Desigualdad de Boole - Boole's inequality

Parte de una serie de estadísticas
Teoría de probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Salir único Experimentar Juicio de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución normal Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Cadena de Markov Valor observado Caminata aleatoria Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal La probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes La desigualdad de Boole
diagrama de Venn Diagrama de árbol
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En la teoría de la probabilidad , la desigualdad de Boole , también conocida como límite de unión , dice que para cualquier conjunto de eventos finito o contable , la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos no es mayor que la suma de las probabilidades de los eventos individuales. La desigualdad de Boole lleva el nombre de George Boole .

Formalmente, para un conjunto contable de eventos A ₁ , A ₂ , A ₃ , ..., tenemos

${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ mathbb {P}} (A_ {i}).}$

En términos de la teoría de medidas , la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida (y ciertamente cualquier medida de probabilidad ) es σ - subaditiva .

Prueba

Prueba mediante inducción

La desigualdad de Boole se puede demostrar para colecciones finitas de eventos utilizando el método de inducción. ${\ Displaystyle n}$

Para el caso, se deduce que ${\ Displaystyle n = 1}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}).}$

Para el caso , tenemos ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb { P}} (A_ {i}).}$

Dado que y debido a que la operación sindical es asociativa , tenemos ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) - \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right).}$

Ya que

${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right) \ geq 0,}$

por el primer axioma de probabilidad , tenemos

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}),}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P } (A_ {i}) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ mathbb {P} (A_ {i}).}$

Prueba sin usar inducción

Para cualquier evento en nuestro espacio de probabilidad tenemos ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}$

Uno de los axiomas de un espacio de probabilidad es que si hay subconjuntos disjuntos del espacio de probabilidad, entonces ${\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i});}$

esto se llama aditividad contable.

Si entonces${\ Displaystyle B \ subconjunto A,}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B) \ leq \ mathbb {P} (A).}$

De hecho, a partir de los axiomas de una distribución de probabilidad,

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (AB).}$

Tenga en cuenta que ambos términos de la derecha no son negativos.

Ahora tenemos que modificar los conjuntos , para que se separen. ${\ Displaystyle A_ {i}}$

${\ Displaystyle B_ {i} = A_ {i} - \ bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.}$

Entonces si , entonces sabemos ${\ Displaystyle B_ {i} \ subconjunto A_ {i}}$

${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} B_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}$

Por tanto, podemos deducir la siguiente ecuación

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).}$

Desigualdades de Bonferroni

La desigualdad de Boole se puede generalizar para encontrar los límites superior e inferior de la probabilidad de uniones finitas de eventos. Estos límites se conocen como desigualdades de Bonferroni , en honor a Carlo Emilio Bonferroni ; véase Bonferroni (1936) .

Definir

${\ Displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb {P}} (A_ {i}),}$

y

${\ Displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}$

al igual que

${\ Displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} {\ mathbb {P}} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}})}$

para todos los enteros k en {3, ..., n }.

Entonces, para k impar en {1, ..., n },

${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j},}$

y para incluso k en {2, ..., n },

${\ Displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j}.}$

La desigualdad de Boole es el caso inicial, k = 1. Cuando k = n , entonces la igualdad se mantiene y la identidad resultante es el principio de inclusión-exclusión .

Ver también

• Principio de inclusión-exclusión diluido
• Fórmula de Schuette-Nesbitt
• Desigualdades de Boole-Fréchet
• Probabilidad de la unión de eventos independientes por pares

Referencias

• Bonferroni, Carlo E. (1936), "Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità", Pubbl. D. R. Ist. Súper. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze (en italiano), 8 : 1–62, Zbl  0016.41103
• Dohmen, Klaus (2003), Desigualdades de Bonferroni mejoradas mediante tubos abstractos. Desigualdades e identidades de inclusión: tipo de exclusión , Lecture Notes in Mathematics, 1826 , Berlín: Springer-Verlag , pp. Viii + 113, ISBN 3-540-20025-8, Señor  2019293 , Zbl  1026.05009
• Galambos, János ; Simonelli, Italo (1996), Desigualdades de tipo Bonferroni con aplicaciones , probabilidad y sus aplicaciones, Nueva York: Springer-Verlag , págs. X + 269, ISBN 0-387-94776-0, MR  1402242 , Zbl  0.869,60014
• Galambos, János (1977), "Desigualdades de Bonferroni" , Annals of Probability , 5 (4): 577–581, doi : 10.1214 / aop / 1176995765 , JSTOR  2243081 , MR  0448478 , Zbl  0369.60018
• Galambos, János (2001) [1994], "Desigualdades de Bonferroni" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

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