Cardenal Woodin - Woodin cardinal

En la teoría de conjuntos , un cardenal de Woodin (llamado así por W. Hugh Woodin ) es un número cardinal λ tal que para todas las funciones

f  : λ → λ

existe un cardinal κ <λ con

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

y una incrustación elemental

j  : V → M

del universo Von Neumann V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y

V _{j (f) (κ)} ⊆ M .

Una definición equivalente es esta: λ es Woodin si y solo si λ es fuertemente inaccesible y para todos existe un <λ que es - -fuerte. ${\ Displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ Displaystyle <\ lambda}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$ siendo - medios -Fuerte que para todos los ordinales a <λ, existe una que es una incrustación elemental con punto crítico , , y . (Véase también cardenal fuerte ). ${\ Displaystyle <\ lambda}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle j: V \ a M}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ Displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alpha}$${\ Displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$${\ Displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Un cardenal Woodin está precedido por un conjunto estacionario de cardenales medibles y, por lo tanto, es un cardenal Mahlo . Sin embargo, el primer cardenal de Woodin no es ni siquiera débilmente compacto .

Consecuencias

Los cardenales de Woodin son importantes en la teoría descriptiva de conjuntos . Como resultado de Martin y Steel , la existencia de un número infinito de cardenales de Woodin implica una determinación proyectiva , que a su vez implica que todo conjunto proyectivo es medible según Lebesgue , tiene la propiedad de Baire (difiere de un conjunto abierto por un conjunto escaso , es decir, un conjunto que es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte ) y la propiedad del conjunto perfecto (es contable o contiene un subconjunto perfecto ).

La consistencia de la existencia de los cardenales de Woodin puede demostrarse mediante hipótesis de determinación. Trabajando en ZF + AD + DC uno puede probar que Woodin está en la clase de conjuntos definibles ordinales hereditariamente. es el primer ordinal en el que el continuo no puede ser mapeado por una sobreyección ordinal-definible (ver Θ (teoría de conjuntos) ). ${\ Displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ Displaystyle \ Theta _ {0}}$

Shelah demostró que si la existencia de un cardenal de Woodin es consistente, entonces es consistente que el ideal no estacionario en ω ₁ está saturado. Woodin también demostró la equivalencia de la existencia de un número infinito de cardenales Woodin y la existencia de un ideal denso . ${\ Displaystyle \ aleph _ {2}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$

Cardenales Hyper-Woodin

Un cardinal κ se llama hiper-Woodin si existe una medida normal U en κ tal que para cada conjunto S , el conjunto

{λ <κ | λ es <κ- S - fuerte }

está en T .

λ es <κ-S-fuerte si y solo si para cada δ <κ hay una clase transitiva N y una incrustación elemental

j: V → N

con

λ = crit (j),

j (λ) ≥ δ, y

${\ Displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}}$ .

El nombre alude al resultado clásico de que un cardenal es Woodin si y solo si para cada conjunto S , el conjunto

{λ <κ | λ es <κ- S - fuerte }

es un conjunto estacionario

La medida U contendrá el conjunto de todos los cardenales de Shelah por debajo de κ.

Cardenales débilmente hiperwoodin

Un cardinal κ se llama débilmente hiperwoodin si para cada conjunto S existe una medida normal U en κ tal que el conjunto {λ <κ | λ es <κ- S -fuerte} es en U . λ es <κ-S-fuerte si y solo si para cada δ <κ hay una clase transitiva N y una incrustación elemental j: V → N con λ = crit (j), j (λ)> = δ, y ${\ Displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}.}$

El nombre alude al resultado clásico de que un cardenal es Woodin si para cada conjunto S , el conjunto {λ <κ | λ es <κ- S - fuerte } es estacionario.

La diferencia entre los cardenales hiper-Woodin y los cardenales débilmente hiper-Woodin es que la elección de U no depende de la elección del conjunto S para los cardenales hiper-Woodin.

notas y referencias

Otras lecturas

• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN   3-540-00384-3 .
• Para obtener pruebas de los dos resultados enumerados en las consecuencias, consulte el Manual de teoría de conjuntos (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (que aparecerá). Hay borradores de algunos capítulos disponibles.
• Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, en línea
• Steel, John R. (octubre de 2007). "¿Qué es un cardenal Woodin?" ( PDF ) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 54 (9): 1146–7 . Consultado el 15 de enero de 2008 .