Grupo ordenado linealmente - Linearly ordered group

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G equipado con un orden total "≤" que es invariante en la traducción . Esto puede tener diferentes significados. Decimos que ( G , ≤) es un:

• grupo ordenado por la izquierda si a  ≤  b implica c + a  ≤  c + b para todo a ,  b ,  c en G ,
• grupo ordenado por la derecha si a  ≤  b implica a + c  ≤  b + c para todo a ,  b ,  c en G ,
• grupo bi-ordenado si está ordenado por la izquierda y por la derecha.

Tenga en cuenta que G no necesita ser abeliano , aunque usamos notación aditiva (+) para la operación de grupo.

Definiciones

En analogía con los números ordinarios, que llamamos un elemento c de un grupo ordenado positivo si 0 ≤  c y c  ≠ 0, donde "0" aquí denota el elemento de identidad del grupo (no necesariamente el cero familiar de los números reales). El conjunto de elementos positivos en un grupo a menudo se denota con G ₊ .

Los elementos de un grupo ordenado linealmente satisfacen la tricotomía : cada elemento a de un grupo G ordenado linealmente es positivo ( a  ∈  G ₊ ), negativo ( −a  ∈  G ₊ ) o cero ( a  = 0). Si un grupo G ordenado linealmente no es trivial (es decir, 0 no es su único elemento), entonces G ₊ es infinito, ya que todos los múltiplos de un elemento distinto de cero son distintos. Por lo tanto, todo grupo ordenado linealmente no trivial es infinito.

Si a es un elemento de un grupo G ordenado linealmente , entonces el valor absoluto de a , denotado por | a |, se define como:

${\ displaystyle | a |: = {\ begin {cases} a, & {\ text {if}} a \ geq 0, \\ - a, & {\ text {de lo contrario}}. \ end {cases}}}$

Si además el grupo G es abeliano , entonces para cualquier a ,  b  ∈  G se satisface la desigualdad del triángulo : | a  +  b | ≤ | a | + | b |.

Ejemplos

Cualquier grupo totalmente ordenado está libre de torsión . Por el contrario, FW Levi mostró que un grupo abeliano admite un orden lineal si y solo si está libre de torsión ( Levi 1942 ).

Otto Hölder demostró que cada grupo de Arquímedes (un grupo biordenado que satisface una propiedad de Arquímedes ) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de números reales ( Fuchs y Salce 2001 , p. 61). Si escribimos el grupo lo de Arquímedes de forma multiplicativa, esto se puede demostrar considerando la terminación de Dedekind , del cierre de un grupo lo debajo de las raíces. Dotamos a este espacio con la topología habitual de un orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada uno de los mapas exponenciales son isomorfismos de grupos topológicos bien definidos que conservan / invierten el orden . Completar un grupo bajo puede ser difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango: que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos. ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle g \ in {\ widehat {G}}}$${\ Displaystyle g ^ {\ cdot}: (\ mathbb {R}, +) \ to ({\ widehat {G}}, \ cdot): \ lim _ {i} q_ {i} \ in \ mathbb {Q } \ mapsto \ lim _ {i} g ^ {q_ {i}}}$

Una gran fuente de ejemplos de grupos ordenables por la izquierda proviene de grupos que actúan en la línea real por orden preservando los homeomorfismos . En realidad, para los grupos contables, se sabe que esto es una caracterización de la ordenabilidad por la izquierda, ver por ejemplo ( Ghys 2001 ).

Ver también

• Grupo cíclicamente ordenado
• Teorema de incrustación de Hahn
• Grupo parcialmente ordenado

Notas

Referencias

• Levi, FW (1942), "Grupos ordenados", Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4): 256–263, doi : 10.1007 / BF03174799
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, Señor  1794715
• Ghys, É. (2001), "Grupos que actúan en el círculo", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407