Teorema de incrustación de Hahn - Hahn embedding theorem

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que trata con estructuras ordenadas en grupos abelianos , el teorema de incrustación de Hahn proporciona una descripción simple de todos los grupos abelianos ordenados linealmente . Lleva el nombre de Hans Hahn .

Visión de conjunto

El teorema establece que cada grupo abeliano G ordenado linealmente se puede incrustar como un subgrupo ordenado del grupo aditivo ℝ Ω dotado de un orden lexicográfico , donde ℝ es el grupo aditivo de números reales (con su orden estándar), Ω es el conjunto de Clases de equivalencia de Arquímedes de G , y ℝ Ω es el conjunto de todas las funciones de Ω a ℝ que desaparecen fuera de un conjunto bien ordenado.

Deje 0 denotan el elemento identidad de G . Para cualquier elemento g distinto de cero de G , exactamente uno de los elementos g o - g es mayor que 0; denotar este elemento por | g |. Dos elementos distintos de cero g y h de G son equivalentes de Arquímedes si existen números naturales N y M de tal manera que N | g | > | h | y M | h | > | g |. Intuitivamente, esto significa que ni g ni h son "infinitesimales" con respecto al otro. El grupo G es Arquímedes si todos los elementos distintos de cero son equivalentes a Arquímedes. En este caso, Ω es un singleton, por lo que ℝ Ω es solo el grupo de números reales. Entonces, el Teorema de incrustación de Hahn se reduce al teorema de Hölder (que establece que un grupo abeliano ordenado linealmente es Arquímedes si y solo si es un subgrupo del grupo aditivo ordenado de los números reales).

Gravett (1956) ofrece un enunciado claro y una prueba del teorema. Los trabajos de Clifford (1954) y Hausner & Wendel (1952) juntos proporcionan otra prueba. Véase también Fuchs y Salce (2001 , p. 62).

Ver también

Referencias