Ley de probabilidad total - Law of total probability

En teoría de la probabilidad , la ley (o fórmula ) de la probabilidad total es una regla fundamental relacionado probabilidades marginales de probabilidades condicionales . Expresa la probabilidad total de un resultado que puede realizarse a través de varios eventos distintos , de ahí el nombre.

Declaración

La ley de probabilidad total es un teorema que, en su caso discreto, establece si es una partición finita o numerablemente infinita de un espacio muestral (en otras palabras, un conjunto de eventos disjuntos por pares cuya unión es el espacio muestral completo) y cada evento es medible , entonces para cualquier evento del mismo espacio de probabilidad : ${\ Displaystyle \ left \ {{B_ {n}: n = 1,2,3, \ ldots} \ right \}}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$ ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle P (A) = \ sum _ {n} P (A \ cap B_ {n})}

o alternativamente,

{\ Displaystyle P (A) = \ sum _ {n} P (A \ mid B_ {n}) P (B_ {n}),}

donde, para cualquiera para el que estos términos simplemente se omiten de la suma, porque es finito. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle P (B_ {n}) = 0}$ ${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {n})}$

La suma se puede interpretar como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal , a veces se denomina "probabilidad promedio"; La "probabilidad general" se utiliza a veces en escritos menos formales. ${\ Displaystyle P (A)}$

La ley de la probabilidad total también se puede establecer para probabilidades condicionales.

{\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ sum _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n} \ mid C)}

Tomando lo anterior, y asumiendo que es un evento independiente de cualquiera de los siguientes : ${\ Displaystyle B_ {n}}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$

{\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ sum _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n})}

Formulación informal

El enunciado matemático anterior podría interpretarse de la siguiente manera: dado un evento , con probabilidades condicionales conocidas, dado cualquiera de los eventos, cada uno con una probabilidad conocida en sí mismo, ¿cuál es la probabilidad total de que suceda? ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$ ${\ Displaystyle A}$ La respuesta a esta pregunta viene dada por . ${\ Displaystyle P (A)}$

Caso continuo

La ley de la probabilidad total se extiende al caso del condicionamiento sobre eventos generados por variables aleatorias continuas. Sea un espacio de probabilidad . Supongamos que es una variable aleatoria con función de distribución y un evento activado . Entonces la ley de probabilidad total establece ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F_ {X}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) dF_ {X} (x).}$

Si admite una función de densidad , entonces el resultado es ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f_ {X}}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Además, para el caso específico en el que , donde hay un conjunto de borel, esto produce ${\ Displaystyle A = \ {Y \ in B \}}$ ${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (Y \ in B) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (Y \ in B | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Ejemplo

Suponga que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de Factory X funcionan durante más de 5000 horas en el 99% de los casos, mientras que las bombillas de Factory Y funcionan durante más de 5000 horas en el 95% de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y Y suministra el 40% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada funcione durante más de 5000 horas?

Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} P (A) & = P (A \ mid B_ {X}) \ cdot P (B_ {X}) + P (A \ mid B_ {Y}) \ cdot P (B_ {Y}) \\ [4pt] & = {99 \ over 100} \ cdot {6 \ over 10} + {95 \ over 100} \ cdot {4 \ over 10} = {{594 + 380} \ over 1000 } = {974 \ over 1000} \ end {alineado}}}

donde

${\ Displaystyle P (B_ {X}) = {6 \ over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica X ;
${\ Displaystyle P (B_ {Y}) = {4 \ over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica Y ;
${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {X}) = {99 \ over 100}}$ es la probabilidad de que una bombilla fabricada por X funcione durante más de 5000 horas;
${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {Y}) = {95 \ over 100}}$ es la probabilidad de que una bombilla fabricada por Y funcione durante más de 5000 horas.

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de posibilidades de funcionar durante más de 5000 horas.

Otros nombres

El término ley de probabilidad total a veces se considera la ley de alternativas , que es un caso especial de la ley de probabilidad total que se aplica a variables aleatorias discretas . Un autor utiliza la terminología de la "regla de las probabilidades condicionales medias", mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de las alternativas" en el caso continuo. Grimmett y Welsh dan este resultado como el teorema de la partición , un nombre que también le dan a la ley relacionada de la expectativa total .

Ver también

Notas

^ ^a ^b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Tablas y fórmulas de estadística y probabilidad estándar de CRC, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 página 31.
^ Paul E. Pfeiffer (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad . Publicaciones de Courier Dover. págs. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
^ Deborah Rumsey (2006). Probabilidad para tontos . Para Dummies. pag. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
^ Jim Pitman (1993). Probabilidad . Saltador. pag. 41. ISBN 0-387-97974-3.
^ Kenneth Baclawski (2008). Introducción a la probabilidad con R . Prensa CRC. pag. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
^ Probabilidad: una introducción , por Geoffrey Grimmett y Dominic Welsh , Publicaciones científicas de Oxford, 1986, Teorema 1B.

Referencias

Introducción a la probabilidad y la estadística por Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks / Cole, 2005, página 159.
Teoría de la estadística , por Mark J. Schervish, Springer, 1995.
Esquema de probabilidad de Schaum, segunda edición , por John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw – Hill Professional, 2010, página 89.
Un primer curso en modelos estocásticos , por HC Tijms, John Wiley and Sons, 2003, páginas 431–432.
Un curso intermedio en probabilidad , por Alan Gut, Springer, 1995, páginas 5–6.

[ZK-1] Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Tablas y fórmulas de estadística y probabilidad estándar de CRC, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 página 31.

[Pfeiffer1978-2] Paul E. Pfeiffer (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad . Publicaciones de Courier Dover. págs. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.

[Rumsey2006-3] Deborah Rumsey (2006). Probabilidad para tontos . Para Dummies. pag. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.

[Pitman1993-4] Jim Pitman (1993). Probabilidad . Saltador. pag. 41. ISBN 0-387-97974-3.

[Baclawski2008-5] Kenneth Baclawski (2008). Introducción a la probabilidad con R . Prensa CRC. pag. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.

[6] Probabilidad: una introducción , por Geoffrey Grimmett y Dominic Welsh , Publicaciones científicas de Oxford, 1986, Teorema 1B.

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