La axiomatización de los reales de Tarski - Tarski's axiomatization of the reals
En 1936, Alfred Tarski estableció un axiomatization de los números reales y su aritmética, que consta de sólo los 8 axiomas se muestran a continuación y sólo cuatro nociones primitivas : el conjunto de números reales denota R , un binario orden total sobre R , denotado por infija < , una operación binaria de suma sobre R , denotada por infijo +, y la constante 1.
La literatura menciona ocasionalmente esta axiomatización pero nunca entra en detalles, a pesar de su economía y elegantes propiedades metamatemáticas . Esta axiomatización parece poco conocida, posiblemente debido a su naturaleza de segundo orden . La axiomatización de Tarski puede verse como una versión de la definición más habitual de números reales como el único campo ordenado completo de Dedekind ; sin embargo, se hace mucho más conciso mediante el uso de variantes poco ortodoxas de axiomas algebraicos estándar y otros trucos sutiles (ver, por ejemplo, los axiomas 4 y 5, que combinan los cuatro axiomas habituales de los grupos abelianos ).
El término "axiomatización de números reales de Tarski" también se refiere a la teoría de campos cerrados reales , que Tarski mostró completamente axiomatiza la teoría de primer orden de la estructura 〈 R , +, ·, <〉.
Los axiomas
Axiomas de orden (primitivas: R , <):
- Axioma 1
- Si x < y , entonces no y < x . Es decir, "<" es una relación asimétrica . Esto implica que "<" no es una relación reflexiva , es decir, para todo x , x < x es falso.
- Axioma 2
- Si x < z , existe una y tal que x < y e y < z . En otras palabras, "<" es denso en R .
- Axioma 3
- "<" es Dedekind-completo . Más formalmente, para todo X , Y ⊆ R , si para todo x ∈ X e y ∈ Y , x < y , entonces existe una z tal que para todo x ∈ X e y ∈ Y , si z ≠ x y z ≠ y , entonces x < z y z < y .
Para aclarar lo anterior declaración algo, dejar que X ⊆ R y S ⊆ R . Ahora definimos dos verbos comunes en inglés de una manera particular que se adapte a nuestro propósito:
- X precede a Y si y solo si para todo x ∈ X y todo y ∈ Y , x < y .
- El número real z separa X e Y si y solo si para cada x ∈ X con x ≠ z y cada y ∈ Y con y ≠ z , x < z y z < y .
Entonces, el axioma 3 puede expresarse como:
- "Si un conjunto de reales precede a otro conjunto de reales, entonces existe al menos un número real que separa los dos conjuntos".
Los tres axiomas implican que R es un continuo lineal .
Axiomas de adición (primitivas: R , <, +):
- Axioma 4
- x + ( y + z ) = ( x + z ) + y .
- Axioma 5
- Para todo x , y , existe una z tal que x + z = y .
- Axioma 6
- Si x + y < z + w , entonces x < z o Y < w .
Axiomas para uno (primitivas: R , <, +, 1):
- Axioma 7
- 1 ∈ R .
- Axioma 8
- 1 <1 + 1.
Estos axiomas implican que R es un grupo abeliano ordenado linealmente bajo la adición con el elemento distinguido 1. R también es Dedekind-completo , divisible y de Arquímedes .
Tarski declaró, sin pruebas, que estos axiomas daban un orden total. El componente faltante fue suministrado en 2008 por Stefanie Ucsnay.
Esta axiomatización no da lugar a una teoría de primer orden , ya que la declaración formal de axioma 3 incluye dos cuantificadores universales sobre todos los posibles subconjuntos de R . Tarski demostró que estos 8 axiomas y 4 nociones primitivas son independientes.
Cómo estos axiomas implican un campo
Tarski esbozó la prueba (no trivial) de cómo estos axiomas y primitivas implican la existencia de una operación binaria llamada multiplicación y que tiene las propiedades esperadas, de modo que R es un campo ordenado completo bajo suma y multiplicación. Esta demostración se basa fundamentalmente en los números enteros, siendo la suma un grupo abeliano y tiene su origen en la definición de magnitud de Eudoxo .