Fréchet significa - Fréchet mean

En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de centroides a espacios métricos , dando un único punto representativo o tendencia central para un grupo de puntos. Lleva el nombre de Maurice Fréchet . El significado de Karcher es el cambio de nombre del Centro de construcción de masas Riemannian desarrollado por Karsten Grove y Hermann Karcher. En los números reales, la media aritmética , la mediana , la media geométrica y la media armónica pueden interpretarse como medias de Fréchet para diferentes funciones de distancia.

Definición

Sea ( M , d ) un espacio métrico completo. Deje x 1 , x 2 , ..., x N sea en puntos M . Para cualquier punto p en M , defina la varianza de Fréchet como la suma de las distancias al cuadrado desde p hasta x i :

Las medias de Karcher son entonces aquellos puntos, m de M , que minimizan localmente Ψ:

Si hay una m de M que minimiza globalmente Ψ, entonces es la media de Fréchet .

A veces, a las x i se les asignan pesos w i . Luego, la varianza de Fréchet se calcula como una suma ponderada,

Ejemplos de Fréchet significa

Media y mediana aritmética

Para números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, utilizando la distancia euclidiana habitual como función de distancia.

La mediana también es una media de Fréchet, si la definición de la función Ψ se generaliza a la no cuadrática

donde , y la distancia euclidiana es la función de distancia d . En espacios de dimensiones superiores, esto se convierte en la mediana geométrica .

Significado geometrico

Sobre los números reales positivos, se puede definir la función de distancia (hiperbólica) . La media geométrica es la media de Fréchet correspondiente. De hecho, entonces es una isometría del espacio euclidiano a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet de la es la imagen de la media de Fréchet (en el sentido euclidiano) de la , es decir, debe ser:

.

Significado armonico

Sobre los números reales positivos , la métrica (función de distancia):

Puede ser definido. La media armónica es la media de Fréchet correspondiente.

Medios de poder

Dado un número real distinto de cero , la media de potencia se puede obtener como media de Fréchet introduciendo la métrica

f-me refiero

Dada una función invertible y continua , la f-media se puede definir como la media de Fréchet obtenida mediante el uso de la métrica:

Esto a veces se denomina media f generalizada o media cuasi aritmética .

Medias ponderadas

La definición general de la media de Fréchet que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones se puede utilizar para derivar versiones ponderadas para todos los tipos de media anteriores.

Referencias