Uniformización (teoría de conjuntos) - Uniformization (set theory)

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , el axioma de uniformización es una forma débil del axioma de elección . Establece que si es un subconjunto de , donde y son espacios polacos , entonces hay un subconjunto de que es una función parcial de a , y cuyo dominio (el conjunto de todos los tales que existen) es igual a ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ times Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ {x \ en X \ mid \ existe y \ en Y: (x, y) \ in R \} \,}$

Función de un tipo se llama una función de uniformización para , o una uniformización de . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Uniformización de la relación R (celeste) mediante la función f (rojo).

Para ver la relación con el axioma de elección, observe que se puede pensar que asocia, a cada elemento de , un subconjunto de . Una uniformización de entonces elige exactamente un elemento de cada subconjunto, siempre que el subconjunto no esté vacío . Por lo tanto, permitir conjuntos arbitrarios X e Y (en lugar de solo espacios polacos) haría que el axioma de uniformización sea equivalente al axioma de elección. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle R}$

Se dice que una clase puntual tiene la propiedad de uniformización si cada relación en puede uniformarse mediante una función parcial en . La propiedad de uniformización está implícita en la propiedad de escala , al menos para las clases de puntos adecuadas de una determinada forma. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$ ${\ Displaystyle R}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

Se deduce de ZFC solo que y tiene la propiedad de uniformización. De la existencia de suficientes cardenales grandes se sigue que ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$y tener la propiedad de uniformización para cada número natural .${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle n}$
• Por tanto, la colección de conjuntos proyectivos tiene la propiedad de uniformización.
• Cada relación en L (R) se puede uniformizar, pero no necesariamente mediante una función en L (R). De hecho, L (R) no tiene la propiedad de uniformización (de manera equivalente, L (R) no satisface el axioma de uniformización).
  • (Nota: es trivial que toda relación en L (R) pueda uniformarse en V , suponiendo que V satisface el axioma de elección. El punto es que cada relación de este tipo puede uniformarse en algún modelo interno transitivo de V en el que el axioma de determinación sostiene.)

Referencias

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0.