Subaditividad - Subadditivity

En matemáticas , la subaditividad es una propiedad de una función que establece, aproximadamente, que evaluar la función para la suma de dos elementos del dominio siempre devuelve algo menor o igual a la suma de los valores de la función en cada elemento. Existen numerosos ejemplos de funciones subaditivas en diversas áreas de las matemáticas, en particular normas y raíces cuadradas . Los mapas aditivos son casos especiales de funciones subaditivas.

Definiciones

Una función subaditiva es una función que tiene un dominio A y un codominio ordenado B , ambos cerrados bajo la suma, con la siguiente propiedad:

Un ejemplo es la función raíz cuadrada , que tiene los números reales no negativos como dominio y codominio, ya que tenemos:

Una secuencia , se llama subaditiva si satisface la desigualdad

para todos los m y n . Este es un caso especial de función subaditiva, si una secuencia se interpreta como una función en el conjunto de números naturales.

Propiedades

Secuencias

Un resultado útil perteneciente a las secuencias subaditivas es el siguiente lema debido a Michael Fekete .

Lema subditivo de Fekete  :  para cada secuencia subditiva , el límite existe y es igual al mínimo . (El límite puede ser ).

El análogo del lema de Fekete también se aplica a las secuencias superaditivas, es decir: (El límite entonces puede ser infinito positivo: considere la secuencia ).

Hay extensiones de Lema de Fekete que no requieren la desigualdad (1) para el asimiento para todo m y n , pero sólo para m y n tales que Además, la condición puede ser debilitado como sigue: siempre que es una función creciente de tal manera que la integral converge (cerca del infinito).

También hay resultados que permiten deducir la tasa de convergencia hasta el límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si existe algún tipo de superaditividad y subaditividad.

Además, se han probado análogos del lema de Fekete para mapas reales subaditivos (con supuestos adicionales) de subconjuntos finitos de un grupo susceptible y, además, de un semigrupo cancelable susceptible a la izquierda.

Funciones

Teorema:  -  Para cadafunción subaditiva medible ,el límiteexiste y es igual a(El límite puede ser)

Si f es una función subaditiva, y si 0 está en su dominio, entonces f (0) ≥ 0. Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior. . Por eso

Una función cóncava con también es subaditiva. Para ver esto, primero se observa aquello . Luego, mirando la suma de este límite para y , finalmente se verificará que f es subaditivo.

El negativo de una función subaditiva es superaditivo .

Ejemplos en varios dominios

Entropía

La entropía juega un papel fundamental en la teoría de la información y la física estadística , así como en la mecánica cuántica en una formulación generalizada debida a von Neumann . La entropía aparece siempre como una cantidad subaditiva en todas sus formulaciones, lo que significa que la entropía de un supersistema o una unión de conjunto de variables aleatorias es siempre menor o igual que la suma de las entropías de sus componentes individuales. Además, la entropía en física satisface varias desigualdades más estrictas, como la subaditividad fuerte de la entropía en la mecánica estadística clásica y su análogo cuántico .

Ciencias económicas

La subditividad es una propiedad esencial de algunas funciones de costos particulares . Es, en general, una condición necesaria y suficiente para la verificación de un monopolio natural . Implica que la producción de una sola empresa es socialmente menos costosa (en términos de costos promedio) que la producción de una fracción de la cantidad original por un número igual de empresas.

Las economías de escala están representadas por funciones de costo promedio subaditivo .

Salvo en el caso de bienes complementarios, el precio de los bienes (en función de la cantidad) debe ser subaditivo. De lo contrario, si la suma del costo de dos artículos es más barata que el costo del paquete de dos de ellos juntos, entonces nadie compraría el paquete, lo que efectivamente haría que el precio del paquete "se convierta" en la suma de los precios de los dos elementos separados. Demostrando así que no es condición suficiente para un monopolio natural; ya que la unidad de intercambio puede no ser el costo real de un artículo. Esta situación es familiar para todos en la arena política donde alguna minoría afirma que la pérdida de alguna libertad particular en algún nivel particular de gobierno significa que muchos gobiernos son mejores; mientras que la mayoría afirma que existe alguna otra unidad de costo correcta.

Finanzas

La subaditividad es una de las propiedades deseables de las medidas de riesgo coherentes en la gestión de riesgos . La intuición económica detrás de la subaditividad de la medida de riesgo es que la exposición al riesgo de una cartera debería, en el peor de los casos, simplemente ser igual a la suma de las exposiciones al riesgo de las posiciones individuales que componen la cartera. En cualquier otro caso, los efectos de la diversificación darían lugar a una exposición de la cartera inferior a la suma de las exposiciones individuales al riesgo. La falta de subaditividad es una de las principales críticas a los modelos de VaR que no se basan en el supuesto de normalidad de los factores de riesgo. El VaR gaussiano asegura la subaditividad: por ejemplo, el VaR gaussiano de una cartera de dos posiciones largas unitarias en el nivel de confianza es, asumiendo que la variación media del valor de la cartera es cero y el VaR se define como una pérdida negativa,

donde es la inversa de la función de distribución acumulada normal a nivel de probabilidad , son las variaciones de los retornos de las posiciones individuales y es la medida de correlación lineal entre los retornos de dos posiciones individuales. Dado que la varianza es siempre positiva,
Así, el VaR gaussiano es subaditivo para cualquier valor y, en particular, es igual a la suma de las exposiciones al riesgo individuales cuando es el caso de que no haya efectos de diversificación sobre el riesgo de la cartera.

Termodinámica

La subaditividad ocurre en las propiedades termodinámicas de las soluciones y mezclas no

ideales, como el exceso de volumen molar y el calor de mezcla o el exceso de entalpía.

Combinatoria en palabras

Un lenguaje factorial es aquel en el que si una

palabra está en , todos los factores de esa palabra también están . En la combinatoria de palabras, un problema común es determinar el número de palabras de longitud en un lenguaje factorial. Claramente , también es subaditivo y, por lo tanto, el lema de Fekete se puede usar para estimar el crecimiento de .

Ver también

Notas

  1. ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007 / BF01504345 .
  2. de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Algunas fórmulas recursivas lineales y algunas cuadráticas. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. Una . 55 : 152-163. doi : 10.1016 / S1385-7258 (52) 50021-0 .(Lo mismo que Indagationes Math. 14. ) Véase también Steele 1997, Teorema 1.9.2.
  3. ^ Michael J. Steele. "Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria". SIAM, Filadelfia (1997). ISBN  0-89871-380-3 .
  4. ^ Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . Universidad de Cambridge.
  5. ^ Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Dimensión topológica media" . Revista de Matemáticas de Israel . 115 (1): 1–24. CiteSeerX  10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007 / BF02810577 . ISSN  0021-2172 . Teorema 6.1
  6. ^ Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos susceptibles". Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1-141. doi : 10.1007 / BF02790325 . ISSN  0021-7670 .
  7. ^ Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicos de sistemas dinámicos y espacios de mapas holomorfos: I". Física Matemática, Análisis y Geometría . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023 / A: 1009841100168 . ISSN  1385-0172 .
  8. ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "Un análogo del lema de Fekete para funciones subaditivas en semigrupos susceptibles de cancelación". J. Anal. Matemáticas . 124 : 59–81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007 / s11854-014-0027-4 . Teorema 1.1
  9. Hille, 1948, Teorema 6.6.1. (La mensurabilidad está estipulada en la Sección 6.2 "Preliminares".)
  10. ^ Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4., p. 314,12.25
  11. ^ Rau-Bredow, H. (2019). "Más grande no siempre es más seguro: un análisis crítico del supuesto de subditividad para medidas de riesgo coherentes" . Riesgos . 7 (3): 91. doi : 10.3390 / risk7030091 .
  12. ^ Shur, Arseny (2012). "Propiedades de crecimiento de los lenguajes libres de poder". Revisión de Ciencias de la Computación . 6 (5–6): 187–208. doi : 10.1016 / j.cosrev.2012.09.001 .

Referencias

enlaces externos

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