiedades cardinales grandes son propiedades cardinales grandes.

Definición parcial

Una condición necesaria para que una propiedad de los números cardinales sea una propiedad cardinal grande es que no se sepa que la existencia de tal cardinal sea inconsistente con ZFC y se ha demostrado que si ZFC es consistente , entonces ZFC es consistente con la afirmación de que "No existe tal cardenal".

Jerarquía de fuerza de consistencia

Una observación notable acerca de los axiomas cardinales grandes es que parecen ocurrir en un orden lineal estricto por fuerza de consistencia . Es decir, no se conoce ninguna excepción a lo siguiente: Dados dos axiomas cardinales grandes A 1 y A 2 , sucede exactamente una de tres cosas:

  1. A menos que ZFC sea inconsistente, ZFC + A 1 es consistente si y solo si ZFC + A 2 es consistente;
  2. ZFC + A 1 demuestra que ZFC + A 2 es consistente; o
  3. ZFC + A 2 demuestra que ZFC + A 1 es consistente.

Estos son mutuamente excluyentes, a menos que una de las teorías en cuestión sea realmente inconsistente.

En el caso 1, decimos que A 1 y A 2 son iguales . En el caso 2, decimos que A 1 es en términos de coherencia más fuerte que A 2 (viceversa para el caso 3). Si A 2 es más fuerte que A 1 , entonces ZFC + A 1 no puede probar que ZFC + A 2 sea ​​consistente, incluso con la hipótesis adicional de que ZFC + A 1 es en sí mismo consistente (siempre que, por supuesto, lo sea). Esto se sigue del segundo teorema de incompletitud de Gödel .

La observación de que los axiomas cardinales grandes están ordenados linealmente por la fuerza de la consistencia es solo eso, una observación, no un teorema. (Sin una definición aceptada de gran propiedad cardinal, no está sujeta a prueba en el sentido ordinario). Además, no se sabe en todos los casos cuál de los tres casos es válido. Saharon Shelah ha preguntado: "¿Existe algún teorema que explique esto, o nuestra visión es más uniforme de lo que creemos?" Woodin , sin embargo, deduce esto de la conjetura Ω , el principal problema no resuelto de su lógica Ω . También es digno de mención que muchos enunciados combinatorios son exactamente iguales a algunos grandes cardinales en lugar de, digamos, ser intermedios entre ellos.

El orden de la fuerza de la consistencia no es necesariamente el mismo que el orden del tamaño del testigo más pequeño de un axioma cardinal grande. Por ejemplo, la existencia de un cardenal enorme es mucho más fuerte, en términos de fuerza de consistencia, que la existencia de un cardenal supercompacto , pero asumiendo que ambos existen, el primero enorme es más pequeño que el primer supercompacto.

Motivaciones y estatus epistémico

Los grandes cardinales se entienden en el contexto del universo V de von Neumann , que se construye iterando transfinitamente la operación de conjunto de potencias , que reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado. Por lo general, los modelos en los que fallan los grandes axiomas cardinales pueden verse de alguna manera natural como submodelos de aquellos en los que los axiomas se mantienen. Por ejemplo, si hay un cardenal inaccesible , entonces "cortar el universo" a la altura del primer cardenal de este tipo produce un universo en el que no hay un cardenal inaccesible. O si hay un cardinal medible , entonces iterando la operación de conjunto de potencia definible en lugar de la completa produce el universo construible de Gödel , L, que no satisface el enunciado "hay un cardinal medible" (aunque contiene el cardinal medible como un ordinal ).

Así, desde cierto punto de vista sostenido por muchos teóricos de conjuntos (especialmente aquellos inspirados por la tradición de la Cábala ), los grandes axiomas cardinales "dicen" que estamos considerando todos los conjuntos que "se supone" que estamos considerando, mientras que su las negaciones son "restrictivas" y dicen que estamos considerando solo algunos de esos conjuntos. Además, las consecuencias de los grandes axiomas cardinales parecen caer en patrones naturales (ver Maddy, "Believing the Axioms, II"). Por estas razones, estos teóricos de conjuntos tienden a considerar que los axiomas cardinales grandes tienen un estatus preferido entre las extensiones de ZFC, uno que no es compartido por axiomas de motivación menos clara (como el axioma de Martin ) u otros que consideran intuitivamente improbables (como V = L ). Los realistas incondicionales de este grupo afirmarían, de manera más simple, que los grandes axiomas cardinales son verdaderos .

Este punto de vista no es de ninguna manera universal entre los teóricos de conjuntos. Algunos formalistas afirmarían que la teoría de conjuntos estándar es, por definición, el estudio de las consecuencias de ZFC, y aunque en principio no se oponen al estudio de las consecuencias de otros sistemas, no ven ninguna razón para señalar a los grandes cardenales como preferidos. También hay realistas que niegan que el maximalismo ontológico sea ​​una motivación adecuada, e incluso creen que los grandes axiomas cardinales son falsos. Y finalmente, hay quienes niegan que las negaciones de axiomas cardinales grandes sean restrictivas, señalando que (por ejemplo) puede haber un modelo de conjunto transitivo en L que crea que existe un cardinal medible, aunque L en sí mismo no satisface que proposición.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos