Significado aritmetico - Arithmetic mean


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En matemáticas y estadísticas , la media aritmética ( / ˌ æ r ɪ theta m ɛ t ɪ k m i n / , el estrés en tercera sílaba de "aritmética"), o simplemente la media o promedio cuando el contexto es claro, es la suma de un conjunto de números dividido por el recuento de los números de la colección. La colección es a menudo un conjunto de resultados de un experimento o un estudio de observación , o con frecuencia un conjunto de resultados de una encuesta . El término "media aritmética" se prefiere en algunos contextos en matemáticas y estadística ya que ayuda a distinguirlo de otros medios , como la media geométrica y la media armónica .

Además de matemáticas y estadística, la media aritmética se utiliza con frecuencia en muchos campos diversos como la economía , la antropología y la historia , y se utiliza en casi todos los ámbitos académicos, en cierta medida. Por ejemplo, el ingreso per cápita es el ingreso promedio aritmético de la población de una nación.

Mientras que la media aritmética se utiliza a menudo para informar de las tendencias centrales , que no es una estadística robusta , lo que significa que está muy influido por los valores extremos (valores que son mucho más grandes o más pequeños que la mayoría de los valores). Cabe destacar que, para distribuciones asimétricas , como la distribución de los ingresos para los cuales los ingresos de algunas personas son sustancialmente mayores que la mayoría de la gente, la media aritmética puede no coincidir con la propia noción de "medio", y la estadística robusta, como la mediana , puede ser una mejor descripción de la tendencia central.

Definición

La media aritmética (o significar o promedio ), (leer bar ), es la media de los valores .

La media aritmética es la medida más comúnmente utilizado y fácilmente comprensible de la tendencia central en un conjunto de datos . En las estadísticas, el promedio término se refiere a cualquiera de las medidas de tendencia central. La media aritmética de un conjunto de datos observados se define como igual a la suma de los valores numéricos de todos y cada observación dividido por el número total de observaciones. Simbólicamente, si tenemos un conjunto de datos que consta de los valores , a continuación, la media aritmética se define por la fórmula:

(Véase la sumatoria para obtener una explicación del operador de suma ).

Por ejemplo, consideremos el salario mensual de 10 empleados de una empresa: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. La media aritmética es

Si el conjunto de datos es una población estadística (es decir, se compone de cada observación posible y no sólo un subconjunto de ellos), entonces la media de esa población se denomina significa población . Si el conjunto de datos es una muestra estadística (un subconjunto de la población), que llamamos la estadística resultante de este cálculo de una media muestral .

propiedades motivadoras

La media aritmética tiene varias propiedades que lo hacen útil, especialmente como medida de tendencia central. Éstos incluyen:

  • Si los números tienen significa , a continuación . Dado que es la distancia desde un número dado a la media, una forma de interpretar esta propiedad es como decir que los números a la izquierda de la media se equilibran con los números a la derecha de la media. La media es el único número único para el que los residuos (desviaciones de la estimación) suman cero.
  • Si es necesario utilizar un único número como un valor "típico" para un conjunto de números conocidos , entonces la media aritmética de los números hace esto mejor, en el sentido de minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado del valor típico: la suma de . (De ello se desprende que la media de la muestra es también el mejor predictor único en el sentido de tener el menor error cuadrático medio ). Si se desea la media aritmética de una población de números, entonces la estimación de la misma que es imparcial es la media aritmética de una muestra extraída de la población.

Contraste con la mediana

La media aritmética se puede contrastar con la mediana. La mediana se define de tal manera que no más de la mitad de los valores son más grandes que, y no más de la mitad son más pequeñas que, la mediana. Si los elementos en los datos aumentan aritméticamente , cuando se coloca en un cierto orden, a continuación, la mediana y la media aritmética son iguales. Por ejemplo, considere la muestra de datos . El promedio es , como es la mediana. Sin embargo, si tenemos en cuenta una muestra que no puede ser dispuesto de manera que aumentar aritméticamente, tales como , la mediana y la media aritmética pueden diferir significativamente. En este caso, la media aritmética es 6,2 y la mediana es 4. En general, el valor medio puede variar significativamente de la mayoría de los valores en la muestra, y puede ser mayor o menor que la mayoría de ellos.

Hay aplicaciones de este fenómeno en muchos campos. Por ejemplo, desde la década de 1980, el ingreso promedio en los Estados Unidos ha aumentado más lentamente que la media aritmética de los ingresos.

generalizaciones

Peso promedio

Un promedio ponderado, o media ponderada, es un medio en el que algunos puntos de datos cuentan en mayor medida que otros, en el que se les da más peso en el cálculo. Por ejemplo, la media aritmética de y es , o equivalente . En contraste, una ponderada media en la que el primer número recibe, por ejemplo, el doble de peso que el segundo (tal vez porque se asume que aparecerá dos veces más a menudo en la población general de la que se tomaron muestras de estos números) se calcularía como . Aquí los pesos, cuya suma necesariamente al valor uno, son y , siendo el doble de la última la primera. Tenga en cuenta que la media aritmética (a veces llamado el "promedio no ponderado" o "promedio ponderado por igual") puede ser interpretado como un caso especial de un promedio ponderado en el que todos los pesos son iguales entre sí (igual a en el ejemplo anterior, y igual a en una situación con ser números promedio).

distribuciones de probabilidad continuas

Comparación de dos distribuciones log-normal con media igual pero diferente asimetría , lo que resulta en diferentes medianas y modos .

Si una propiedad numérica, y cualquier muestra de datos de él, podría tomar cualquier valor de un rango continuo, en lugar de, por ejemplo, sólo números enteros, entonces la probabilidad de un índice de caída en algún rango de valores posibles se pueden describir mediante la integración una distribución de probabilidad continua a través de este intervalo, incluso cuando la ingenua de probabilidad para un número de muestra teniendo un cierto valor de infinitamente muchos es cero. El análogo de un promedio ponderado en este contexto, en el que hay un número infinito de posibilidades para el valor exacto de la variable en cada gama, se llama la media de la distribución de probabilidad . Una distribución de probabilidad más ampliamente encontrado se llama la distribución normal ; que tiene la propiedad de que todas las medidas de la tendencia central, que incluye no sólo la media, sino también el medio antes mencionado y el modo (los tres de M), son iguales entre sí. Esta igualdad no se cumple para otras distribuciones de probabilidad, como se ilustra para la distribución logarítmica normal aquí.

Anglos

Atención particular se debe tomar cuando se utilizan datos cíclicos, tales como fases o ángulos . Ingenuamente tomando la media aritmética de 1 ° y 359 ° se obtiene un resultado de 180 °. Esto es incorrecto por dos razones:

  • En primer lugar, las mediciones de ángulo sólo se definen hasta una constante aditiva de 360 ° (o 2π, si la medición en radianes ). Así, uno podría fácilmente como llamar a estos 1 ° y -1 °, o 361 ° y 719 °, cada uno de lo que da un promedio diferente.
  • En segundo lugar, en esta situación, 0 ° (equivalentemente, 360 °) es geométricamente un mejor promedio de valor: no es menor dispersión de ello (los puntos son ambos 1 ° de ella, y 179 ° de 180 °, la media putativo).

En una aplicación general, un descuido tal dará lugar al valor de media móvil artificialmente hacia el medio del rango numérico. Una solución a este problema es usar la formulación de optimización ( viz. , Definir la media como el punto central: el punto sobre el cual se tiene la menor dispersión), y redefinir la diferencia como una distancia modular (es decir, la distancia en el círculo : lo que la distancia modular entre 1 ° y 359 ° es de 2 °, no 358 °).

Símbolos y codificación

La media aritmética se denota a menudo por una barra, por ejemplo como en (leer bar ).

Algunos programas de software ( procesadores de texto , navegadores web ) no se muestre el símbolo X correctamente. Por ejemplo, el símbolo X en HTML es en realidad una combinación de dos códigos - base de la letra x más de un código para la línea anterior (& # 772; o ¯).

En algunos textos, como archivos PDF , el símbolo X puede ser reemplazado por un ciento símbolo (¢) ( Unicode & # 162) y cuando se copian al procesador de textos como Microsoft Word .

Ver también

referencias

Otras lecturas

enlaces externos