Torsión (álgebra) - Torsion (algebra)

En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , un elemento de torsión es un elemento de un módulo que produce cero cuando se multiplica por algún divisor del anillo que no sea cero . El submódulo de torsión de un módulo es el submódulo formado por los elementos de torsión. Un módulo de torsión es un módulo que equivale a su submódulo de torsión. Un módulo está libre de torsión si su submódulo de torsión comprende solo el elemento cero.

Esta terminología se usa más comúnmente para módulos sobre un dominio , es decir, cuando los elementos regulares del anillo son todos sus elementos distintos de cero.

Esta terminología se aplica a los grupos abelianos (con "módulo" y "submódulo" reemplazados por "grupo" y "subgrupo"). Esto lo permite el hecho de que los grupos abelianos son los módulos sobre el anillo de los enteros (de hecho, este es el origen de la terminología, que se ha introducido para los grupos abelianos antes de generalizarse a los módulos).

En el caso de grupos no conmutativos, un elemento de torsión es un elemento de orden finito . Contrariamente al caso conmutativo, los elementos de torsión no forman un subgrupo, en general.

Definición

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R se denomina elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo (un elemento que no es ni un divisor de cero izquierdo ni derecho ) que aniquila m , es decir, r  m = 0. En un dominio integral (un anillo conmutativo sin divisores cero), todo elemento distinto de cero es regular, por lo que un elemento de torsión de un módulo sobre un dominio integral es uno aniquilado por un elemento distinto de cero del dominio integral. Algunos autores usan esto como la definición de un elemento de torsión, pero esta definición no funciona bien en anillos más generales.

Un módulo M sobre un anillo R se denomina módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión y libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. Si el anillo R es un dominio integral, entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M , llamado submódulo de torsión de M , a veces denominado T ( M ). Si R no es conmutativo, T ( M ) puede ser o no un submódulo. Se muestra en ( Lam 2007 ) que R es un anillo mineral correcto si y solo si T ( M ) es un submódulo de M para todos los módulos R correctos . Dado que los dominios noetherianos correctos son Ore, esto cubre el caso en el que R es un dominio noetheriano correcto (que podría no ser conmutativo).

Más en general, dejar que M sea un módulo sobre un anillo R y S un subconjunto multiplicativa cerrado de R . Un elemento m de M se llama S -elemento de torsión si existe un elemento s en S tal que s aniquila m , es decir, s  m = 0. En particular, se puede tomar como S el conjunto de elementos regulares del anillo R y recuperar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G se llama elemento de torsión del grupo si tiene un orden finito , es decir, si hay un entero positivo m tal que g ^m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo, y g ^m denota el producto de m copias de g . Un grupo se denomina grupo de torsión (o grupo periódico) si todos sus elementos son elementos de torsión y un grupo libre de torsión si el único elemento de torsión es el elemento de identidad. Cualquiergrupo abelianopuede verse como un módulo sobre el anilloZdenúmeros enteros, y en este caso las dos nociones de torsión coinciden.

Ejemplos de

1. Deje que M sea un módulo libre sobre cualquier anillo R . Entonces se deduce inmediatamente de las definiciones que M está libre de torsión (si el anillo R no es un dominio, la torsión se considera con respecto al conjunto S de divisores distintos de cero de R ). En particular, cualquier grupo abeliano libre es libre de torsión y cualquier espacio vectorial sobre un campo K es libre de torsión cuando se ve como el módulo sobre K .
2. En contraste con el Ejemplo 1, cualquier grupo finito (abeliano o no) es periódico y se genera finitamente. El problema de Burnside se pregunta si, a la inversa, cualquier grupo periódico generado finitamente debe ser finito. (La respuesta es "no" en general, incluso si el período es fijo).
3. Los elementos de torsión del grupo multiplicativo de un campo son sus raíces de unidad .
4. En el grupo modular , Γ obtenido del grupo SL (2, Z ) de matrices de dos por dos enteros con determinante unitario factorizando su centro, cualquier elemento de torsión no trivial tiene orden dos y está conjugado al elemento S o tiene orden tres y está conjugado con el elemento ST . En este caso, los elementos de torsión no forman un subgrupo, por ejemplo, S  ·  ST = T , que tiene un orden infinito.
5. El grupo abeliano Q / Z , que consta de los números racionales (mod 1), es periódico, es decir, cada elemento tiene un orden finito. De manera análoga, el módulo K ( t ) / K [ t ] sobre el anillo R  =  K [ t ] de polinomios en una variable es pura torsión. Ambos ejemplos se pueden generalizar de la siguiente manera: si R es un dominio conmutativo y Q es su campo de fracciones, entonces Q / R es un módulo R de torsión .
6. El subgrupo de torsión de ( R / Z , +) es ( Q / Z , +) mientras que los grupos ( R , +) y ( Z , +) están libres de torsión. El cociente de un grupo abeliano sin torsión por un subgrupo es libre de torsión exactamente cuando el subgrupo es un subgrupo puro .
7. Considere un operador lineal L que actúa sobre un espacio vectorial V de dimensión finita . Si vemos V como un módulo F [ L ] de forma natural, entonces (como resultado de muchas cosas, ya sea simplemente por dimensionalidad finita o como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton ), V es una torsión F [ L ] -módulo.

Caso de un dominio ideal principal

Supongamos que R es un (conmutativa) dominio de ideales principales y M es un finitamente generado- R -módulo . Entonces, el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal proporciona una descripción detallada del módulo M hasta el isomorfismo. En particular, afirma que

${\ Displaystyle M \ simeq F \ oplus T (M),}$

donde F es un libre de R -módulo de rango finito (dependiendo sólo de M ) y T ( M ) es el submódulo de torsión de M . Como corolario, cualquier módulo sin torsión generado de forma finita sobre R es gratuito. Este corolario no es válido para dominios conmutativos más generales, incluso para R  =  K [ x , y ], el anillo de polinomios en dos variables. Para los módulos generados de forma no finita, la descomposición directa anterior no es cierta. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano puede no ser una suma directa de él.

Torsión y localización

Suponga que R es un dominio conmutativo y M es un módulo R. Deje que Q sea el cuerpo de cocientes del anillo R . Entonces uno puede considerar el módulo Q

${\ Displaystyle M_ {Q} = M \ otimes _ {R} Q,}$

obtenido de M por extensión de escalares . Dado que Q es un campo , un módulo sobre Q es un espacio vectorial , posiblemente de dimensión infinita. Existe un homomorfismo canónico de grupos abelianos de M a M _Q , y el núcleo de este homomorfismo es precisamente el submódulo de torsión T ( M ). De manera más general, si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado del anillo R , entonces podemos considerar la localización del módulo R M ,

${\ Displaystyle M_ {S} = M \ otimes _ {R} R_ {S},}$

que es un módulo sobre la localización R _S . Hay un mapa canónica de M a M _S , cuyo núcleo es precisamente el S submódulo de -torsion M . Así, el submódulo de torsión de M puede interpretarse como el conjunto de los elementos que 'se desvanecen en la localización'. La misma interpretación sigue siendo válida en la configuración no conmutativa para anillos que satisfacen la condición Ore, o más generalmente para cualquier conjunto de denominador derecho S y R- módulo M derecho .

Torsión en álgebra homológica

El concepto de torsión juega un papel importante en el álgebra homológica . Si M y N son dos módulos sobre un anillo conmutativo R (por ejemplo, dos grupos abelianos, cuando R  =  Z ), los functores de Tor producen una familia de R -módulos Tor _i ( M , N ). La S- torsión de un R -módulo M es canónicamente isomorfa a Tor ^R ₁ ( M ,  R _S / R ) por la secuencia larga exacta de Tor ^R _* : La secuencia corta exacta de R -módulos produce una secuencia exacta , por lo tanto es el núcleo del mapa de localización de M . El símbolo Tor que denota los functores refleja esta relación con la torsión algebraica. Este mismo resultado es válido para anillos no conmutativos, así como siempre que el conjunto S sea ​​un conjunto de denominador derecho . ${\ Displaystyle 0 \ a R \ a R_ {S} \ a R_ {S} / R \ a 0}$${\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {S} / R) \ to M \ to M_ {S}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {S} / R)}$

Variedades abelianas

El subgrupo de 4 torsiones de una curva elíptica sobre los números complejos.

Los elementos de torsión de una variedad abeliana son puntos de torsión o, en una terminología más antigua, puntos de división . En curvas elípticas, se pueden calcular en términos de polinomios de división .

Ver también

• Torsión analítica
• Dinámica aritmética
• Módulo plano
• Localización de un módulo
• Rango de un grupo abeliano
• Torsión Ray-Singer
• Grupo abeliano sin torsión
• Teorema del coeficiente universal

Referencias

• Ernst Kunz, " Introducción al álgebra conmutativa y la geometría algebraica ", Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky , " Infinite abelian groups ", Universidad de Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Submódulo de torsión" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Ejercicios en módulos y anillos , Libros de problemas de matemáticas, Nueva York: Springer, págs. Xviii + 412, doi : 10.1007 / 978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4, MR  2278849