Dilema destructivo - Destructive dilemma

Dilema destructivo es el nombre de una regla de inferencia válida de lógica proposicional . Es la inferencia de que, si P implica Q y R implica S y Q es falso o S es falso, entonces P o R deben ser falsos. En resumen, si dos condicionales son verdaderos, pero uno de sus consecuentes es falso, entonces uno de sus antecedentes tiene que ser falso. El dilema destructivo es la versión disyuntiva del modus tollens . La versión disyuntiva de modus ponens es el dilema constructivo . La regla del dilema destructivo puede enunciarse:

{\ Displaystyle {\ frac {P \ a Q, R \ a S, \ neg Q \ lor \ neg S} {\ por lo tanto \ neg P \ lor \ neg R}}}

donde la regla es que dondequiera que aparezcan instancias de " ", " " y " " en las líneas de una prueba, " " se pueden colocar en una línea posterior. ${\ Displaystyle P \ a Q}$ ${\ Displaystyle R \ a S}$ ${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$ ${\ Displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$

Notación formal

La regla del dilema destructivo puede escribirse en notación secuencial :

{\ Displaystyle (P \ a Q), (R \ a S), (\ neg Q \ lor \ neg S) \ vdash (\ neg P \ lor \ neg R)}

donde está un metalógico símbolo lo que significa que es una consecuencia sintáctica de , y en algunos sistema lógico ; ${\ Displaystyle \ vdash}$ ${\ Displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$ ${\ Displaystyle P \ a Q}$ ${\ Displaystyle R \ a S}$ ${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$

y expresado como una tautología funcional de verdad o teorema de lógica proposicional:

{\ Displaystyle (((P \ to Q) \ land (R \ to S)) \ land (\ neg Q \ lor \ neg S)) \ to (\ neg P \ lor \ neg R)}

donde , , y son proposiciones expresadas en cierto sistema formal . ${\ Displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$

Ejemplo de lenguaje natural

Si llueve, nos quedaremos adentro.

Si hace sol, saldremos a caminar.

O no nos quedaremos adentro, o no saldremos a caminar, o ambas cosas.

Por lo tanto, o no lloverá, o no hará sol, o ambas cosas.

Prueba


Paso	Proposición	Derivación
1	${\ Displaystyle P \ a Q}$	Dado
2	${\ Displaystyle R \ a S}$	Dado
3	${\ Displaystyle \ neg Q \ lor \ neg S}$	Dado
4	${\ Displaystyle \ neg Q \ a \ neg P}$	Transposición (1)
5	${\ Displaystyle \ neg S \ a \ neg R}$	Transposición (2)
6	${\ Displaystyle (\ neg Q \ to \ neg P) \ land (\ neg S \ to \ neg R)}$	Introducción a la conjunción (4,5)
6	${\ Displaystyle \ neg P \ lor \ neg R}$	Dilema constructivo (6,3)

Prueba de ejemplo

La validez de esta estructura de argumento se puede demostrar utilizando tanto la prueba condicional (CP) como la reductio ad absurdum (RAA) de la siguiente manera:

1.	${\ displaystyle ((P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)) \ And (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(Supuesto de CP)
2.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)}$	(1: simplificación)
3.	${\ displaystyle (P \ rightarrow Q)}$	(2: simplificación)
4.	${\ displaystyle (R \ rightarrow S)}$	(2: simplificación)
5.	${\ Displaystyle (\ neg Q \ vee \ neg S)}$	(1: simplificación)
6.	${\ Displaystyle \ neg (\ neg P \ vee \ neg R)}$	(Supuesto RAA)
7.	${\ Displaystyle \ neg \ neg P \ Y \ neg \ neg R}$	(6: Ley de De Morgan )
8.	${\ Displaystyle \ neg \ neg P}$	(7: simplificación)
9.	${\ Displaystyle \ neg \ neg R}$	(7: simplificación)
10.	${\ Displaystyle P}$	(8: doble negación )
11.	${\ Displaystyle R}$	(9: doble negación)
12.	${\ displaystyle Q}$	(3,10: modus ponens)
13.	${\ Displaystyle S}$	(4,11: modus ponens)
14.	${\ Displaystyle \ neg \ neg Q}$	(12: doble negación)
15.	${\ Displaystyle \ neg S}$	(5, 14: silogismo disyuntivo )
dieciséis.	${\ Displaystyle S \ And \ neg S}$	(13,15: conjunción )
17.	${\ Displaystyle \ neg P \ vee \ neg R}$	(6-16: RAA)

18.	${\ displaystyle (((P \ rightarrow Q) \ And (R \ rightarrow S)) \ And (\ neg Q \ vee \ neg S))) \ rightarrow \ neg P \ vee \ neg R}$	(1-17: CP)