Teorema de incrustación de Hahn - Hahn embedding theorem
En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que trata con estructuras ordenadas en grupos abelianos , el teorema de incrustación de Hahn proporciona una descripción simple de todos los grupos abelianos ordenados linealmente . Lleva el nombre de Hans Hahn .
Visión de conjunto
El teorema establece que cada grupo abeliano G ordenado linealmente se puede incrustar como un subgrupo ordenado del grupo aditivo ℝ Ω dotado de un orden lexicográfico , donde ℝ es el grupo aditivo de números reales (con su orden estándar), Ω es el conjunto de Clases de equivalencia de Arquímedes de G , y ℝ Ω es el conjunto de todas las funciones de Ω a ℝ que desaparecen fuera de un conjunto bien ordenado.
Deje 0 denotan el elemento identidad de G . Para cualquier elemento g distinto de cero de G , exactamente uno de los elementos g o - g es mayor que 0; denotar este elemento por | g |. Dos elementos distintos de cero g y h de G son equivalentes de Arquímedes si existen números naturales N y M de tal manera que N | g | > | h | y M | h | > | g |. Intuitivamente, esto significa que ni g ni h son "infinitesimales" con respecto al otro. El grupo G es Arquímedes si todos los elementos distintos de cero son equivalentes a Arquímedes. En este caso, Ω es un singleton, por lo que ℝ Ω es solo el grupo de números reales. Entonces, el Teorema de incrustación de Hahn se reduce al teorema de Hölder (que establece que un grupo abeliano ordenado linealmente es Arquímedes si y solo si es un subgrupo del grupo aditivo ordenado de los números reales).
Gravett (1956) ofrece un enunciado claro y una prueba del teorema. Los trabajos de Clifford (1954) y Hausner & Wendel (1952) juntos proporcionan otra prueba. Véase también Fuchs y Salce (2001 , p. 62).
Ver también
Referencias
- Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0 , Señor 1794715
- Ehrlich, Philip (1995), "Hahn's" Über die nichtarchimedischen Grössensysteme "y los orígenes de la teoría moderna de magnitudes y números para medirlos", en Hintikka, Jaakko (ed.), From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of Fundamentos de las matemáticas (PDF) , Kluwer Academic Publishers, págs. 165–213
- Hahn, H. (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme.", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (En alemán), 116 : 601–655
- Gravett, KAH (1956), "Ordered Abelian Groups", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 7 : 57–63, doi : 10.1093 / qmath / 7.1.57
- Clifford, AH (1954), "Nota sobre el teorema de Hahn sobre grupos abelianos ordenados", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (6): 860–863, doi : 10.2307 / 2032549
- Hausner, M .; Wendel, JG (1952), "Espacios vectoriales ordenados", Proceedings of the American Mathematical Society , 3 : 977–982, doi : 10.1090 / S0002-9939-1952-0052045-1