Coproducto - Coproduct

En la teoría de categorías , el coproducto , o suma categórica , es una construcción que incluye como ejemplos la unión disjunta de conjuntos y de espacios topológicos , el producto libre de grupos y la suma directa de módulos y espacios vectoriales . El coproducto de una familia de objetos es esencialmente el objeto "menos específico" al que cada objeto de la familia admite un morfismo . Es la noción dual de teoría de categorías para el producto categórico , lo que significa que la definición es la misma que el producto pero con todas las flechas invertidas. A pesar de este cambio aparentemente inofensivo en el nombre y la notación, los coproductos pueden ser y suelen ser dramáticamente diferentes de los productos.

Definición

Sea una categoría y dejemos y sean objetos de Un objeto se llama coproducto de y escrito o, a veces, simplemente si existen morfismos y satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier objeto y cualquier morfismo y existe un morfismo único tal que y Que es decir, el siguiente diagrama conmuta : ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle C.}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2},}$${\ Displaystyle X_ {1} \ coprod X_ {2},}$${\ Displaystyle X_ {1} \ oplus X_ {2},}$${\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2},}$${\ Displaystyle i_ {1}: X_ {1} \ to X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ Displaystyle i_ {2}: X_ {2} \ to X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f_ {1}: X_ {1} \ to Y}$${\ Displaystyle f_ {2}: X_ {2} \ to Y,}$${\ Displaystyle f: X_ {1} \ coprod X_ {2} \ to Y}$${\ Displaystyle f_ {1} = f \ circ i_ {1}}$${\ Displaystyle f_ {2} = f \ circ i_ {2}.}$

La flecha única que hace que este diagrama viaje al trabajo puede denominarse o Los morfismos y se denominan inyecciones canónicas , aunque no es necesario que sean inyecciones ni siquiera mónicas . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {1} \ coprod f_ {2},}$ ${\ Displaystyle f_ {1} \ oplus f_ {2},}$ ${\ Displaystyle f_ {1} + f_ {2},}$${\ Displaystyle \ left [f_ {1}, f_ {2} \ right].}$${\ Displaystyle i_ {1}}$${\ Displaystyle i_ {2}}$

La definición de un coproducto puede extenderse a una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto El coproducto de la familia es un objeto junto con una colección de morfismos tal que, para cualquier objeto y cualquier colección de morfismos existe un morfismo único tal que Es decir, el siguiente diagrama conmuta para cada uno : ${\ Displaystyle J.}$${\ Displaystyle \ left \ {X_ {j}: j \ in J \ right \}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ a X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f_ {j}: X_ {j} \ to Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle f_ {j} = f \ circ i_ {j}.}$${\ Displaystyle j \ in J}$

El coproducto de la familia a menudo se denota o${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ left \ {X_ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle \ coprod _ {j \ in J} X_ {j}}$${\ Displaystyle \ bigoplus _ {j \ in J} X_ {j}.}$

A veces, el morfismo puede denotarse para indicar su dependencia de los individuos . ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j}}$${\ Displaystyle f_ {j}}$

Ejemplos de

El coproducto en la categoría de conjuntos es simplemente la unión disjunta con los mapas i _j siendo los mapas de inclusión . A diferencia de los productos directos , los coproductos de otras categorías no se basan todos obviamente en la noción de conjuntos, porque las uniones no se comportan bien con respecto a las operaciones de conservación (por ejemplo, la unión de dos grupos no necesita ser un grupo), por lo que los coproductos en diferentes las categorías pueden ser dramáticamente diferentes entre sí. Por ejemplo, el coproducto en la categoría de grupos , llamado producto libre , es bastante complicado. Por otro lado, en la categoría de grupos abelianos (e igualmente para espacios vectoriales ), el coproducto, llamado suma directa , consiste en los elementos del producto directo que tienen solo un número finito de términos distintos de cero. (Por lo tanto, coincide exactamente con el producto directo en el caso de un número finito de factores).

Dado un anillo conmutativo R , el coproducto en la categoría de álgebras R conmutativas es el producto tensorial . En la categoría de álgebras R (no conmutativas) , el coproducto es un cociente del álgebra tensorial (ver producto libre de álgebras asociativas ).

En el caso de los espacios topológicos, los coproductos son uniones disjuntas con sus topologías de unión disjuntas . Es decir, es una unión disjunta de los conjuntos subyacentes, y los conjuntos abiertos son conjuntos abiertos en cada uno de los espacios , en un sentido bastante evidente. En la categoría de espacios puntiagudos , fundamental en la teoría de la homotopía , el coproducto es la suma de la cuña (que equivale a unir un conjunto de espacios con puntos base en un punto base común).

A pesar de toda esta disimilitud, todavía hay, en el corazón de todo el asunto, una unión disjunta: la suma directa de los grupos abelianos es el grupo generado por la unión disjunta "casi" (unión disjunta de todos los elementos distintos de cero, junto con un común cero), de manera similar para los espacios vectoriales: el espacio atravesado por la unión disjunta "casi"; el producto gratuito para grupos se genera mediante el conjunto de todas las letras de una unión similar "casi disjunta" en la que no se permite el desplazamiento de dos elementos de conjuntos diferentes.

El coproducto de una categoría poset es la operación de unión.

Discusión

La construcción de coproducto dada anteriormente es en realidad un caso especial de colimit en la teoría de categorías. El coproducto en una categoría se puede definir como el límite de cualquier funtor de una categoría discreta a . No todas las familias tendrán un coproducto en general, pero si lo tiene, entonces el coproducto es único en un sentido fuerte: si y son dos coproductos de la familia , entonces (según la definición de coproductos) existe un isomorfismo único tal que para cada uno . ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$${\ Displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ rightarrow X}$${\ Displaystyle k_ {j}: X_ {j} \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle f \ circ i_ {j} = k_ {j}}$${\ Displaystyle j \ in J}$

Como ocurre con cualquier propiedad universal , el coproducto puede entenderse como un morfismo universal. Sea el funtor diagonal que asigna a cada objeto el par ordenado ya cada morfismo el par . Entonces el coproducto en viene dado por un morfismo universal al funtor del objeto en . ${\ Displaystyle \ Delta: C \ rightarrow C \ times C}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ left (X, X \ right)}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle \ left (f, f \ right)}$${\ Displaystyle X + Y}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ left (X, Y \ right)}$${\ Displaystyle C \ times C}$

El coproducto indexado por el conjunto vacío (es decir, un coproducto vacío ) es el mismo que un objeto inicial en . ${\ Displaystyle C}$

Si es un conjunto tal que existen todos los coproductos de las familias indexadas con , entonces es posible elegir los productos de manera compatible para que el coproducto se convierta en un funtor . El coproducto de la familia a menudo se denota por ${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle J}$${\ displaystyle C ^ {J} \ rightarrow C}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$

${\ Displaystyle \ coprod _ {j \ in J} X_ {j}}$

y los mapas se conocen como las inyecciones naturales . ${\ Displaystyle i_ {j}}$

Dejando denotar el conjunto de todos los morfismos de a in (es decir, un hom-set in ), tenemos un isomorfismo natural${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} \ left (U, V \ right)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right) \ cong \ prod _ {j \ in J} \ operatorname {Hom} _ {C} (X_ {j}, Y)}$

dado por la biyección que mapea cada tupla de morfismos

${\ Displaystyle (f_ {j}) _ {j \ in J} \ in \ prod _ {j \ in J} \ operatorname {Hom} (X_ {j}, Y)}$

(un producto en Conjunto , la categoría de conjuntos , que es el producto cartesiano , por lo que es una tupla de morfismos) al morfismo

${\ Displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j} \ in \ operatorname {Hom} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right).}$

Que este mapa es una sobreyección se sigue de la conmutatividad del diagrama: cualquier morfismo es el coproducto de la tupla ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle (f \ circ i_ {j}) _ {j \ in J}.}$

Que es una inyección se desprende de la construcción universal que estipula la singularidad de tales mapas. La naturalidad del isomorfismo también es consecuencia del diagrama. Así, el hom-functor contravariante convierte los coproductos en productos. Dicho de otra manera, el hom-functor, visto como un funtor de la categoría opuesta a Set, es continuo; conserva los límites (un coproducto en es un producto en ). ${\ displaystyle C ^ {\ operatorname {op}}}$${\ Displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {\ operatorname {op}}}$

Si es un conjunto finito , digamos , entonces el coproducto de objetos a menudo se denota por . Suponga que todos los coproductos finitos existen en C , los functores de coproducto se han elegido como se indicó anteriormente y 0 denota el objeto inicial de C correspondiente al coproducto vacío. Entonces tenemos isomorfismos naturales${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle J = \ lbrace 1, \ ldots, n \ rbrace}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1} \ oplus \ ldots \ oplus X_ {n}}$

${\ Displaystyle X \ oplus (Y \ oplus Z) \ cong (X \ oplus Y) \ oplus Z \ cong X \ oplus Y \ oplus Z}$

${\ Displaystyle X \ oplus 0 \ cong 0 \ oplus X \ cong X}$

${\ Displaystyle X \ oplus Y \ cong Y \ oplus X.}$

Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría con coproductos finitos es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .

Si la categoría tiene un objeto cero , entonces tenemos un morfismo único (ya que es terminal ) y, por lo tanto, un morfismo . Dado que también es inicial, tenemos un isomorfismo canónico como en el párrafo anterior. Tenemos así morfismos y , por lo que inferimos un morfismo canónico . Esto puede extenderse por inducción a un morfismo canónico de cualquier coproducto finito al producto correspondiente. Este morfismo no tiene por qué ser en general un isomorfismo; en Grp es un epimorfismo propio, mientras que en Set _* (la categoría de conjuntos puntiagudos ) es un monomorfismo propio . En cualquier categoría preaditiva , este morfismo es un isomorfismo y el objeto correspondiente se conoce como biproducto . Una categoría con todos los biproductos finitos se conoce como categoría semiaditiva . ${\ Displaystyle Z}$${\ displaystyle X \ rightarrow Z}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Z \ oplus Y}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z \ oplus Y \ cong Y}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow X}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow X \ times Y}$

Si todas las familias de objetos indexados por tienen coproductos , entonces el coproducto comprende un funtor . Tenga en cuenta que, al igual que el producto, este functor es covariante . ${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {J} \ rightarrow C}$

Ver también

• Producto
• Límites y colimits
• Coequalizador
• Límite directo

Referencias

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de coproductos en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine .