Desigualdad (matemáticas) - Inequality (mathematics)
En matemáticas , una desigualdad es una relación que hace una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. Se usa con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica por su tamaño. Hay varias notaciones diferentes que se utilizan para representar diferentes tipos de desigualdades:
- La notación a < b significa que a es menor que b .
- La notación a > b significa que a es mayor que b .
En cualquier caso, a no es igual a b . Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas , lo que significa que a es estrictamente menor o estrictamente mayor que b . Se excluye la equivalencia.
A diferencia de las desigualdades estrictas, existen dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:
- La notación un ≤ b o un ⩽ b medios que una es menor que o igual a b (o, equivalentemente, a lo sumo b , o no mayor que b ).
- La notación un ≥ b o un ⩾ b medios que una es mayor que o igual a b (o, de manera equivalente, al menos, b , o no menos de b ).
La relación "no mayor que" también se puede representar mediante a ≯ b , el símbolo de "mayor que" dividido en dos por una barra, "no". Lo mismo es cierto para "no menos de" y a ≮ b .
La notación a ≠ b significa que a no es igual ab , y a veces se considera una forma de desigualdad estricta. No dice que uno sea más grande que el otro; que ni siquiera requiere una y b para ser miembro de un conjunto ordenado .
En las ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, normalmente en varios órdenes de magnitud . Esto implica que el valor menor puede despreciarse con poco efecto sobre la precisión de una aproximación (como el caso del límite ultrarelativista en física).
- La notación a ≪ b significa que a es mucho menor que b . ( Sin embargo, en la teoría de la medida , esta notación se usa para la continuidad absoluta , un concepto no relacionado).
- La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b .
En todos los casos anteriores, dos símbolos cualesquiera que se reflejen entre sí son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.
Propiedades en la recta numérica
Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades . Todas estas propiedades también son válidas si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (<y>) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a funciones estrictamente monótonas .
Conversar
Las relaciones ≤ y ≥ son el uno al otro de conversar , lo que significa que para cualquier números reales una y b :
- un ≤ b y b ≥ una son equivalentes.
Transitividad
La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a , b , c :
- Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c .
Si alguna de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:
- Si un ≤ b y b < c , a continuación, un < c .
- Si a < b y b ≤ c , entonces a < c .
Adición y sustracción
Una constante común c se puede sumar o restar de ambos lados de una desigualdad. Entonces, para cualquier número real a , b , c :
- Si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a - c ≤ b - c .
En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado bajo suma.
Multiplicación y división
Las propiedades que se ocupan de la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a , by c distinto de cero :
- Si un ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc y un / c ≤ b / c .
- Si un ≤ b y c <0, entonces ac ≥ bc y un / c ≥ b / c .
En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo multiplicación y división con constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. De manera más general, esto se aplica a un campo ordenado . Para obtener más información, consulte § Campos ordenados .
Aditivo inverso
La propiedad de los inversos aditivos estados que para los números reales una y b :
- Si a ≤ b , entonces - a ≥ - b .
Multiplicación inversa
Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la que existe entre los números originales. Más específicamente, para cualquier número real distinto de cero a y b que sean ambos positivos (o ambos negativos ):
- Si a ≤ b , entonces 1/a ≥ 1/B.
Todos los casos de los signos de una y b también pueden escribirse en notación de cadena , como sigue:
- Si 0 < a ≤ b , entonces1/a ≥ 1/B > 0.
- Si a ≤ b <0, entonces 0>1/a ≥ 1/B.
- Si a <0 < b , entonces1/a <0 < 1/B.
Aplicar una función a ambos lados
Cualquier función que aumente de forma monótona , por su definición, puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función decreciente monótona a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se revertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de aplicación de una función decreciente monótona.
Si la desigualdad es estricta ( a < b , a > b ) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para las inversas aditivas y multiplicativas son ejemplos de la aplicación de una función estrictamente decreciente monótona.
Algunos ejemplos de esta regla son:
- El aumento de ambos lados de una desigualdad para una potencia n > 0 - (equiv,. N , cuando <0) a y b son números reales positivos:
- 0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a n ≤ b n .
- 0 ≤ a ≤ b ⇔ a - n ≥ b - n ≥ 0.
- Tomando el logaritmo natural de ambos lados de una desigualdad, cuando un y b son números reales positivos:
- 0 < a ≤ b ⇔ ln ( a ) ≤ ln ( b ).
- 0 < a < b ⇔ ln ( a ) <ln ( b ).
- (esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).
Definiciones y generalizaciones formales
Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexivo , antisimétrico y transitivo . Es decir, para todo un , b , y c en P , debe satisfacer los tres siguientes cláusulas:
- a ≤ a ( reflexividad )
- si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b ( antisimetría )
- si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c ( transitividad )
Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado . Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden debe satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes en un conjunto P incluyen:
- Para cada una y b en P , un ≤ b o b ≤ un ( orden total ).
- Para todos a y b en P para los cuales a < b , hay una c en P tal que a < c < b ( orden denso ).
- Cada subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremum) en P ( propiedad de límite superior mínimo ).
Campos ordenados
Si ( F , +, ×) es un campo y ≤ es un orden total en F , entonces ( F , +, ×, ≤) se llama campo ordenado si y solo si:
- a ≤ b implica a + c ≤ b + c ;
- 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b .
Tanto ( Q , +, ×, ≤) como ( R , +, ×, ≤) son campos ordenados , pero ≤ no se puede definir para hacer ( C , +, ×, ≤) un campo ordenado , porque −1 es el cuadrado de i y, por tanto, sería positivo.
Además de ser un campo ordenado, R también tiene la propiedad de límite mínimo superior . De hecho, R se puede definir como el único campo ordenado con esa calidad.
Notación encadenada
La notación a < b < c significa " a < b y b < c ", de la cual, por la propiedad de transitividad anterior, también se sigue que a < c . Según las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las desigualdades si ese número es negativo. Por tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e .
Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n significa que a i ≤ a i +1 para i = 1, 2, ..., n - 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a i ≤ a j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n .
Al resolver desigualdades utilizando notación encadenada, es posible y, a veces, necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante la suma o la resta. En cambio, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, dando x <1/2 y x ≥ −1 respectivamente, que se pueden combinar en la solución final −1 ≤ x <1/2.
Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, el condiction definición de un conjunto parcialmente ordenado zigzag se escribe como una 1 < un 2 > un 3 < un 4 > un 5 < un 6 > .... La notación encadenada mixta se usa más a menudo con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c y c ≤ d . Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python . Por el contrario, en los lenguajes de programación que proporcionan un orden sobre el tipo de resultados de comparación, como C , incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente.
Grandes desigualdades
Se dice que una desigualdad es aguda , si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama aguda si, para cada desigualdad cuantificada universalmente válida ψ , si ψ ⇒ φ se cumple, entonces ψ ⇔ φ también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad ∀ a ∈ ℝ . a 2 ≥ 0 es agudo, mientras que la desigualdad ∀ a ∈ ℝ. a 2 ≥ −1 no es nítido.
Desigualdades entre medias
Hay muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo, para cualquier número positivo a 1 , a 2 ,…, a n tenemos H ≤ G ≤ A ≤ Q , donde
( media armónica ), ( media geométrica ), ( media aritmética ), ( media cuadrática ).
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio de producto interior es cierto que
¿Dónde está el producto interior ? Ejemplos de productos internos incluyen la real y complejo producto de punto ; En el espacio euclidiano R n con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es
Desigualdades de poder
Una " desigualdad de poder " es una desigualdad que contiene términos de la forma a b , donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. A menudo aparecen en ejercicios de olimpiadas matemáticas .
Ejemplos de
- Para cualquier x real ,
- Si x > 0 y p > 0, entonces
- En el límite de p → 0, los límites superior e inferior convergen en ln ( x ).
- Si x > 0, entonces
- Si x > 0, entonces
- Si x , y , z > 0, entonces
- Para cualquier números distintos reales de una y b ,
- Si x , y > 0 y 0 < p <1, entonces
- Si x , y , z > 0, entonces
- Si a , b > 0, entonces
- Si a , b > 0, entonces
- Si a , b , c > 0, entonces
- Si a , b > 0, entonces
Desigualdades conocidas
Los matemáticos a menudo usan desigualdades para acotar cantidades para las que las fórmulas exactas no se pueden calcular fácilmente. Algunas desigualdades se usan con tanta frecuencia que tienen nombres:
- La desigualdad de Azuma
- La desigualdad de Bernoulli
- La desigualdad de Bell
- La desigualdad de Boole
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz
- La desigualdad de Chebyshev
- La desigualdad de Chernoff
- Desigualdad de Cramér-Rao
- La desigualdad de Hoeffding
- La desigualdad de Hölder
- Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
- La desigualdad de Jensen
- La desigualdad de Kolmogorov
- La desigualdad de Markov
- Desigualdad de Minkowski
- La desigualdad de Nesbitt
- La desigualdad de Pedoe
- La desigualdad de Poincaré
- La desigualdad de Samuelson
- Desigualdad triangular
Números complejos y desigualdades
El conjunto de números complejos ℂ con sus operaciones de suma y multiplicación es un campo , pero es imposible definir cualquier relación ≤ para que (ℂ, +, ×, ≤) se convierta en un campo ordenado . Para hacer (ℂ, +, ×, ≤) un campo ordenado , tendría que satisfacer las siguientes dos propiedades:
- si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c ;
- si 0 ≤ a y 0 ≤ b , entonces 0 ≤ ab .
Debido a que ≤ es un orden total , para cualquier número a , 0 ≤ a o a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ - a ). En cualquier caso 0 ≤ a 2 ; esto significa que i 2 > 0 y 1 2 > 0 ; entonces −1> 0 y 1> 0 , lo que significa (−1 + 1)> 0; contradicción.
Sin embargo, una operación ≤ puede definirse para satisfacer sólo la primera propiedad (a saber, "si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c "). A veces se utiliza la definición de orden lexicográfico :
-
a ≤ b , si
- Re ( a ) <Re ( b ) , o
- Re ( a ) = Re ( b ) e Im ( a ) ≤ Im ( b )
Se puede demostrar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c .
Desigualdades vectoriales
Inequality relationships similar to those defined above can also be defined for column vectors. If we let the vectors (meaning that and , where and are real numbers for ), we can define the following relationships:
- , si es para .
- , si es para .
- , si por y .
- , si es para .
Del mismo modo, podemos definir relaciones para , y . Esta notación es consistente con la utilizada por Matthias Ehrgott en Optimización multicriterio (ver Referencias).
La propiedad de la tricotomía (como se indicó anteriormente ) no es válida para las relaciones de vectores. Por ejemplo, cuando y , no existe una relación de desigualdad válida entre estos dos vectores. Sin embargo, para el resto de las propiedades mencionadas, existe una propiedad paralela para las desigualdades vectoriales.
Sistemas de desigualdades
Los sistemas de desigualdades lineales se pueden simplificar mediante la eliminación de Fourier-Motzkin .
La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite probar si un sistema de ecuaciones polinómicas y desigualdades tiene soluciones y, si existen soluciones, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un dominio de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.
Ver también
- Relación binaria
- Paréntesis (matemáticas) , para el uso de signos ‹y› similares como paréntesis
- Inclusión (teoría de conjuntos)
- La inecuación
- Intervalo (matemáticas)
- Lista de desigualdades
- Lista de desigualdades de triángulos
- Conjunto parcialmente ordenado
- Operadores relacionales , usados en lenguajes de programación para denotar desigualdad.
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - desigualdad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "Definición de desigualdad (Diccionario ilustrado de matemáticas)" . www.mathsisfun.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "Desigualdad" . www.learnalberta.ca . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ "Medidas absolutamente continuas - Enciclopedia de las matemáticas" . www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Mucho mayor" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Drachman, Bryon C .; Cloud, Michael J. (2006). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería . Springer Science & Business Media. págs. 2-3. ISBN 0-3872-2626-5.
- ^ "ProvingInequalities" . www.cs.yale.edu . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Simovici, Dan A. y Djeraba, Chabane (2008). "Conjuntos parcialmente ordenados" . Herramientas matemáticas para la minería de datos: teoría de conjuntos, órdenes parciales, combinatoria . Saltador. ISBN 9781848002012.
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjunto parcialmente ordenado" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Feldman, Joel (2014). "Campos" (PDF) . math.ubc.ca . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Stewart, Ian (2007). Por qué la belleza es verdad: la historia de la simetría . Hachette Reino Unido. pag. 106. ISBN 978-0-4650-0875-9.
- ^ Brian W. Kernighan y Dennis M. Ritchie (abril de 1988). El lenguaje de programación C . Serie de software de Prentice Hall (2ª ed.). Englewood Cliffs / Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0131103628.Aquí: Sección A.7.9 Operadores relacionales , p.167: Cita: "a <b <c se analiza como (a <b) <c"
- ^ Laub, M .; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly . 97 (1): 65–67. doi : 10.2307 / 2324012 . JSTOR 2324012 .
- ^ Manyama, S. (2010). "Solución de una conjetura sobre desigualdades con funciones de potencia exponencial" (PDF) . Revista Australiana de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 7 (2): 1.
- ^ Gärtner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Comprensión y uso de la programación lineal . Berlín: Springer. ISBN 3-540-30697-8.
Fuentes
- Hardy, G., Littlewood JE, Pólya, G. (1999). Desigualdades . Biblioteca de matemáticas de Cambridge, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Beckenbach, EF, Bellman, R. (1975). Introducción a las desigualdades . ISBN de Random House Inc. 0-394-01559-2.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Grinshpan, AZ (2005), "Desigualdades generales, consecuencias y aplicaciones", Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016 / j.aam.2004.05.001
- Murray S. Klamkin. " Desigualdades ' Quickie'" (PDF) . Estrategias matemáticas .
- Arthur Lohwater (1982). "Introducción a las Desigualdades" . Libro electrónico online en formato PDF.
- Harold Shapiro (2005). "Resolución de problemas matemáticos" . Seminario El Viejo Problema . Kungliga Tekniska högskolan.
- "3er USAMO" . Archivado desde el original el 3 de febrero de 2008.
- Pachpatte, BG (2005). Desigualdades matemáticas . Biblioteca matemática de Holanda Septentrional. 67 (primera ed.). Amsterdam, Países Bajos: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509 . Señor 2147066 . Zbl 1091.26008 .
- Ehrgott, Matthias (2005). Optimización multicriterio . Springer-Berlín. ISBN 3-540-21398-8.
- Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-54677-5.