Restricción (matemáticas) - Restriction (mathematics)

La función x ² con dominio R no tiene función inversa . Si restringimos x ² a los números reales no negativos , entonces tiene una función inversa, conocida como raíz cuadrada de x .

En matemáticas , la restricción de una función es una nueva función, denotada o , obtenida eligiendo un dominio A más pequeño para la función original . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f \ vert _ {A}}$ ${\ Displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$ ${\ Displaystyle f}$

Definicion formal

Dejar que sea una función de un conjunto $E$ a un conjunto $F$ . Si un conjunto $A$ es un subconjunto de $E$ , entonces la restricción de a es la función ${\ Displaystyle f: E \ a F}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle {f |} _ {A} \ dos puntos A \ a F}

dado por f | _A ( x ) = f ( x ) para x en A . De manera informal, la restricción de $f$ a $A$ es la misma función que $f$ , pero solo se define en . ${\ Displaystyle A \ cap \ operatorname {dom} f}$

Si la función $f$ es considerado como una relación en el producto cartesiano , a continuación, la restricción de $f$ a $A$ puede ser representado por su gráfica , donde los pares representan pares ordenados en el gráfico $G$ . ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ ${\ Displaystyle E \ times F}$ ${\ Displaystyle G ({f |} _ {A}) = \ {(x, f (x)) \ in G (f) \ mid x \ in A \} = G (f) \ cap (A \ times F)}$ ${\ Displaystyle (x, f (x))}$

Ejemplos de

La restricción de la no inyectiva función al dominio es la inyección . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
La función factorial es la restricción de la función gamma a los enteros positivos, con el argumento desplazado en uno: ${\ Displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}$

Propiedades de las restricciones

La restricción de una función a la totalidad de su dominio devuelve la función original, es decir, . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f | _ {X} = f}$
Restringir una función dos veces es lo mismo que restringirla una vez, es decir , si , entonces . ${\ Displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}$ ${\ Displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
La restricción de la función identidad en un conjunto X a un subconjunto A de X es sólo el mapa inclusión de A en X .
La restricción de una función continua es continua.

Aplicaciones

Funciones inversas

Para que una función tenga una inversa, debe ser uno a uno . Si una función $f$ no es uno a uno, puede ser posible definir un inverso parcial de $f$ restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

{\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}

definida en el conjunto de la no es uno-a-uno desde x ² = (- x ) ² para cualquier x en . Sin embargo, la función se convierte en uno a uno si restringimos al dominio , en cuyo caso ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = [0, \ infty)}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

(Si en cambio restringimos al dominio , entonces el inverso es el negativo de la raíz cuadrada de $y$ .) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si permitimos que el inverso sea una función multivalor . ${\ Displaystyle (- \ infty, 0]}$

Operadores de selección

En álgebra relacional , una selección (a veces llamada restricción para evitar confusión con el uso de SELECT de SQL ) es una operación unaria escrita como o donde: ${\ Displaystyle \ sigma _ {a \ theta b} (R)}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {a \ theta v} (R)}$

${\ Displaystyle a}$ y son nombres de atributos, ${\ Displaystyle b}$
${\ Displaystyle \ theta}$ es una operación binaria en el conjunto , ${\ Displaystyle \ {<, \ leq, =, \ neq, \ geq,> \}}$
${\ Displaystyle v}$ es una constante de valor,
${\ Displaystyle R}$ es una relación .

La selección selecciona todas aquellas tuplas en las que se mantiene entre y el atributo. ${\ Displaystyle \ sigma _ {a \ theta b} (R)}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$

La selección selecciona todas aquellas tuplas en las que se mantiene entre el atributo y el valor . ${\ Displaystyle \ sigma _ {a \ theta v} (R)}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle v}$

Por lo tanto, el operador de selección se restringe a un subconjunto de toda la base de datos.

El lema pegado

El lema de pegado es un resultado en topología que relaciona la continuidad de una función con la continuidad de sus restricciones a subconjuntos.

Sean dos subconjuntos cerrados (o dos subconjuntos abiertos) de un espacio topológico tal que , y también sea un espacio topológico. Si es continuo cuando se restringe a ambos y , entonces es continuo. ${\ Displaystyle X, Y}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A = X \ cup Y}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle f: A \ to B}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f}$

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear uno nuevo.

Gavillas

Las poleas proporcionan una forma de generalizar las restricciones a los objetos además de las funciones.

En la teoría de la gavilla , uno asigna un objeto en una categoría a cada conjunto abierto $U$ de un espacio topológico , y requiere que los objetos satisfagan ciertas condiciones. La condición más importante es que existen morfismos de restricción entre cada par de objetos asociados a conjuntos abiertos anidados; es decir, si , entonces hay un morfismo res _V_,_U : F ( U ) → F ( V ) que satisface las siguientes propiedades, que están diseñadas para imitar la restricción de una función: ${\ Displaystyle F (U)}$ ${\ Displaystyle V \ subseteq U}$

Para cada conjunto abierto U de X , el morfismo de restricción res _{U , U} : F ( U ) → F ( U ) es el morfismo de identidad en F ( U ).
Si tenemos tres conjuntos abiertos $W \subseteq V \subseteq U$ , entonces el compuesto $res W, V \circ res V, U = res W, U$ .
(Localidad) Si ( U _i ) es una cubierta abierta de un conjunto abierto U , y si s , t ∈ F ( U ) son tales que $s | U i = t | U i$ para cada conjunto U _i de la cubierta, entonces s = t ; y
(Pegado) Si ( U _i ) es una cubierta abierta de un conjunto abierto U , y si para cada i se da una sección $s i \in F (U i)$ tal que para cada par U _i , U _j de la cubierta establece el las restricciones de s _i y s _j coinciden en las superposiciones: $s i | U yo \cap U j = s j | U i \cap U j$ , entonces hay una sección $s \in F (U)$ tal que $s | U i = s i$ para cada i .

La colección de todos estos objetos se llama gavilla . Si solo se satisfacen las dos primeras propiedades, es una pre-gavilla .

Restricción a la izquierda y a la derecha

Más en general, la restricción (o restricción de dominio o de restricción de la izquierda ) $A ◁ R$ de un binario relación $R$ entre $E$ y $F$ pueden ser definidos como una relación que tiene un dominio $A$ , codomain $F$ y el gráfico $G (A ◁ R) = {(x, y) \in G (R) | x \in A}$ . Del mismo modo, uno puede definir un derecho restricción o restricción de la gama $R ▷ B$ . De hecho, se podría definir una restricción a las relaciones $n$ -arias , así como a los subconjuntos entendidos como relaciones, como los de $E \times F$ para relaciones binarias. Estos casos no encajan en el esquema de las poleas .

Anti-restricción

El dominio anti-restricción (o sustracción de dominio ) de una función o relación binaria $R$ (con dominio $E$ y codominio $F$ ) por un conjunto $A$ puede definirse como $( E \ A ) ◁ R$ ; que elimina todos los elementos de $A$ partir del dominio $E$ . A veces se denota $A$ ⩤ $R$ . De manera similar, el rango anti-restricción (o sustracción de rango ) de una función o relación binaria $R$ por un conjunto $B$ se define como $R ▷ ( F \ B )$ ; que elimina todos los elementos de $B$ desde el codominio $F$ . A veces se denota $R$ ⩥ $B$ .

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