Homología Hochschild - Hochschild homology

En matemáticas , Hochschild homología (y cohomology) es una teoría de la homología para asociativos álgebras más anillos . También existe una teoría para la homología de Hochschild de ciertos functores . La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild ( 1945 ) para álgebras sobre un campo , y extendida a álgebras sobre anillos más generales por Henri Cartan y Samuel Eilenberg ( 1956 ).

Definición de homología Hochschild de álgebras

Deje que k sea un campo, A un asociativa k - álgebra , y M un A - bimodule . El álgebra envolvente de A es el producto tensorial de A con su álgebra opuesta . Los bimódulos sobre A son esencialmente los mismos que los módulos sobre el álgebra envolvente de A , por lo que, en particular, A y M se pueden considerar como A ^e- módulos. Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del functor Tor y el functor Ext por ${\ Displaystyle A ^ {e} = A \ otimes A ^ {o}}$

{\ Displaystyle HH_ {n} (A, M) = \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {A ^ {e}} (A, M)}

{\ Displaystyle HH ^ {n} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A ^ {e}} ^ {n} (A, M)}

Complejo Hochschild

Deje que k sea un anillo, A un asociativa k - álgebra que es un proyectiva k -módulo, y M un A - bimodule . Escribiremos para el producto tensorial n veces de A sobre k . El complejo de cadena que da lugar a la homología de Hochschild viene dado por ${\ Displaystyle A ^ {\ otimes n}}$

{\ Displaystyle C_ {n} (A, M): = M \ otimes A ^ {\ otimes n}}

con operador de límite definido por ${\ Displaystyle d_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {0} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) & = ma_ {1} \ otimes a_ {2} \ cdots \ otimes a_ { n} \\ d_ {i} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) & = m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {i} a_ {i + 1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n} \\ d_ {n} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) & = a_ {n} m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n-1} \ end {alineado}}}

donde está en A para todos y . Si dejamos ${\ Displaystyle a_ {i}}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$ ${\ Displaystyle m \ in M}$

{\ Displaystyle b = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} d_ {i},}

a continuación , por lo que es una cadena compleja llamada la Hochschild complejo , y su homología es la homología Hochschild de A con coeficientes en M . ${\ Displaystyle b \ circ b = 0}$ ${\ Displaystyle (C_ {n} (A, M), b)}$

Observación

Los mapas son mapas faciales que hacen de la familia de módulos un objeto simple en la categoría de k -módulos, es decir, un functor Δ ^o → k -mod, donde Δ es la categoría simplex y k -mod es la categoría de k -módulos. Aquí Δ ^o es la categoría opuesta de Δ. Los mapas de degeneración están definidos por ${\ Displaystyle d_ {i}}$ ${\ Displaystyle (C_ {n} (A, M), b)}$

{\ Displaystyle s_ {i} (a_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = a_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {i} \ otimes 1 \ otimes a_ {i + 1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}.}

La homología de Hochschild es la homología de este módulo simple.

Relación con el complejo de bares

Hay un complejo de aspecto similar llamado el complejo Bar que formalmente se ve muy similar al complejo Hochschild ^págs . ^4-5 . De hecho, el complejo Hochschild se puede recuperar del complejo Bar como ${\ Displaystyle B (A / k)}$ ${\ Displaystyle HH (A / k)}$

{\ Displaystyle HH (A / k) \ cong A \ otimes _ {A \ otimes A ^ {op}} B (A / k)}

dando un isomorfismo explícito.

Como una auto-intersección derivada

Hay otra interpretación útil del complejo de Hochschild en el caso de anillos conmutativos, y más en general, para haces de anillos conmutativos: se construye a partir de la auto-intersección derivada de un esquema (o incluso esquema derivado) sobre algún esquema base . Por ejemplo, podemos formar el producto de fibra derivado ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S}$

{\ Displaystyle X \ times _ {S} ^ {\ mathbf {L}} X}

que tiene el haz de anillos derivados . Luego, si se incrusta con el mapa diagonal

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} ^ {\ mathbf {L}} {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle \ Delta: X \ a X \ times _ {S} ^ {\ mathbf {L}} X}

El complejo de Hochschild se construye como el retroceso de la autointersección derivada de la diagonal en el esquema del producto diagonal.

{\ Displaystyle HH (X / S): = \ Delta ^ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} ^ {\ mathbf {L}} {\ mathcal {O}} _ {X}} ^ {\ mathbf {L}} {\ mathcal {O}} _ {X}) }

A partir de esta interpretación, debería quedar claro que la homología de Hochschild debería tener alguna relación con los diferenciales de Kahler, ya que los diferenciales de Kahler se pueden definir utilizando una auto-intersección de la diagonal, o más generalmente, el complejo cotangente ya que este es el reemplazo derivado de Diferenciales de Kahler. Podemos recuperar la definición original del complejo de Hochschild de un álgebra conmutativa estableciendo

{\ Displaystyle \ Omega _ {X / S}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {X / S} ^ {\ bullet}}

{\ Displaystyle k}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle S = {\ text {Spec}} (k)}

y

{\ Displaystyle X = {\ text {Spec}} (A)}

Entonces, el complejo de Hochschild es cuasi-isomorfo para

{\ Displaystyle HH (A / k) \ simeq _ {qiso} A \ otimes _ {A \ otimes _ {k} ^ {\ mathbf {L}} A} ^ {\ mathbf {L}} A}

Si es un álgebra plana , entonces está la cadena del isomorfismo

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle k}

{\ Displaystyle A \ otimes _ {k} ^ {\ mathbf {L}} A \ cong A \ otimes _ {k} A \ cong A \ otimes _ {k} A ^ {op}}

dando una presentación alternativa pero equivalente del complejo Hochschild.

Homología de functores de Hochschild

El círculo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de conjuntos puntiagudos finitos, es decir, un funtor. Así, si

F es un funtor , obtenemos un módulo simplicial componiendo F con .

{\ Displaystyle S ^ {1}}

{\ Displaystyle \ operatorname {Fin} _ {*}}

{\ Displaystyle \ Delta ^ {o} \ to \ operatorname {Fin} _ {*}.}

{\ Displaystyle F \ colon \ operatorname {Fin} \ to k- \ mathrm {mod}}

{\ Displaystyle S ^ {1}}

{\ Displaystyle \ Delta ^ {o} {\ overset {S ^ {1}} {\ longrightarrow}} \ operatorname {Fin} _ {*} {\ overset {F} {\ longrightarrow}} k {\ text {- modificación}}.}

La homología de este módulo simplicial es la homología Hochschild del funtor F . La definición anterior de homología de Hochschild de álgebras conmutativas es el caso especial donde F es el funtor de Loday .

Functor de Loday

Un esqueleto para la categoría de conjuntos puntiagudos finitos está dado por los objetos

{\ Displaystyle n _ {+} = \ {0,1, \ ldots, n \},}

donde 0 es el punto base y los morfismos son el punto base que conserva los mapas de conjuntos. Sea A un k-álgebra conmutativa y M un bimódulo A simétrico . El functor Loday se da en objetos en por ${\ Displaystyle L (A, M)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} _ {*}}$

{\ Displaystyle n _ {+} \ mapsto M \ otimes A ^ {\ otimes n}.}

Un morfismo

{\ Displaystyle f: m _ {+} \ to n _ {+}}

es enviado al morfismo dado por ${\ Displaystyle f _ {*}}$

{\ Displaystyle f _ {*} (a_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = b_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes b_ {m}}

dónde

{\ Displaystyle \ forall j \ in \ {0, \ ldots, n \}: \ qquad b_ {j} = {\ begin {cases} \ prod _ {i \ in f ^ {- 1} (j)} a_ {i} & f ^ {- 1} (j) \ neq \ conjunto vacío \\ 1 & f ^ {- 1} (j) = \ conjunto vacío \ end {casos}}}

Otra descripción de la homología de álgebras de Hochschild

La homología de Hochschild de un álgebra conmutativa A con coeficientes en un simétrico A- bimódulo M es la homología asociada a la composición

{\ Displaystyle \ Delta ^ {o} {\ overset {S ^ {1}} {\ longrightarrow}} \ operatorname {Fin} _ {*} {\ overset {{\ mathcal {L}} (A, M)} {\ longrightarrow}} k {\ text {-mod}},}

y esta definición concuerda con la anterior.

Ejemplos de

Los ejemplos de cálculos de homología de Hochschild pueden estratificarse en varios casos distintos con teoremas bastante generales que describen la estructura de los grupos de homología y el anillo de homología para un álgebra asociativa . Para el caso de las álgebras conmutativas, hay una serie de teoremas que describen los cálculos sobre la característica 0 que dan una comprensión directa de lo que calculan la homología y la cohomología. ${\ Displaystyle HH _ {*} (A)}$ ${\ Displaystyle A}$

Característica conmutativa 0 caso

En el caso de álgebras conmutativas donde , la homología de Hochschild tiene dos teoremas principales relacionados con álgebras suaves y álgebras no planas más generales ; pero el segundo es una generalización directa del primero. En el caso suave, es decir, para un álgebra suave , el

teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg^{pg 43-44} establece que hay un isomorfismo

{\ Displaystyle A / k}

{\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq k}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle \ Omega _ {A / k} ^ {n} \ cong HH_ {n} (A / k)}

por cada . Este isomorfismo se puede describir explícitamente utilizando el mapa anti-simetrización. Es decir, una forma n diferencial tiene el mapa

{\ Displaystyle n \ geq 0}

{\ Displaystyle adb_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge db_ {n} \ mapsto \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} (- 1) ^ {{\ text {sign}} (\ sigma)} a \ otimes b _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes b _ {\ sigma (n)}}

Si el álgebra no es uniforme, ni siquiera plano, entonces existe un teorema análogo que usa el complejo cotangente . Para una resolución simple , establecemos . Entonces, existe una filtración descendente en cuyas piezas graduadas son isomorfas a

{\ Displaystyle A / k}

{\ Displaystyle P _ {\ bullet} \ to A}

{\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {A / k} ^ {i} = \ Omega _ {P _ {\ bullet} / k} ^ {i} \ otimes _ {P _ {\ bullet}} A}

{\ Displaystyle \ mathbb {N}}

{\ Displaystyle F _ {\ bullet}}

{\ Displaystyle HH_ {n} (A / k)}

{\ Displaystyle {\ frac {F_ {i}} {F_ {i + 1}}} \ cong \ mathbb {L} _ {A / k} ^ {i} [+ i]}

Tenga en cuenta que este teorema hace que sea accesible para calcular la homología de Hochschild no solo para álgebras suaves, sino también para álgebras de intersección completa locales. En este caso, dada una presentación para , el complejo cotangente es el complejo de dos términos .

{\ Displaystyle A = R / I}

{\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

{\ Displaystyle I / I ^ {2} \ to \ Omega _ {R / k} ^ {1} \ otimes _ {k} A}

Anillos polinomiales sobre los racionales

Un ejemplo simple es calcular la homología Hochschild de un anillo polinomial de con -generadores. El teorema de HKR da el isomorfismo ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle HH _ {*} (\ mathbb {Q} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]) = \ mathbb {Q} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ otimes \ Lambda (dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n})}

donde el álgebra es el álgebra antisimétrica libre sobre en generadores. Su estructura de producto viene dada por el producto de cuña de los vectores, por lo que

{\ Displaystyle \ Lambda (dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n})}

{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} dx_ {i} \ cdot dx_ {j} & = - dx_ {j} \ cdot dx_ {i} \\ dx_ {i} \ cdot dx_ {i} & = 0 \ end { alineado}}}

para .

{\ Displaystyle i \ neq j}

Característica conmutativa p caso

En el caso p característico, hay un contraejemplo útil para el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que aclara la necesidad de una teoría más allá de las álgebras simpliciales para definir la homología de Hochschild. Considere el -álgebra . Podemos calcular una resolución de como álgebras graduadas diferenciales libres ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ xrightarrow {\ cdot p} \ mathbb {Z}}

dando la intersección derivada donde y el diferencial es el mapa cero. Esto se debe a que simplemente tensamos el complejo anterior dando un complejo formal con un generador en grado al cuadrado . Entonces, el complejo de Hochschild está dado por

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p} \ cong \ mathbb {F} _ {p} [\ varepsilon] / (\ varepsilon ^ {2})}

{\ Displaystyle {\ text {deg}} (\ varepsilon) = 1}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

{\ Displaystyle 1}

{\ displaystyle 0}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbb {L}} \ mathbb {F} _ { p}} ^ {\ mathbb {L}} \ mathbb {F} _ {p}}

Para calcular esto, debemos resolverlo como un -álgebra. Observe que la estructura del álgebra

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}

${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} [\ varepsilon] / (\ varepsilon ^ {2}) \ to \ mathbb {F} _ {p}}$

fuerzas . Esto da el término de grado cero del complejo. Luego, debido a que tenemos que resolver el núcleo , podemos tomar una copia de desplazado en grado y hacer que se asigne , con el núcleo en grado. Podemos realizar esto de forma recursiva para obtener el módulo subyacente del álgebra de potencias divididas. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ mapsto 0}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle 2}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle 3}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p} = {\ text {Ker} } ({\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}} \ to {\ displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}).}$

{\ Displaystyle (\ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}) \ langle x \ rangle = {\ frac {(\ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}) [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]} {x_ {i} x_ {j} = {\ binom {i + j} {i}} x_ {i + j}}}}

con y el grado de es , es decir . Tensor de esta álgebra con over da

{\ Displaystyle dx_ {i} = \ varepsilon \ cdot x_ {i-1}}

{\ Displaystyle x_ {i}}

{\ Displaystyle 2i}

{\ Displaystyle | x_ {i} | = 2i}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}

{\ Displaystyle HH _ {*} (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} \ langle x \ rangle}

ya que multiplicado por cualquier elemento de es cero. La estructura del álgebra proviene de la teoría general sobre álgebras de potencia divididas y álgebras graduadas diferenciales. Tenga en cuenta que este cálculo se considera un artefacto técnico porque el anillo no se comporta bien. Por ejemplo, . Una respuesta técnica a este problema es a través de la homología topológica de Hochschild, donde el anillo base es reemplazado por el espectro de la esfera .

{\ Displaystyle \ varepsilon}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ langle x \ rangle}

{\ Displaystyle x ^ {p} = 0}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ mathbb {S}}

Homología topológica de Hochschild

La construcción anterior del complejo de Hochschild se puede adaptar a situaciones más generales, es decir, reemplazando la categoría de (complejos de) módulos por una

categoría ∞ (equipada con un producto tensorial) y por un álgebra asociativa en esta categoría. Aplicando esto a la categoría de espectros , y siendo el espectro de Eilenberg-MacLane asociado a un anillo ordinario, se obtiene la homología topológica de Hochschild , denotada . La homología de Hochschild (no topológica) introducida anteriormente se puede reinterpretar a lo largo de estas líneas, tomando la categoría derivada de módulos (como una categoría ∞). ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}

${\ Displaystyle A}$

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} = {\ textbf {Spectra}}}

${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle R}

{\ Displaystyle THH (R)}

${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} = D (\ mathbb {Z})}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Reemplazar los productos tensoriales sobre el espectro de la

esfera por los productos tensoriales sobre (o el espectro de Eilenberg-MacLane ) conduce a un mapa de comparación natural . Induce un isomorfismo en los grupos de homotopía en grados 0, 1 y 2. En general, sin embargo, son diferentes y tienden a producir grupos más simples que HH. Por ejemplo,

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle H \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle THH (R) \ a HH (R)}

${\ Displaystyle THH}$

{\ Displaystyle THH (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} [x],}

{\ Displaystyle HH (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} \ langle x \ rangle}

es el anillo polinomial (con x en grado 2), comparado con el anillo de potencias divididas en una variable.

Lars Hesselholt ( 2016 ) mostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad adecuada suave puede expresarse utilizando

determinantes regularizados que involucran homología topológica de Hochschild.

{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

Ver también

Homología cíclica

Referencias

^ Mañana, Mateo. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2020.
↑ Ginzburg, Victor (29 de junio de 2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas / 0506603 .
^ "Sección 23.6 (09PF): resoluciones de Tate: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 31 de diciembre de 2020 .

Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica , Princeton Mathematical Series, 19 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5 , MR 0077480
Govorov, VE; Mikhalev, AV (2001) [1994], "Cohomología de álgebras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hesselholt, Lars (2016), Homología topológica de Hochschild y función zeta de Hasse-Weil , Contemporary Mathematics, 708 , págs. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090 / conm / 708/14264 , ISBN 9781470429119 , S2CID 119145574
Hochschild, Gerhard (1945), "Sobre los grupos de cohomología de un álgebra asociativa", Annals of Mathematics , Segunda serie, 46 (1): 58–67, doi : 10.2307 / 1969145 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969145 , MR 0011076
Jean-Louis Loday , Homología cíclica , Grundlehren der Mathischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
Richard S. Pierce, Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas (88), Springer, 1982.
Pirashvili, Teimuraz (2000). "Descomposición de Hodge para homología Hochschild de orden superior" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151-179. doi : 10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5 .

enlaces externos

Artículos introductorios

Dylan GL Allegretti, Formas diferenciales en espacios no conmutativos . Una introducción elemental a la geometría no conmutativa que utiliza la homología de Hochschild para generalizar formas diferenciales.
Ginzburg, Victor (2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas / 0506603 .
Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética
Cohomología Hochschild en nLab

Caso conmutativo

Antieau, Benjamín; Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2019). "Contraejemplos de Hochschild-Kostant-Rosenberg en característica p ". arXiv : 1909.11437 [ math.AG ].

Caso no conmutativo

Richard, Lionel (2004). "Homología Hochschild y cohomología de algunas álgebras polinómicas no conmutativas clásicas y cuánticas" . Revista de álgebra pura y aplicada . 187 (1-3): 255-294. doi : 10.1016 / S0022-4049 (03) 00146-4 .
Quddus, Safdar (2020). "Estructuras de Poisson no conmutativas en orbifolds de toro cuántico". arXiv : 2006.00495 [ math.KT ].
Yashinski, Allan (2012). "La conexión Gauss-Manin y toros no conmutativos". arXiv : 1210.4531 [ math.KT ].

[1] Mañana, Mateo. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2020.

[2] Ginzburg, Victor (29 de junio de 2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas / 0506603 .

[3] "Sección 23.6 (09PF): resoluciones de Tate: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 31 de diciembre de 2020 .

Languages

In other projects