Orden de magnitud - Order of magnitude

Un orden de magnitud es una aproximación del logaritmo de un valor relativo a algún valor de referencia entendido contextualmente, generalmente diez, interpretado como la base del logaritmo y el representante de valores de magnitud uno. Las distribuciones logarítmicas son de naturaleza común y considerar el orden de magnitud de los valores muestreados a partir de dicha distribución puede ser más intuitivo. Cuando el valor de referencia es diez, el orden de magnitud puede entenderse como el número de dígitos en la representación en base 10 del valor. De manera similar, si el valor de referencia es una de ciertas potencias de dos, la magnitud puede entenderse como la cantidad de memoria de la computadora necesaria para almacenar el valor entero exacto.

Las diferencias en orden de magnitud se pueden medir en una escala logarítmica de base 10 en " décadas " (es decir, factores de diez). Se pueden encontrar ejemplos de números de diferentes magnitudes en Órdenes de magnitud (números) .

Definición

Generalmente, el orden de magnitud de un número es la potencia más pequeña de 10 que se usa para representar ese número. Para calcular el orden de magnitud de un número , primero se expresa el número de la siguiente forma:

donde . Luego, representa el orden de magnitud del número. El orden de magnitud puede ser cualquier número entero . La siguiente tabla enumera el orden de magnitud de algunos números a la luz de esta definición:

Número Expresión en Orden de magnitud
0,2 2 × 10 −1 −1
1 1 × 10 0 0
5 0,5 × 10 1 1
6 0,6 × 10 1 1
31 3,1 × 10 1 1
32 0,32 × 10 2 2
999 0,999 × 10 3 3
1000 1 × 10 3 3

La media geométrica de y es , lo que significa que un valor de exactamente (es decir, ) representa un "punto medio" geométrico dentro del rango de valores posibles de .

Algunos usan una definición más simple donde , quizás porque la media aritmética de y se acerca a aumentar . Esta definición tiene el efecto de reducir ligeramente los valores de :

Número Expresión en Orden de magnitud
0,2 2 × 10 −1 −1
1 1 × 10 0 0
5 5 × 10 0 0
6 0,6 × 10 1 1
31 3,1 × 10 1 1
32 3,2 × 10 1 1
999 0,999 × 10 3 3
1000 1 × 10 3 3

Sin embargo, otros se restringen a valores donde , haciendo que el orden de magnitud de un número sea exactamente igual a su parte exponente en notación científica .

Usos

Se utilizan órdenes de magnitud para hacer comparaciones aproximadas. Si los números difieren en un orden de magnitud, x es aproximadamente diez veces diferente en cantidad que y . Si los valores difieren en dos órdenes de magnitud, difieren en un factor de aproximadamente 100. Dos números del mismo orden de magnitud tienen aproximadamente la misma escala: el valor mayor es menos de diez veces el valor menor.

En palabras
( escala larga )
En palabras
( escala corta )
Prefijo (símbolo) Decimal Poder
de diez
Orden de
magnitud
cuadrillonésimo septillonésimo yocto- (y) 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10 -24 −24
trilliardth sextillonésimo zepto- (z) 0.000 000 000 000 000 000 001 10 −21 −21
billonésima quintillonésimo atto- (a) 0.000 000 000 000 000 001 10 −18 −18
billar cuadrillonésimo femto- (f) 0.000 000 000 000 001 10 -15 −15
billonésimo billonésima pico- (p) 0.000 000 000 001 10 -12 −12
millardo billonésimo nano- (n) 0.000 000 001 10 −9 −9
millonésimo millonésimo micro- ( µ ) 0.000 001 10 −6 −6
milésimo milésimo mili- (m) 0,001 10 −3 −3
centésimo centésimo centi- (c) 0,01 10 -2 −2
décimo décimo deci- (d) 0,1 10 −1 −1
uno uno   1 10 0 0
diez diez deca- (da) 10 10 1 1
centenar centenar hecto- (h) 100 10 2 2
mil mil kilo- (k) 1000 10 3 3
millón millón mega- (M) 1 000 000 10 6 6
mil millones mil millones giga- (G) 1 000 000 000 10 9 9
mil millones trillón tera- (T) 1 000 000 000 000 10 12 12
de billar cuatrillón peta- (P) 1 000 000 000 000 000 10 15 15
trillón trillón exa- (E) 1 000 000 000 000 000 000 10 18 18
trilliard sextillón zetta- (Z) 1 000 000 000 000 000 000 000 10 21 21
cuatrillón septillón yotta- (Y) 1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 24 24
En palabras
( escala larga )
En palabras
( escala corta )
Prefijo (símbolo) Decimal Poder
de diez
Orden de
magnitud

Calcular el orden de magnitud

El orden de magnitud de un número es, intuitivamente hablando, el número de potencias de 10 contenidas en el número. Más precisamente, el orden de magnitud de un número se puede definir en términos del logaritmo común , generalmente como la parte entera del logaritmo, obtenido por truncamiento . Por ejemplo, el número4 000 000 tiene un logaritmo (en base 10) de 6.602; su orden de magnitud es 6. Al truncar, un número de este orden de magnitud está entre 10 6 y 10 7 . En un ejemplo similar, con la frase "Tenía un ingreso de siete cifras", el orden de magnitud es el número de cifras menos uno, por lo que se puede determinar muy fácilmente sin una calculadora hasta 6. Un orden de magnitud es una posición aproximada. en una escala logarítmica .

Estimación de orden de magnitud

Una estimación de orden de magnitud de una variable, cuyo valor preciso se desconoce, es una estimación redondeada a la potencia de diez más cercana. Por ejemplo, una estimación de orden de magnitud para una variable entre aproximadamente 3 mil millones y 30 mil millones (como la población humana de la Tierra ) es 10 mil millones . Para redondear un número a su orden de magnitud más cercano, se redondea su logaritmo al entero más cercano. Por lo tanto4 000 000 , que tiene un logaritmo (en base 10) de 6.602, tiene 7 como su orden de magnitud más cercano, porque "más cercano" implica redondeo en lugar de truncamiento. Para un número escrito en notación científica, esta escala de redondeo logarítmico requiere redondear a la siguiente potencia de diez cuando el multiplicador es mayor que la raíz cuadrada de diez (aproximadamente 3,162). Por ejemplo, el orden de magnitud más cercano para1,7 × 10 8 es 8, mientras que el orden de magnitud más cercano para3.7 × 10 8 es 9. Una estimación de orden de magnitud a veces también se denomina aproximación de orden cero .

Diferencia de orden de magnitud

Una diferencia de orden de magnitud entre dos valores es un factor de 10. Por ejemplo, la masa del planeta Saturno es 95 veces la de la Tierra , por lo que Saturno es dos órdenes de magnitud más masiva que la Tierra. Las diferencias de orden de magnitud se denominan décadas cuando se miden en una escala logarítmica .

Órdenes de magnitud no decimales

Se pueden calcular otros órdenes de magnitud utilizando bases distintas de 10. Los antiguos griegos clasificaron el brillo nocturno de los cuerpos celestes en 6 niveles en los que cada nivel era la quinta raíz de cien (aproximadamente 2.512) tan brillante como el nivel de brillo más débil más cercano. y, por lo tanto, el nivel más brillante es 5 órdenes de magnitud más brillante que el más débil indica que es (100 1/5 ) 5 o un factor de 100 veces más brillante.

Los diferentes sistemas de numeración decimal del mundo utilizan una base más grande para visualizar mejor el tamaño del número y han creado nombres para los poderes de esta base más grande. La tabla muestra a qué número apunta el orden de magnitud para la base 10 y para la base1 000 000 . Se puede ver que el orden de magnitud está incluido en el nombre del número en este ejemplo, porque bi- significa 2 y tri- significa 3 (estos tienen sentido solo en la escala larga), y el sufijo -illion indica que la base es1 000 000 . Pero los nombres de números mil millones, trillones en sí mismos (aquí con otro significado que en el primer capítulo) no son nombres de órdenes de magnitudes, son nombres de "magnitudes", es decir, los números 1 000 000 000 000 etc.

Orden de magnitud Es el registro 10 de Es registro1 000 000 de Escala corta Escala larga
1 10 1 000 000 millón millón
2 100 1 000 000 000 000 trillón mil millones
3 1000 1 000 000 000 000 000 000 trillón trillón

Las unidades SI de la tabla de la derecha se utilizan junto con los prefijos SI , que se diseñaron principalmente con magnitudes de base 1000 en mente. Los prefijos del estándar IEC con base 1024 se inventaron para su uso en tecnología electrónica.

Las antiguas magnitudes aparentes para el brillo de las estrellas utilizan la base y se invierten. Sin embargo, la versión modernizada se ha convertido en una escala logarítmica con valores no enteros.

Números extremadamente grandes

Para números extremadamente grandes , un orden de magnitud generalizado puede basarse en su doble logaritmo o superlogaritmo . Redondearlos hacia abajo a un número entero da categorías entre muy "números redondos", redondearlos al entero más cercano y aplicar la función inversa da el número redondo "más cercano".

El doble logaritmo produce las categorías:

..., 1,0023 a 1,023, 1,023 a 1,26, 1,26 a 10 10-10 10 , 10 10 -10 100 10 100 -101000 , ...

(los dos primeros mencionados, y la extensión a la izquierda, pueden no ser muy útiles, simplemente demuestran cómo la secuencia continúa matemáticamente hacia la izquierda).

El superlogaritmo produce las categorías:

0–1, 1–10, 10–10 10 , 10 10 –10 10 10 , 10 10 10 –10 10 10 10 , ... o
0– 0 10, 0 10– 1 10, 1 10– 2 10, 2 10– 3 10, 3 10– 4 10, ...

Los "puntos medios" que determinan qué número redondo está más cerca son en el primer caso:

1.076, 2.071, 1453, 4,20 × 10 31 ,1,69 × 10 316 , ...

y, dependiendo del método de interpolación, en el segundo caso

−0,301, 0,5, 3,162, 1453 ,1 × 10 1453 , , , ... (véase la notación de números extremadamente grandes )

Para números extremadamente pequeños (en el sentido de cerca de cero) ningún método es adecuado directamente, pero se puede considerar el orden generalizado de magnitud del recíproco .

De manera similar a la escala logarítmica, se puede tener una escala logarítmica doble (se proporciona un ejemplo aquí ) y una escala superlogarítmica. Los intervalos anteriores tienen todos la misma longitud, con los "puntos medios" en realidad a mitad de camino. De manera más general, un punto a medio camino entre dos puntos corresponde a la media f generalizada con f ( x ) la función correspondiente log log x o slog x . En el caso de log log x , esta media de dos números (por ejemplo, 2 y 16 dando 4) no depende de la base del logaritmo, al igual que en el caso de log x ( media geométrica , 2 y 8 dando 4), pero a diferencia del caso de log log log x (4 y65 536 dando 16 si la base es 2, pero no de otra manera).


Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos