relación antisimétrica - Antisymmetric relation


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En matemáticas , una relación binaria R en un conjunto X es anti-simétrica si no hay par de distintos elementos de X cada uno de los cuales se relacionan por R a la otra. Más formalmente, R es anti-simétrica, precisamente, si para todo un y b en X

si R ( un , b ) con un  ≠  b , entonces R ( b , un ) no debe contener,

o equivalente,

si R ( un , b ) y R ( b , una ), entonces un  =  b .

(La definición de anti-simetría dice nada acerca de si R ( un , una ) en realidad tiene o no para cualquier una .)

La divisibilidad relación de los números naturales es un ejemplo importante de una relación anti-simétrica. En este contexto, anti-simetría significa que la única manera de cada uno de dos números pueden ser divisible por el otro es si los dos son, de hecho, el mismo número; equivalentemente, si n y m son distintos y n es un factor de m , entonces m no puede ser un factor de n . Por ejemplo, 12 es divisible por 4, pero 4 no es divisible por 12.

La habitual relación de orden ≤ sobre los números reales es anti-simétrico: si por dos números reales x y Y tanto desigualdades x  ≤  y y y  ≤  x sostienen entonces x y y deben ser iguales. Del mismo modo, el orden subconjunto ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado es anti-simétrico: Dados dos conjuntos A y B , si cada elemento en A también está en B y cada elemento de B también está en A , entonces A y B deben contener todos los mismos elementos y por lo tanto sean iguales:

Parciales y el total de pedidos son anti-simétrica por definición. Una relación puede ser tanto simétrica y anti-simétrica (por ejemplo, la relación de igualdad ), y hay relaciones que no son ni simétrica ni anti-simétrica (por ejemplo, los "presas en" relación en biológicos especies ).

Anti-simetría es diferente de asimetría , que requiere tanto anti-simetría y irreflexivity . Por lo tanto, cada relación asimétrica es anti-simétrica, pero lo contrario es falso.

Ver también

referencias

  • Weisstein, Eric W. "relación antisimétrica" . MathWorld .
  • Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teoría y Problemas de Matemática Discreta . McGraw-Hill. pag. 33. ISBN  0-07-038045-7 .