Lista de desigualdades de triángulos - List of triangle inequalities

En geometría , las desigualdades de triángulos son desigualdades que involucran los parámetros de los triángulos , que son válidas para cada triángulo o para cada triángulo que cumple ciertas condiciones. Las desigualdades dan un orden de dos valores diferentes: son de la forma "menor que", "menor o igual que", "mayor que" o "mayor o igual que". Los parámetros en la desigualdad de un triángulo pueden ser las longitudes de los lados, el semiperímetro , las medidas de los ángulos , los valores de las funciones trigonométricas de esos ángulos, el área del triángulo, las medianas de los lados, las altitudes , las longitudes de las bisectrices internas de los ángulos. desde cada ángulo hasta el lado opuesto, las bisectrices perpendiculares de los lados, la distancia desde un punto arbitrario a otro punto, el inradius , el exradii , el circumradius y / u otras cantidades.

A menos que se especifique lo contrario, este artículo trata sobre triángulos en el plano euclidiano .

Parámetros principales y notación

Los parámetros que aparecen con más frecuencia en las desigualdades de triángulos son:

• el lado de longitudes de un , b , y c ;
• el semiperímetro s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (la mitad del perímetro p );
• los angulares medidas A , B , y C de los ángulos de los vértices opuestos a los lados respectivos de un , b , y c (con los vértices denotados con los mismos símbolos que sus medidas de los ángulos);
• los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos;
• el área T del triángulo;
• las medianas m _a , m _b y m _c de los lados (siendo cada una la longitud del segmento de línea desde el punto medio del lado hasta el vértice opuesto);
• las altitudes h _a , h _b y h _c (siendo cada una la longitud de un segmento perpendicular a un lado y desde ese lado (o posiblemente la extensión de ese lado) hasta el vértice opuesto);
• las longitudes de las bisectrices internas de los ángulos t _a , t _b y t _c (siendo cada una un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto y bisectando el ángulo del vértice);
• las bisectrices perpendiculares p _a , p _b y p _c de los lados (cada una tiene la longitud de un segmento perpendicular a un lado en su punto medio y llega a uno de los otros lados);
• las longitudes de los segmentos de línea con un punto final en un punto arbitrario P en el plano (por ejemplo, la longitud del segmento desde P hasta el vértice A se denota PA o AP );
• el inradius r (radio del círculo inscrito en el triángulo, tangente a los tres lados), el exradii r _a , r _b , y r _c (siendo cada uno el radio de un excircle tangente al lado a , b , o c respectivamente y tangente a las extensiones de los otros dos lados), y el circunradio R (radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo y que pasa por los tres vértices).

Longitudes de los lados

La desigualdad básica del triángulo es

o equivalente

Además,

donde el valor del lado derecho es el límite más bajo posible, se acercó asintóticamente a medida que ciertas clases de triángulos se acercan al caso degenerado de área cero. La desigualdad de la izquierda, que se aplica a todo a, b, c positivo , es la desigualdad de Nesbitt .

Tenemos

${\ Displaystyle 3 \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ right) \ geq 2 \ left ({\ frac {b} {a}} + {\ frac {c} {b}} + {\ frac {a} {c}} \ derecha) +3.}$

${\ Displaystyle abc \ geq (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c). \ quad}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}} \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {(a + b + c) ^ {2}} } <{\ frac {1} {2}}. \ quad}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {a + bc}} + {\ sqrt {a-b + c}} + {\ sqrt {-a + b + c}} \ leq {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}}.}$

${\ Displaystyle a ^ {2} b (ab) + b ^ {2} c (bc) + c ^ {2} a (ca) \ geq 0.}$

Si el ángulo C es obtuso (mayor de 90 °) entonces

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} <c ^ {2};}$

si C es aguda (menos de 90 °) entonces

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}.}$

El caso intermedio de igualdad cuando C es un ángulo recto es el teorema de Pitágoras .

En general,

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> {\ frac {c ^ {2}} {2}},}$

con igualdad aproximada en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180 °.

Si el centroide del triángulo está dentro del círculo del triángulo , entonces

${\ Displaystyle a ^ {2} <4bc, \ quad b ^ {2} <4ac, \ quad c ^ {2} <4ab.}$

Si bien todas las desigualdades anteriores son verdad porque una , b , y c debe seguir la desigualdad básica triángulo que el lado más largo es menos de la mitad del perímetro, las siguientes relaciones son válidas para todos positivos una , b , y c :

${\ displaystyle {\ frac {3abc} {ab + bc + ca}} \ leq {\ sqrt [{3}] {abc}} \ leq {\ frac {a + b + c} {3}},}$

cada tenencia con igualdad solo cuando a = b = c . Esto dice que en el caso no equilátero la media armónica de los lados es menor que su media geométrica que a su vez es menor que su media aritmética .

Anglos

${\ Displaystyle \ cos A + \ cos B + \ cos C \ leq {\ frac {3} {2}}.}$

${\ Displaystyle (1- \ cos A) (1- \ cos B) (1- \ cos C) \ geq \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C.}$

${\ Displaystyle \ cos ^ {4} {\ frac {A} {2}} + \ cos ^ {4} {\ frac {B} {2}} + \ cos ^ {4} {\ frac {C} { 2}} \ leq {\ frac {s ^ {3}} {2abc}}}$

para semiperímetro s , con igualdad solo en el caso equilátero.

${\ Displaystyle a + b + c \ geq 2 {\ sqrt {bc}} \ cos A + 2 {\ sqrt {ca}} \ cos B + 2 {\ sqrt {ab}} \ cos C.}$

${\ Displaystyle \ sin A + \ sin B + \ sin C \ leq {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}.}$

${\ Displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C \ leq {\ frac {9} {4}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ left ({\ frac {\ sin A + \ sin B + \ sin C} {3}} \ right) ^ {3} \ leq \ left (\ sin {\ frac {A + B + C} {3}} \ right) ^ {3} = \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) = { \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {8}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A + \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ varphi}$

donde la proporción áurea . ${\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}},}$

${\ Displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {B} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {C} {2}} \ leq {\ frac {1 } {8}}.}$

${\ Displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {A} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {B} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {C} { 2}} \ geq 1.}$

${\ Displaystyle \ cot A + \ cot B + \ cot C \ geq {\ sqrt {3}}.}$

${\ Displaystyle \ sin A \ cdot \ cos B + \ sin B \ cdot \ cos C + \ sin C \ cdot \ cos A \ leq {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}}.}$

Para circunradio R e inradio r tenemos

${\ Displaystyle \ max \ left (\ sin {\ frac {A} {2}}, \ sin {\ frac {B} {2}}, \ sin {\ frac {C} {2}} \ right) \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ right),}$

con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de vértice mayor o igual a 60 °; y

${\ Displaystyle \ min \ left (\ sin {\ frac {A} {2}}, \ sin {\ frac {B} {2}}, \ sin {\ frac {C} {2}} \ right) \ geq {\ frac {1} {2}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ right),}$

con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de vértice menor o igual a 60 °.

También tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {r} {R}} - {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ leq \ cos A \ leq {\ frac {r} {R}} + {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}}}$

e igualmente para los ángulos B, C , con igualdad en la primera parte si el triángulo es isósceles y el ángulo del ápice es al menos de 60 ° e igualdad en la segunda parte si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo del ápice no mayor a 60 ° .

Además, cualquiera de las dos medidas de los ángulos A y B lados opuestos una y b respectivamente se relacionan de acuerdo con

${\ Displaystyle A> B \ quad {\ text {si y solo si}} \ quad a> b,}$

que está relacionado con el teorema del triángulo isósceles y su inverso, que establece que A = B si y solo si a = b .

Por Euclides 's teorema ángulo exterior , cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores en los vértices opuestos:

${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} -A> \ max (B, C).}$

Si un punto D está en el interior del triángulo ABC , entonces

${\ Displaystyle \ angle BDC> \ angle A.}$

Para un triángulo agudo tenemos

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C <1,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Además, para triángulos no obtusos tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {2R + r} {R}} \ leq {\ sqrt {2}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {AC} {2}} \ right) + \ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right) \ right)}$

con igualdad si y solo si es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC.

Zona

La desigualdad de Weitzenböck es, en términos del área T ,

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T,}$

con igualdad solo en el caso equilátero. Este es un corolario de la desigualdad de Hadwiger-Finsler , que es

${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {\ sqrt {3}} \ cdot T.}$

También,

${\ Displaystyle ab + bc + ca \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T}$

y

${\ Displaystyle T \ leq {\ frac {abc} {2}} {\ sqrt {\ frac {a + b + c} {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + abc} }} \ leq {\ frac {1} {4}} {\ sqrt [{6}] {\ frac {3 (a + b + c) ^ {3} (abc) ^ {4}} {a ^ { 3} + b ^ {3} + c ^ {3}}}} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}$

Desde el límite superior más a la derecha en T , usando la desigualdad media aritmético-geométrica , se obtiene la desigualdad isoperimétrica para triángulos :

${\ Displaystyle T \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {36}} (a + b + c) ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {3}} {9}} s ^ {2 }}$

para semiperímetro s . Esto a veces se expresa en términos de perímetro p como

${\ Displaystyle p ^ {2} \ geq 12 {\ sqrt {3}} \ cdot T,}$

con igualdad para el triángulo equilátero . Esto se ve reforzado por

${\ Displaystyle T \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}$

La desigualdad de Bonnesen también refuerza la desigualdad isoperimétrica:

${\ Displaystyle \ pi ^ {2} (Rr) ^ {2} \ leq (a + b + c) ^ {2} -4 \ pi T.}$

También tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {9abc} {a + b + c}} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T}$

con igualdad solo en el caso equilátero;

${\ Displaystyle 38T ^ {2} \ leq 2s ^ {4} -a ^ {4} -b ^ {4} -c ^ {4}}$

para semiperímetro s ; y

${\ Displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} <{\ frac {s} {T}}.}$

La desigualdad de Ono para triángulos agudos (aquellos con todos los ángulos menores a 90 °) es

${\ Displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4T) ^ {6}.}$

El área del triángulo se puede comparar con el área del círculo :

${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área del círculo}} {\ text {Área del triángulo}}} \ leq {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

con igualdad solo para el triángulo equilátero.

Si un triángulo interior está inscrito en un triángulo de referencia de modo que los vértices del triángulo interior dividan el perímetro del triángulo de referencia en segmentos de igual longitud, la razón de sus áreas está limitada por

${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área del triángulo inscrito}} {\ text {Área del triángulo de referencia}}} \ leq {\ frac {1} {4}}.}$

Que las bisectrices de los ángulos interiores de A , B , y C cumple con los lados opuestos en D , E , y F . Luego

${\ displaystyle {\ frac {3abc} {4 (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3})}} \ leq {\ frac {{\ text {Área del triángulo}} \, DEF } {{\ text {Área del triángulo}} \, ABC}} \ leq {\ frac {1} {4}}.}$

Una línea que atraviesa la mediana de un triángulo divide el área de tal manera que la relación entre la subárea más pequeña y el área del triángulo original es de al menos 4/9.

Medianas y centroide

Cada una de las tres medianas de un triángulo conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto, y la suma de sus longitudes satisface ${\ Displaystyle m_ {a}, \, m_ {b}, \, m_ {c}}$

${\ Displaystyle {\ frac {3} {4}} (a + b + c) <m_ {a} + m_ {b} + m_ {c} <a + b + c.}$

Es más,

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {m_ {a}} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {b}} {b}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {c}} {c}} \ right) ^ {2} \ geq {\ frac {9} {4}},}$

con igualdad solo en el caso equilátero, y para un radio r ,

${\ Displaystyle {\ frac {m_ {a} m_ {b} m_ {c}} {m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}} \ geq r.}$

Si además denotamos las longitudes de las medianas extendidas hasta sus intersecciones con el círculo circunferencial como M _a , M _b y M _c , entonces

${\ Displaystyle {\ frac {M_ {a}} {m_ {a}}} + {\ frac {M_ {b}} {m_ {b}}} + {\ frac {M_ {c}} {m_ {c }}} \ geq 4.}$

El centroide G es la intersección de las medianas. Supongamos que AG , BG y CG se encuentran con el círculo circunferencial en U , V y W respectivamente. Entonces ambos

${\ Displaystyle GU + GV + GW \ geq AG + BG + CG}$

y

${\ Displaystyle GU \ cdot GV \ cdot GW \ geq AG \ cdot BG \ cdot CG;}$

además,

${\ Displaystyle \ sin GBC + \ sin GCA + \ sin GAB \ leq {\ frac {3} {2}}.}$

Para un triángulo agudo tenemos

${\ Displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

en términos del circunradio R , mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Denotando como IA, IB, IC las distancias del incentro a los vértices, se cumple lo siguiente:

${\ Displaystyle {\ frac {IA ^ {2}} {m_ {a} ^ {2}}} + {\ frac {IB ^ {2}} {m_ {b} ^ {2}}} + {\ frac {IC ^ {2}} {m_ {c} ^ {2}}} \ leq {\ frac {3} {4}}.}$

Las tres medianas de cualquier triángulo pueden formar los lados de otro triángulo:

${\ Displaystyle m_ {a} <m_ {b} + m_ {c}, \ quad m_ {b} <m_ {c} + m_ {a}, \ quad m_ {c} <m_ {a} + m_ {b }.}$

Es más,

${\ Displaystyle \ max \ {bm_ {c} + cm_ {b}, \ quad cm_ {a} + am_ {c}, \ quad am_ {b} + bm_ {a} \} \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {\ sqrt {3}}}.}$

Altitudes

Cada una de las altitudes h _a , etc. conecta un vértice con el lado opuesto y es perpendicular a ese lado. Satisfacen a ambos

${\ Displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (a + b + c)}$

y

${\ Displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} \ leq {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Además, si entonces ${\ Displaystyle a \ geq b \ geq c,}$

${\ Displaystyle a + h_ {a} \ geq b + h_ {b} \ geq c + h_ {c}.}$

También tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {h_ {a} ^ {2}} {(b ^ {2} + c ^ {2})}} \ cdot {\ frac {h_ {b} ^ {2}} {(c ^ {2} + a ^ {2})}} \ cdot {\ frac {h_ {c} ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2})}} \ leq \ left ({ \ frac {3} {8}} \ right) ^ {3}.}$

Para las bisectrices internas t _a , t _b , t _c de los vértices A, B, C y el circuncentro R y el incentro r , tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ frac {h_ {c}} {t_ {c }}} \ geq {\ frac {R + 4r} {R}}.}$

Los recíprocos de las altitudes de cualquier triángulo pueden formar un triángulo:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {h_ {a}}} <{\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c}}}, \ quad {\ frac {1} {h_ {b}}} <{\ frac {1} {h_ {c}}} + {\ frac {1} {h_ {a}}}, \ quad {\ frac {1} {h_ { c}}} <{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}}.}$

Incentro y bisectriz de ángulo interno

Las bisectrices internas del ángulo son segmentos en el interior del triángulo que van desde un vértice al lado opuesto y bisecan el ángulo del vértice en dos ángulos iguales. Las bisectrices de ángulo t _a etc. satisfacen

${\ Displaystyle t_ {a} + t_ {b} + t_ {c} \ leq {\ frac {3} {2}} (a + b + c)}$

en términos de los lados, y

${\ Displaystyle h_ {a} \ leq t_ {a} \ leq m_ {a}}$

en términos de altitudes y medianas, y lo mismo para t _b y t _c . Más lejos,

${\ Displaystyle {\ sqrt {m_ {a}}} + {\ sqrt {m_ {b}}} + {\ sqrt {m_ {c}}} \ geq {\ sqrt {t_ {a}}} + {\ sqrt {t_ {b}}} + {\ sqrt {t_ {c}}}}$

en términos de las medianas, y

${\ Displaystyle {\ frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ frac {h_ {c}} {t_ {c }}} \ geq 1 + {\ frac {4r} {R}}}$

en términos de la altitudes, inradio r y circunradio R .

Sean T _a , T _b y T _c las longitudes de las bisectrices de los ángulos extendidas hasta la circunferencia. Luego

${\ Displaystyle T_ {a} T_ {b} T_ {c} \ geq {\ frac {8 {\ sqrt {3}}} {9}} abc,}$

con igualdad solo en el caso equilátero, y

${\ Displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ leq 5R + 2r}$

para circunradio R e inradio r , de nuevo con igualdad solo en el caso equilátero. Además,.

${\ Displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ geq {\ frac {4} {3}} (t_ {a} + t_ {b} + t_ {c}).}$

Para el incentro I (la intersección de las bisectrices internas del ángulo),

${\ Displaystyle 6r \ leq AI + BI + CI \ leq {\ sqrt {12 (R ^ {2} -Rr + r ^ {2})}}.}$

Para los puntos medios L, M, N de los lados,

${\ Displaystyle IL ^ {2} + MI ^ {2} + IN ^ {2} \ geq r (R + r).}$

Para el incentro I , el centroide G , el circuncentro O , el centro de nueve puntos N y el ortocentro H , tenemos para los triángulos no equiláteros las desigualdades de distancia

${\ Displaystyle IG <HG,}$

${\ Displaystyle IH <HG,}$

${\ Displaystyle IG <IO,}$

y

${\ Displaystyle IN <{\ frac {1} {2}} IO;}$

y tenemos la desigualdad de ángulos

${\ Displaystyle \ angle IOH <{\ frac {\ pi} {6}}.}$

Además,

${\ Displaystyle IG <{\ frac {1} {3}} v,}$

donde v es la mediana más larga.

Tres triángulos con vértice en el incentro, OIH , GIH y OGI , son obtusos:

${\ Displaystyle \ angle OIH}$>> 90 °, > 90 °.${\ Displaystyle \ angle GIH}$${\ Displaystyle \ angle OGI}$

Dado que estos triángulos tienen los ángulos obtusos indicados, tenemos

${\ displaystyle OI ^ {2} + IH ^ {2} <OH ^ {2}, \ quad GI ^ {2} + IH ^ {2} <GH ^ {2}, \ quad OG ^ {2} + GI ^ {2} <OI ^ {2},}$

y de hecho el segundo de estos equivale a un resultado más fuerte que el primero, mostrado por Euler :

${\ Displaystyle OI ^ {2} <OH ^ {2} -2 \ cdot IH ^ {2} <2 \ cdot OI ^ {2}.}$

El mayor de los dos ángulos de un triángulo tiene la bisectriz de ángulo interno más corto:

${\ Displaystyle {\ text {If}} \ quad A> B \ quad {\ text {entonces}} \ quad t_ {a} <t_ {b}.}$

Bisectrices perpendiculares de lados

Estas desigualdades se refieren a las longitudes p _a etc. de las porciones del interior del triángulo de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. Denotando los lados para que tengamos ${\ Displaystyle a \ geq b \ geq c,}$

${\ Displaystyle p_ {a} \ geq p_ {b}}$

y

${\ Displaystyle p_ {c} \ geq p_ {b}.}$

Segmentos de un punto arbitrario

Punto interior

Considere cualquier punto P en el interior del triángulo, con los vértices del triángulo denotados A , B y C y con las longitudes de los segmentos de línea denotados PA, etc. Tenemos

${\ Displaystyle 2 (PA + PB + PC)> AB + BC + CA> PA + PB + PC,}$

y con más fuerza que la segunda de estas desigualdades es: Si es el lado más corto del triángulo, entonces ${\ Displaystyle AB}$

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ leq AC + BC.}$

También tenemos la desigualdad de Ptolomeo

${\ Displaystyle PA \ cdot BC + PB \ cdot CA> PC \ cdot AB}$

para el punto interior P e igualmente para las permutaciones cíclicas de los vértices.

Si dibujamos perpendiculares desde el punto interior P a los lados del triángulo, intersectando los lados en D , E y F , tenemos

${\ Displaystyle PA \ cdot PB \ cdot PC \ geq (PD + PE) (PE + PF) (PF + PD).}$

Además, la desigualdad de Erdős-Mordell establece que

${\ Displaystyle {\ frac {PA + PB + PC} {PD + PE + PF}} \ geq 2}$

con igualdad en el caso equilátero. Más enérgicamente, la desigualdad de Barrow establece que si las bisectrices interiores de los ángulos en el punto interior P (es decir, de ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA ) intersecan los lados del triángulo en U , V y W , entonces

${\ displaystyle {\ frac {PA + PB + PC} {PU + PV + PW}} \ geq 2.}$

También más fuerte que la desigualdad de Erdős-Mordell es la siguiente: Sean D, E, F las proyecciones ortogonales de P sobre BC, CA, AB respectivamente, y H, K, L las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes a las del triángulo. circunferencia en A, B, C respectivamente. Luego

${\ Displaystyle PH + PK + PL \ geq 2 (PD + PE + PF).}$

Con proyecciones ortogonales H, K, L desde P sobre las tangentes al círculo circunferencial del triángulo en A, B, C respectivamente, tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {PH} {a ^ {2}}} + {\ frac {PK} {b ^ {2}}} + {\ frac {PL} {c ^ {2}}} \ geq { \ frac {1} {R}}}$

donde R es el circunradio.

Nuevamente con las distancias PD, PE, PF del punto interior P desde los lados tenemos estas tres desigualdades:

${\ Displaystyle {\ frac {PA ^ {2}} {PE \ cdot PF}} + {\ frac {PB ^ {2}} {PF \ cdot PD}} + {\ frac {PC ^ {2}} { PD \ cdot PE}} \ geq 12;}$

${\ Displaystyle {\ frac {PA} {\ sqrt {PE \ cdot PF}}} + {\ frac {PB} {\ sqrt {PF \ cdot PD}}} + {\ frac {PC} {\ sqrt {PD \ cdot PE}}} \ geq 6;}$

${\ Displaystyle {\ frac {PA} {PE + PF}} + {\ frac {PB} {PF + PD}} + {\ frac {PC} {PD + PE}} \ geq 3.}$

Para el punto interior P con distancias PA, PB, PC desde los vértices y con área triangular T ,

${\ Displaystyle (b + c) PA + (c + a) PB + (a + b) PC \ geq 8T}$

y

${\ Displaystyle {\ frac {PA} {a}} + {\ frac {PB} {b}} + {\ frac {PC} {c}} \ geq {\ sqrt {3}}.}$

Para un punto interior P , centroide G , puntos medios L, M, N de los lados y semiperímetro s ,

${\ Displaystyle 2 (PL + PM + PN) \ leq 3PG + PA + PB + PC \ leq s + 2 (PL + PM + PN).}$

Por otra parte, para los números positivos k ₁ , k ₂ , k ₃ , y t con t menor que o igual a 1:

${\ Displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 ^ {t } {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} \ left ({\ frac {(PD) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {1}}}} + {\ frac { (PE) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {2}}}} + {\ frac {(PF) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {3}}}} \ right),}$

mientras que para t > 1 tenemos

${\ Displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} \ left ({\ frac {(PD) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {1}}}} + {\ frac {(PE) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {2}}}} + {\ frac {(PF) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {3}}}} \ right).}$

Punto interior o exterior

Hay varias desigualdades para un punto interior o exterior arbitrario en el plano en términos del radio r del círculo inscrito del triángulo. Por ejemplo,

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ geq 6r.}$

Otros incluyen:

${\ Displaystyle PA ^ {3} + PB ^ {3} + PC ^ {3} + k \ cdot (PA \ cdot PB \ cdot PC) \ geq 8 (k + 3) r ^ {3}}$

para k = 0, 1, ..., 6;

${\ Displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} + (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 16r ^ {2};}$

${\ Displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} +2 (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 20r ^ {2};}$

y

${\ Displaystyle PA ^ {4} + PB ^ {4} + PC ^ {4} + k (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {4/3} \ geq 16 (k + 3) r ^ {4} }$

para k = 0, 1, ..., 9.

Además, para circunradio R ,

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {3/2} + (PB \ cdot PC) ^ {3/2} + (PC \ cdot PA) ^ {3/2} \ geq 12Rr ^ {2};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 8 (R + r) Rr ^ {2};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 48r ^ {4};}$

${\ Displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 6 (7R-6r) r ^ {3}.}$

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC :

${\ Displaystyle PA + PB + PC \ leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}$

Inradius, exradii y circumradius

Inradius y circumradius

La desigualdad de Euler para el circunradio R y el radio interno r establece que

${\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq 2,}$

con igualdad solo en el caso equilátero .

Una versión más fuerte es

${\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} \ geq {\ frac {a } {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} - 1 \ geq {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ derecha) \ geq 2.}$

En comparación,

${\ Displaystyle {\ frac {r} {R}} \ geq {\ frac {4abc-a ^ ​​{3} -b ^ {3} -c ^ {3}} {2abc}},}$

donde el lado derecho podría ser positivo o negativo.

Otros dos refinamientos de la desigualdad de Euler son

${\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {(b + c)} {3a}} + {\ frac {(c + a)} {3b}} + {\ frac {( a + b)} {3c}} \ geq 2}$

y

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {R} {r}} \ right) ^ {3} \ geq \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {a}} \ derecha) \ izquierda ({\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {b}} \ derecha) \ izquierda ({\ frac {c} {a}} + {\ frac {a} { c}} \ derecha) \ geq 8.}$

Otra desigualdad simétrica es

${\ Displaystyle {\ frac {\ left ({\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ sqrt {b}} - {\ sqrt {c} } \ right) ^ {2} + \ left ({\ sqrt {c}} - {\ sqrt {a}} \ right) ^ {2}} {\ left ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}} \ right) ^ {2}}} \ leq {\ frac {4} {9}} \ left ({\ frac {R} {r}} - 2 \ right ).}$

Es más,

${\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})} {ab + bc + ca}};}$

${\ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} \ leq 8s (R ^ {2} -r ^ {2})}$

en términos del semiperímetro s ;

${\ Displaystyle r (r + 4R) \ geq {\ sqrt {3}} \ cdot T}$

en términos del área T ;

${\ Displaystyle s {\ sqrt {3}} \ leq r + 4R}$

y

${\ Displaystyle s ^ {2} \ geq 16Rr-5r ^ {2}}$

en términos del semiperímetro s ; y

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} -2 (R-2r) {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}} \ leq s ^ {2} \ \ & \ quad \ leq 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} +2 (R-2r) {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}} \ end {alineado}}}$

también en términos del semiperímetro. Aquí la expresión donde d es la distancia entre el incentro y el circuncentro. En la última doble desigualdad, la primera parte se mantiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de al menos 60 °, y la última parte se mantiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de como máximo 60 °. Por lo tanto, ambos son iguales si y solo si el triángulo es equilátero. ${\ Displaystyle {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}} = d}$

También tenemos para cualquier lado un

${\ Displaystyle (Rd) ^ {2} -r ^ {2} \ leq 4R ^ {2} r ^ {2} \ left ({\ frac {(R + d) ^ {2} -r ^ {2} } {(R + d) ^ {4}}} \ right) \ leq {\ frac {a ^ {2}} {4}} \ leq Q \ leq (R + d) ^ {2} -r ^ { 2},}$

donde si el circuncentro está dentro o fuera del círculo y si el circuncentro está dentro del círculo. El circuncentro está dentro del círculo si y solo si ${\ Displaystyle Q = R ^ {2}}$${\ Displaystyle Q = 4R ^ {2} r ^ {2} \ left ({\ frac {(Rd) ^ {2} -r ^ {2}} {(Rd) ^ {4}}} \ right)}$

${\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} <{\ sqrt {2}} + 1.}$

Más lejos,

${\ Displaystyle {\ frac {9r} {2T}} \ leq {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ leq { \ frac {9R} {4T}}.}$

La desigualdad de Blundon establece que

${\ Displaystyle s \ leq (3 {\ sqrt {3}} - 4) r + 2R.}$

También tenemos, para todos los triángulos agudos,

${\ Displaystyle s> 2R + r.}$

Para un centro de círculo I , deje que AI , BI y CI se extiendan más allá de I para intersecar el círculo circunscrito en D , E y F, respectivamente. Luego

${\ Displaystyle {\ frac {AI} {ID}} + {\ frac {BI} {IE}} + {\ frac {CI} {IF}} \ geq 3.}$

En términos de los ángulos de los vértices tenemos

${\ Displaystyle \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C \ leq \ left ({\ frac {r} {R {\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2}.}$

Denote como los tanradii del triángulo. Luego ${\ Displaystyle R_ {A}, R_ {B}, R_ {C}}$

${\ Displaystyle {\ frac {4} {R}} \ leq {\ frac {1} {R_ {A}}} + {\ frac {1} {R_ {B}}} + {\ frac {1} { R_ {C}}} \ leq {\ frac {2} {r}}}$

con igualdad solo en el caso equilátero, y

${\ Displaystyle {\ frac {9} {2}} r \ leq R_ {A} + R_ {B} + R_ {C} \ leq 2R + {\ frac {1} {2}} r}$

con igualdad solo en el caso equilátero.

Circumradius y otras longitudes

Para el circunradio R tenemos

${\ Displaystyle 18R ^ {3} \ geq (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) R + abc {\ sqrt {3}}}$

y

${\ Displaystyle a ^ {2/3} + b ^ {2/3} + c ^ {2/3} \ leq 3 ^ {7/4} R ^ {3/2}.}$

También tenemos

${\ Displaystyle a + b + c \ leq 3 {\ sqrt {3}} \ cdot R,}$

${\ Displaystyle 9R ^ {2} \ geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2},}$

${\ Displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq 3 {\ sqrt {3}} \ cdot R}$

en cuanto a las altitudes,

${\ Displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} \ leq {\ frac {27} {4}} R ^ {2}}$

en términos de las medianas, y

${\ Displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} + {\ frac {bc} {b + c}} + {\ frac {ca} {c + a}} \ geq {\ frac {2T} { R}}}$

en términos de área.

Además, para el circuncentro O , las líneas AO , BO y CO intersecan los lados opuestos BC , CA y AB en U , V y W respectivamente. Luego

${\ Displaystyle OU + OV + OW \ geq {\ frac {3} {2}} R.}$

Para un triángulo agudo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface

${\ Displaystyle OH <R,}$

con la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.

El radio de circunferencia es al menos el doble de la distancia entre el primer y el segundo punto Brocard B ₁ y B ₂ :

${\ Displaystyle R \ geq 2B_ {1} B_ {2}.}$

Inradius, exradii y otras longitudes

Para el radio r tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {2r} },}$

${\ Displaystyle 9r \ leq h_ {a} + h_ {b} + h_ {c}}$

en términos de altitudes, y

${\ Displaystyle {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2}}} \ geq 6r}$

en términos de los radios de los excircles. Adicionalmente tenemos

${\ Displaystyle {\ sqrt {s}} ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}}) \ leq {\ sqrt {2}} (r_ {a} + r_ {b} + r_ {c})}$

y

${\ Displaystyle {\ frac {abc} {r}} \ geq {\ frac {a ^ {3}} {r_ {a}}} + {\ frac {b ^ {3}} {r_ {b}}} + {\ frac {c ^ {3}} {r_ {c}}}.}$

Los exradii y las medianas están relacionados por

${\ Displaystyle {\ frac {r_ {a} r_ {b}} {m_ {a} m_ {b}}} + {\ frac {r_ {b} r_ {c}} {m_ {b} m_ {c} }} + {\ frac {r_ {c} r_ {a}} {m_ {c} m_ {a}}} \ geq 3.}$

Además, para un triángulo agudo, la distancia entre el centro del círculo I y el ortocentro H satisface

${\ Displaystyle IH <r {\ sqrt {2}},}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface

${\ Displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

en términos del circunradio R , de nuevo con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Si las bisectrices internas de los ángulos A , B , C se encuentran con los lados opuestos en U , V , W entonces

${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} <{\ frac {AI \ cdot BI \ cdot CI} {AU \ cdot BV \ cdot CW}} \ leq {\ frac {8} {27}}.}$

Si las bisectrices internas del ángulo a través del incentro me extiendo para encontrar la circunferencia en X , Y y Z, entonces

${\ Displaystyle {\ frac {1} {IX}} + {\ frac {1} {IY}} + {\ frac {1} {IZ}} \ geq {\ frac {3} {R}}}$

para circunradio R , y

${\ Displaystyle 0 \ leq (IX-IA) + (IY-IB) + (IZ-IC) \ leq 2 (R-2r).}$

Si el círculo es tangente a los lados en D , E , F , entonces

${\ Displaystyle EF ^ {2} + FD ^ {2} + DE ^ {2} \ leq {\ frac {s ^ {2}} {3}}}$

para semiperímetro s .

Figuras inscritas

Hexágono inscrito

Si se forma un hexágono tangencial dibujando tres segmentos tangentes al círculo de un triángulo y paralelos a un lado, de modo que el hexágono esté inscrito en el triángulo con sus otros tres lados coincidiendo con partes de los lados del triángulo, entonces

${\ displaystyle {\ text {Perímetro del hexágono}} \ leq {\ frac {2} {3}} ({\ text {Perímetro del triángulo}}).}$

Triángulo inscrito

Si tres puntos D, E, F en los lados respectivos AB, BC y CA de un triángulo de referencia ABC son los vértices de un triángulo inscrito, lo que divide el triángulo de referencia en cuatro triángulos, entonces el área del triángulo inscrito es mayor. que el área de al menos uno de los otros triángulos interiores, a menos que los vértices del triángulo inscrito estén en los puntos medios de los lados del triángulo de referencia (en cuyo caso el triángulo inscrito es el triángulo medial y los cuatro triángulos interiores tienen áreas iguales ):

${\ displaystyle {\ text {Área (DEF)}} \ geq \ min ({\ text {Área (BED), Área (CFE), Área (ADF)}}).}$

Cuadrados inscritos

Un triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos , cada uno con un lado que coincide con parte de un lado del triángulo y con los otros dos vértices del cuadrado en los dos lados restantes del triángulo. (Un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos.) Si uno de estos cuadrados tiene una longitud de lado x _a y otro tiene una longitud de lado x _b con x _a < x _b , entonces

${\ Displaystyle 1 \ geq {\ frac {x_ {a}} {x_ {b}}} \ geq {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} \ approx 0.94.}$

Además, para cualquier cuadrado inscrito en cualquier triángulo tenemos

${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área del triángulo}} {\ text {Área del cuadrado inscrito}}} \ geq 2.}$

Línea Euler

La línea de Euler de un triángulo pasa por su ortocentro , su circuncentro y su centroide , pero no pasa por su incentro a menos que el triángulo sea isósceles . Para todos los triángulos no isósceles, la distancia d desde el incentro a la línea de Euler satisface las siguientes desigualdades en términos de la mediana más larga del triángulo v , su lado más largo u y su semiperímetro s :

${\ Displaystyle {\ frac {d} {s}} <{\ frac {d} {u}} <{\ frac {d} {v}} <{\ frac {1} {3}}.}$

Para todas estas relaciones, el límite superior de 1/3 es el más ajustado posible.

Triángulo rectángulo

En los triángulos rectángulos las piernas una y b y la hipotenusa c obedecer a la siguiente, con igualdad sólo en el caso isósceles:

${\ Displaystyle a + b \ leq c {\ sqrt {2}}.}$

En términos del radio interno, la hipotenusa obedece

${\ Displaystyle 2r \ leq c ({\ sqrt {2}} - 1),}$

y en términos de la altitud de la hipotenusa las piernas obedecen

${\ Displaystyle h_ {c} \ leq {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} (a + b).}$

Triángulo isósceles

Si los dos lados iguales de un triángulo isósceles tienen una longitud a y el otro lado tiene una longitud c , entonces la bisectriz del ángulo interno t de uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface

${\ Displaystyle {\ frac {2ac} {a + c}}> t> {\ frac {ac {\ sqrt {2}}} {a + c}}.}$

Triángulo equilátero

Para cualquier punto P en el plano de un triángulo equilátero ABC , las distancias de P a los vértices, PA , PB y PC , son tales que, a menos que P esté en la circunferencia del triángulo , obedecen a la desigualdad básica del triángulo y, por lo tanto, ellos mismos pueden formar los lados de un triángulo:

Sin embargo, cuando P está en el círculo circunferencial, la suma de las distancias desde P a los dos vértices más cercanos es exactamente igual a la distancia al vértice más lejano.

Un triángulo es equilátero si y solo si, para cada punto P en el plano, con distancias PD , PE y PF a los lados del triángulo y distancias PA , PB y PC a sus vértices,

Dos triangulos

La desigualdad de Pedoe por dos triángulos, uno con lados un , b , y c y el área T , y el otro con los lados d , e , y f y el área S , estados que

${\ Displaystyle d ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + e ^ {2} (a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2 }) + f ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) \ geq 16TS,}$

con igualdad si y solo si los dos triángulos son similares .

El teorema de la bisagra o teorema de la boca abierta establece que si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, y el ángulo incluido del primero es mayor que el ángulo incluido del segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo triángulo. Es decir, en triángulos ABC y DEF con lados a , b , c y d , e , f respectivamente (con un opuesto A, etc.), si a = d y b = e y ángulo C > ángulo F , entonces

${\ Displaystyle c> f.}$

Lo contrario también sostiene: si c > f , entonces C > F .

Los ángulos en cualesquiera dos triángulos ABC y DEF están relacionados en términos de la función cotangente de acuerdo con

${\ Displaystyle \ cot A (\ cot E + \ cot F) + \ cot B (\ cot F + \ cot D) + \ cot C (\ cot D + \ cot E) \ geq 2.}$

Triángulos no euclidianos

En un triángulo en la superficie de una esfera , así como en geometría elíptica ,

${\ Displaystyle \ angle A + \ angle B + \ angle C> 180 ^ {\ circ}.}$

Esta desigualdad se invierte para triángulos hiperbólicos .

Ver también

• Lista de desigualdades
• Lista de temas de triángulos
• Cuadrilátero § Desigualdades
• Cuadrilátero § Propiedades máximas y mínimas

Referencias