Relación asimétrica - Asymmetric relation

Relaciones binarias transitivas
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico También conocido como: Total, Semiconnex Antirreflejos Relación de equivalencia Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden parcial ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Reserva total ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden total ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Ordenamiento previo ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien casi ordenado ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien ordenado ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Enrejado ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Unión-semirrejilla ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Encuentro-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Orden parcial estricto ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Orden estrictamente débil ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Orden total estricto ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico Definiciones: ${\ Displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b \, {\ text {y}} \, S \ neq \ varnothing:}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {y}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {o}} \, bRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {existe}}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {existe}}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {existe}}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$
Todas las definiciones requieren tácitamente que la relación homogénea sea transitiva : A " " indica que la propiedad de la columna es requerida por la definición del término de la fila (en el extremo izquierdo). Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Aquí se enumeran las propiedades adicionales que puede satisfacer una relación homogénea. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {{\ text {Para todos}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {y}} bRc {\ text {luego}} aRc}.}$ Y

En matemáticas , una relación asimétrica es una relación binaria en un conjunto donde para todo si está relacionado con entonces no está relacionado con${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle a, b \ en X,}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a.}$

Definicion formal

Una relación binaria en es cualquier subconjunto de Dada escritura si y sólo si lo que significa que es la abreviatura de la expresión se lee como " se relaciona con por " La relación binaria se denomina asimétrico si para todo si es cierto, entonces es falso; es decir, si entonces Esto se puede escribir en la notación de la lógica de primer orden como ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ times X.}$${\ Displaystyle a, b \ en X,}$${\ Displaystyle aRb}$${\ Displaystyle (a, b) \ en R,}$${\ Displaystyle aRb}$${\ Displaystyle (a, b) \ en R.}$${\ Displaystyle aRb}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle R.}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle a, b \ en X,}$${\ Displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa}$${\ Displaystyle (a, b) \ in R}$${\ Displaystyle (b, a) \ not \ in R.}$

$${\ Displaystyle \ forall a, b \ in X: aRb \ implica \ lnot (bRa).}$$

Una definición lógicamente equivalente es:

para todos al menos uno de y es falso ,${\ Displaystyle a, b \ en X,}$${\ Displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa}$

que en lógica de primer orden se puede escribir como:

$${\ Displaystyle \ forall a, b \ in X: \ lnot (aRb \ wedge bRa).}$$

Un ejemplo de una relación asimétrica es la relación " menor que " entre números reales : si entonces necesariamente no es menor que La relación "menor o igual" por otro lado, no es asimétrica, porque invertir, por ejemplo, produce y ambos son verdadero. La asimetría no es lo mismo que "no simétrico ": la relación menor o igual es un ejemplo de una relación que no es ni simétrica ni asimétrica. La relación vacía es la única relación que es ( vacía ) tanto simétrica como asimétrica. ${\ Displaystyle \, <\,}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x.}$${\ Displaystyle \, \ leq,}$${\ Displaystyle x \ leq x}$${\ Displaystyle x \ leq x}$

Propiedades

• Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva .
• Las restricciones y conversiones de relaciones asimétricas también son asimétricas. Por ejemplo, la restricción de de los reales a los enteros sigue siendo asimétrica y la inversa de también es asimétrica.${\ Displaystyle \, <\,}$${\ Displaystyle \,> \,}$${\ Displaystyle \, <\,}$
• Una relación transitiva es asimétrica si y sólo si es irreflexiva: si y transitividad da irreflexividad contradictoria.${\ Displaystyle aRb}$${\ displaystyle bRa,}$${\ Displaystyle aRa,}$
• Como consecuencia, una relación es transitiva y asimétrica si y solo si es un orden parcial estricto .
• No todas las relaciones asimétricas son órdenes parciales estrictas. Un ejemplo de una relación asimétrica no transitiva, incluso antitransitiva , es la relación piedra papel tijera : si late entonces no late y si late y late entonces no late${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X;}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Z.}$
• Una relación asimétrica no necesita tener la propiedad connex . Por ejemplo, el estricto subconjunto relación es asimétrica, y ninguno de los conjuntos y es un subconjunto estricto de la otra. Una relación es conexa si y solo si su complemento es asimétrico.${\ Displaystyle \, \ subsetneq \,}$${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$${\ Displaystyle \ {3,4 \}}$

Ver también

• La axiomatización de los reales por parte de Tarski : parte de esto es el requisito de que los números reales sean asimétricos.${\ Displaystyle \, <\,}$

Referencias