Axiomas de probabilidad - Probability axioms

Parte de una serie de estadísticas
Teoría de probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Salir único Experimentar Juicio de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución normal Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Cadena de Markov Valor observado Caminata aleatoria Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal La probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes La desigualdad de Boole
diagrama de Venn Diagrama de árbol
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Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por Andrey Kolmogorov en 1933. Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. Un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos , viene dado por el teorema de Cox .

Axiomas

Las hipótesis en cuanto a la creación de los axiomas se pueden resumir como sigue: Sea (Ω,  F ,  P ) un espacio de medida con ser la probabilidad de algún evento E , y . Entonces (Ω,  F ,  P ) es un espacio de probabilidad , con el espacio de muestra de Ω, espacio para eventos, F y medida de probabilidad P . ${\ Displaystyle P (E)}$${\ Displaystyle P (\ Omega) = 1}$  

Primer axioma

La probabilidad de un evento es un número real no negativo:

${\ Displaystyle P (E) \ in \ mathbb {R}, P (E) \ geq 0 \ qquad \ forall E \ in F}$

¿Dónde está el espacio para eventos? De ello se deduce que siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general . Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P (E)}$

Segundo axioma

Este es el supuesto de la unidad de medida : que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1

${\ Displaystyle P (\ Omega) = 1.}$

Tercer axioma

Este es el supuesto de σ-aditividad :

Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimo de eventos mutuamente excluyentes ) satisface ${\ Displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (E_ {i}).}$

Algunos autores consideran espacios de probabilidad finitamente aditivos , en cuyo caso solo se necesita un álgebra de conjuntos , en lugar de un σ-álgebra . Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.

Consecuencias

A partir de los axiomas de Kolmogorov , se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar probabilidades. Las pruebas de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas restantes. Cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas se muestran a continuación:

Monotonicidad

${\ Displaystyle \ quad {\ text {if}} \ quad A \ subseteq B \ quad {\ text {luego}} \ quad P (A) \ leq P (B).}$

Si A es un subconjunto de B, o igual a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

Prueba de monotonicidad

Para verificar la propiedad de monotonicidad, establecemos y , dónde y para . A partir de las propiedades del conjunto vacío ( ), es fácil ver que los conjuntos están separados por pares y . Por tanto, del tercer axioma obtenemos que ${\ Displaystyle E_ {1} = A}$${\ Displaystyle E_ {2} = B \ setminus A}$${\ Displaystyle A \ subseteq B}$${\ Displaystyle E_ {i} = \ varnothing}$${\ Displaystyle i \ geq 3}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle E_ {1} \ cup E_ {2} \ cup \ cdots = B}$

${\ Displaystyle P (A) + P (B \ setminus A) + \ sum _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i}) = P (B).}$

Dado que, por el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y dado que converge a lo que es finito, obtenemos y . ${\ Displaystyle P (B)}$${\ Displaystyle P (A) \ leq P (B)}$${\ Displaystyle P (\ varnothing) = 0}$

La probabilidad del conjunto vacío

${\ Displaystyle P (\ varnothing) = 0.}$

En algunos casos, no es el único evento con probabilidad 0. ${\ Displaystyle \ varnothing}$

Prueba de probabilidad del conjunto vacío

Como se muestra en la prueba anterior, . Esta afirmación se puede probar por contradicción: si entonces el lado izquierdo es infinito;${\ Displaystyle P (\ varnothing) = 0}$${\ Displaystyle P (\ varnothing) = a, a> 0}$${\ Displaystyle [P (A) + P (B \ setminus A) + \ sum _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i})]}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i}) = \ sum _ {i = 3} ^ {\ infty} P (\ varnothing) = \ sum _ {i = 3 } ^ {\ infty} a = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} a = 0, \\\ infty & {\ text {if}} a> 0. \ end {cases}}}$

Si tenemos una contradicción, porque el lado izquierdo es infinito mientras que debe ser finito (del primer axioma). Por lo tanto, . Hemos demostrado como un subproducto de la prueba de monotonicidad que . ${\ Displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle P (B)}$${\ Displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle P (\ varnothing) = 0}$

La regla del complemento

${\ Displaystyle P \ left (A ^ {c} \ right) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}$

Prueba de la regla del complemento

Dado y son mutuamente excluyentes y que : ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {c}}$${\ Displaystyle A \ cup A ^ {c} = \ Omega}$

${\ Displaystyle P (A \ cup A ^ {c}) = P (A) + P (A ^ {c})}$ ... (por axioma 3)

y, ... (por axioma 2)${\ Displaystyle P (A \ cup A ^ {c}) = P (\ Omega) = 1}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow P (A) + P (A ^ {c}) = 1}$

${\ Displaystyle \, por lo tanto, P (A ^ {c}) = 1-P (A)}$

El límite numérico

De la propiedad de la monotonicidad se sigue inmediatamente que

${\ Displaystyle 0 \ leq P (E) \ leq 1 \ qquad \ forall E \ in F.}$

Prueba del límite numérico

Dada la regla del complemento y el axioma 1 : ${\ Displaystyle P (E ^ {c}) = 1-P (E)}$ ${\ Displaystyle P (E ^ {c}) \ geq 0}$

${\ Displaystyle 1-P (E) \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow 1 \ geq P (E)}$

${\ Displaystyle \ por lo tanto 0 \ leq P (E) \ leq 1}$

Más consecuencias

Otra propiedad importante es:

${\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B).}$

Esto se llama ley de probabilidad de la suma o regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que un evento en A o B va a pasar es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B , menos la probabilidad de un evento que es tanto A y B . La prueba de esto es la siguiente:

Primeramente,

${\ Displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus A)}$ ... (por Axiom 3)

Entonces,

${\ Displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus (A \ cap B))}$(por ).${\ Displaystyle B \ setminus A = B \ setminus (A \ cap B)}$

También,

${\ Displaystyle P (B) = P (B \ setminus (A \ cap B)) + P (A \ cap B)}$

y eliminar de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado. ${\ Displaystyle P (B \ setminus (A \ cap B))}$

Una extensión de la ley de la adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión .

Poniendo B al complemento A ^c de A en la ley de la adición da

${\ Displaystyle P \ left (A ^ {c} \ right) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}$

Es decir, la probabilidad de que no suceda algún evento (o el complemento del evento ) es 1 menos la probabilidad de que suceda .

Ejemplo simple: lanzamiento de una moneda

Considere un solo lanzamiento de moneda y suponga que la moneda saldrá cara (H) o cruz (T) (pero no ambas). No se asume si la moneda es justa.

Podemos definir:

${\ Displaystyle \ Omega = \ {H, T \}}$

${\ Displaystyle F = \ {\ varnothing, \ {H \}, \ {T \}, \ {H, T \} \}}$

Los axiomas de Kolmogorov implican que:

${\ Displaystyle P (\ varnothing) = 0}$

La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.

${\ Displaystyle P (\ {H, T \} ^ {c}) = 0}$

La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.

${\ Displaystyle P (\ {H \}) + P (\ {T \}) = 1}$

La suma de la probabilidad de que salga cara y la probabilidad de que salga cruz es 1.

Ver también

• Álgebra de Borel
• La probabilidad condicional
• Diseño totalmente probabilístico
• Estadísticas intuitivas
• Cuasiprobabilidad
• Teoría de conjuntos  : rama de las matemáticas que estudia conjuntos
• σ-álgebra

Referencias

Otras lecturas

• DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidad y Estadística . Lectura: Addison-Wesley. págs.  12-16 . ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R .; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs.  13-28 .
• Definición formal de probabilidad en el sistema Mizar , y la lista de teoremas probados formalmente al respecto.