Desigualdad de Markov - Markov's inequality

La desigualdad de Markov da un límite superior para la medida del conjunto (indicado en rojo) donde excede un nivel dado . El límite combina el nivel con el valor medio de .${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle f}$

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Markov da un límite superior para la probabilidad de que un no negativo función de una variable aleatoria es mayor que o igual a algunos positivo constante . Lleva el nombre del matemático ruso Andrey Markov , aunque apareció antes en el trabajo de Pafnuty Chebyshev (el maestro de Markov), y muchas fuentes, especialmente en el análisis , se refieren a ella como la desigualdad de Chebyshev (a veces, llamándola la primera desigualdad de Chebyshev, mientras que refiriéndose a la desigualdad de Chebyshev como la segunda desigualdad de Chebyshev) o la desigualdad de Bienaymé .

La desigualdad de Markov (y otras desigualdades similares) relacionan las probabilidades con las expectativas y proporcionan límites (con frecuencia imprecisos pero útiles) para la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria.

Declaración

Si X es una variable aleatoria no negativa y a  > 0 , entonces la probabilidad de que X sea ​​al menos a es como máximo la expectativa de X dividida por a :

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}.}$

Let (donde ); entonces podemos reescribir la desigualdad anterior como ${\ Displaystyle a = {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)}$${\ displaystyle {\ tilde {a}}> 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)) \ leq {\ frac {1} {\ tilde {a}}}.}$

En el lenguaje de la teoría de la medida , la desigualdad de Markov establece que si ( X , Σ,  μ ) es un espacio de medida , es una función de valor real extendida medible y ε > 0 , entonces ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ mu (\ {x \ en X: | f (x) | \ geq \ varepsilon \}) \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {X} | f | \, d \ mu.}$

Esta definición de la teoría de la medida a veces se denomina desigualdad de Chebyshev .

Versión extendida para funciones que aumentan monótonamente

Si φ es una función no negativa que aumenta monótonamente para los reales no negativos, X es una variable aleatoria, a ≥ 0 , y φ ( a )> 0 , entonces

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}.}$

Un corolario inmediato, utilizando momentos superiores de X apoyados en valores mayores que 0, es

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}$

Pruebas

Separamos el caso en el que el espacio de medida es un espacio de probabilidad del caso más general porque el caso de probabilidad es más accesible para el lector general.

Intuición

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ operatorname {P} (X <a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X <a) + \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$donde es mayor que 0 ya que rv no es negativo y es mayor que porque la expectativa condicional solo tiene en cuenta valores mayores que los que rv puede tomar. ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X | X <a)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle X}$

De ahí intuitivamente , lo que conduce directamente a . ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) \ geq \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a) \ geq a \ cdot \ operatorname {P} ( X \ geq a)}$${\ Displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}}$

Demostración de la teoría de la probabilidad

Método 1: De la definición de expectativa:

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$

Sin embargo, X es una variable aleatoria no negativa, por lo tanto,

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$

De esto podemos derivar,

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {a} xf (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} af (x) \, dx = a \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \, dx = a \ operatorname {Pr} (X \ geq a)}$

Desde aquí, dividir por nos permite ver que ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ Pr (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X) / a}$

Método 2: Para cualquier evento , sea ​​la variable aleatoria indicadora de , es decir, si ocurre y de lo contrario. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle I_ {E}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle I_ {E} = 1}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle I_ {E} = 0}$

Usando esta notación, tenemos si el evento ocurre y si . Entonces, dado , ${\ Displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 1}$${\ Displaystyle X \ geq a}$${\ Displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$${\ Displaystyle X <a}$${\ Displaystyle a> 0}$

${\ Displaystyle aI _ {(X \ geq a)} \ leq X}$

lo cual es claro si consideramos los dos posibles valores de . Si , entonces y así . De lo contrario, tenemos , para cuál y así . ${\ Displaystyle X \ geq a}$${\ Displaystyle X <a}$${\ Displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$${\ Displaystyle aI _ {(X \ geq a)} = 0 \ leq X}$${\ Displaystyle X \ geq a}$${\ Displaystyle I_ {X \ geq a} = 1}$${\ Displaystyle aI_ {X \ geq a} = a \ leq X}$

Dado que es una función que aumenta monótonamente, asumir la expectativa de ambos lados de una desigualdad no puede revertirla. Por lo tanto, ${\ Displaystyle \ operatorname {E}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (aI _ {(X \ geq a)}) \ leq \ operatorname {E} (X).}$

Ahora, usando la linealidad de las expectativas, el lado izquierdo de esta desigualdad es el mismo que

${\ Displaystyle a \ operatorname {E} (I _ {(X \ geq a)}) = a (1 \ cdot \ operatorname {P} (X \ geq a) +0 \ cdot \ operatorname {P} (X <a )) = a \ operatorname {P} (X \ geq a).}$

Así tenemos

${\ Displaystyle a \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X)}$

y como a  > 0, podemos dividir ambos lados por  a .

Prueba de la teoría de la medida

Podemos suponer que la función no es negativa, ya que solo su valor absoluto entra en la ecuación. Ahora, considere la función de valor real s en X dada por ${\ Displaystyle f}$

${\ displaystyle s (x) = {\ begin {cases} \ varepsilon, & {\ text {if}} f (x) \ geq \ varepsilon \\ 0, & {\ text {if}} f (x) < \ varepsilon \ end {cases}}}$

Entonces . Según la definición de la integral de Lebesgue${\ Displaystyle 0 \ leq s (x) \ leq f (x)}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} f (x) \, d \ mu \ geq \ int _ {X} s (x) \, d \ mu = \ varepsilon \ mu (\ {x \ in X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \})}$

y como , ambos lados se pueden dividir por , obteniendo ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ mu (\ {x \ in X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \}) \ leq {1 \ over \ varepsilon} \ int _ {X} f \, d \ mu.}$

Corolarios

La desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev usa la varianza para acotar la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe mucho de la media. Específicamente,

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}},}$

para cualquier a > 0 . Aquí Var ( X ) es la varianza de X, definida como:

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2}].}$

La desigualdad de Chebyshev se deriva de la desigualdad de Markov al considerar la variable aleatoria

${\ displaystyle (X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2}}$

y la constante para la cual la desigualdad de Markov se lee ${\ Displaystyle a ^ {2},}$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ geq a ^ {2}) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Este argumento se puede resumir (donde "MI" indica el uso de la desigualdad de Markov):

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) = \ operatorname {P} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ geq a ^ {2} \ right) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ right)} {a ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Otros corolarios

1. El resultado "monótono" se puede demostrar mediante:

   ${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) = \ operatorname {P} {\ big (} \ varphi (| X |) \ geq \ varphi (a) {\ big)} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}}$

2. El resultado de que, para una variable aleatoria no negativa X , la función cuantil de X satisface:

   ${\ Displaystyle Q_ {X} (1-p) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {p}},}$

   la prueba usando

   ${\ Displaystyle p \ leq \ operatorname {P} (X \ geq Q_ {X} (1-p)) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {Q_ {X} (1-p)}}.}$

3. Sea una variable aleatoria autoadjunta con valores de matriz y a > 0 . Luego ${\ Displaystyle M \ Successq 0}$

   ${\ Displaystyle \ operatorname {P} (M \ npreceq a \ cdot I) \ leq {\ frac {\ operatorname {tr} \ left (E (M) \ right)} {na}}.}$

   se puede mostrar de manera similar.

Ejemplos de

Suponiendo que ningún ingreso es negativo, la desigualdad de Markov muestra que no más de 1/5 de la población puede tener más de 5 veces el ingreso promedio.

Ver también

• Desigualdad de Paley-Zygmund : un límite inferior correspondiente
• Desigualdad de concentración : un resumen de los límites de cola de las variables aleatorias.

Referencias

enlaces externos

• La prueba formal de la desigualdad de Markov en el sistema Mizar .