Implicación material (regla de inferencia) - Material implication (rule of inference)

En la lógica proposicional , la implicación material es una regla válida de reemplazo que permite que un enunciado condicional sea ​​reemplazado por una disyunción en la que se niega el antecedente . La regla establece que P implica que Q es lógicamente equivalente a no- o (es decir, debe ser verdadera o no debe ser verdadera) y que cualquiera de las formas puede reemplazar a la otra en las pruebas lógicas . ${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle P \ to Q \ Leftrightarrow \ neg P \ lor Q}$

Donde " " es una metalógico símbolo que representa "puede ser sustituido en una prueba con", y P y Q son cualquier dan lógicas declaraciones . ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$

Prueba parcial

Supongamos que nos dan eso . Entonces, tenemos por la ley del medio excluido (es decir, debe ser verdad o no debe ser verdad). ${\ Displaystyle P \ a Q}$${\ Displaystyle \ neg P \ lor P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$

Posteriormente, ya que , puede ser reemplazado por en el enunciado y, por lo tanto, se sigue que (es decir, debe ser verdadero o no debe serlo). ${\ Displaystyle P \ a Q}$${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ neg P \ lor Q}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle P}$

Supongamos, a la inversa, que se nos da . Entonces, si es cierto, eso descarta la primera disyunción, entonces tenemos . En resumen ,. Sin embargo, si es falso, entonces esta implicación falla, porque el primer disyunto es verdadero, lo que no impone ninguna restricción al segundo disyunto . Por tanto, no se puede decir nada al respecto . En resumen, la equivalencia en el caso de falso es solo convencional y, por lo tanto, la prueba formal de equivalencia es solo parcial. ${\ Displaystyle \ neg P \ lor Q}$${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle P \ a Q}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ neg P}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle P \ a Q}$${\ Displaystyle P}$

Esto también se puede expresar con una tabla de verdad :

Ejemplo

Un ejemplo es:

Se nos da el hecho condicional de que si es un oso, entonces puede nadar. Luego, las 4 posibilidades de la tabla de verdad se comparan con ese hecho.

Primero: si es un oso, entonces puede nadar - T

2do: Si es un oso, entonces no puede nadar - F

3º: Si no es un oso, entonces puede nadar - T porque no contradice nuestro hecho inicial.

4to: Si no es un oso, entonces no puede nadar - T (como arriba)

Así, el hecho condicional se puede convertir a , que es "no es un oso" o "puede nadar", donde está el enunciado "es un oso" y es el enunciado "puede nadar". ${\ Displaystyle \ neg P \ vee Q}$${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Referencias