Propiedad de conjunto perfecto - Perfect set property

En la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco tiene la propiedad de conjunto perfecto si es contable o tiene un subconjunto perfecto no vacío (Kechris 1995, p. 150). Tenga en cuenta que tener la propiedad de conjunto perfecto no es lo mismo que ser un conjunto perfecto .

Como los conjuntos perfectos no vacíos en un espacio polaco siempre tienen la cardinalidad del continuo , y los reales forman un espacio polaco, un conjunto de reales con la propiedad del conjunto perfecto no puede ser un contraejemplo de la hipótesis del continuo , expresada en la forma de que todo conjunto incontable de reales tiene la cardinalidad del continuo.

El teorema de Cantor-Bendixson establece que los conjuntos cerrados de un espacio polaco X tienen la propiedad de conjunto perfecto en una forma particularmente fuerte: cualquier subconjunto cerrado de X puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto contable. En particular, cada espacio polaco incontable tiene la propiedad del conjunto perfecto, y puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto contable.

El axioma de elección implica la existencia de conjuntos de reales que no tienen la propiedad de conjunto perfecto, como los conjuntos de Bernstein . Sin embargo, en el modelo de Solovay , que satisface todos los axiomas de ZF pero no el axioma de elección, cada conjunto de reales tiene la propiedad de conjunto perfecto, por lo que es necesario el uso del axioma de elección. Cada conjunto analítico tiene la propiedad de conjunto perfecta. De la existencia de cardinales suficientemente grandes se sigue que todo conjunto proyectivo tiene la propiedad de conjunto perfecto.

Referencias

• Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9