Functor ext - Ext functor

En matemáticas , los functores Ext son los functores derivados del functor Hom . Junto con el functor Tor , Ext es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en el que las ideas de la topología algebraica se utilizan para definir invariantes de estructuras algebraicas. La cohomología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas se pueden definir en términos de Ext. El nombre proviene del hecho de que el primer grupo Ext Ext ¹ clasifica las extensiones de un módulo por otro.

En el caso especial de los grupos abelianos , Ext fue introducido por Reinhold Baer (1934). Fue nombrado por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane (1942) y aplicado a la topología (el teorema del coeficiente universal para la cohomología ). Para módulos sobre cualquier anillo , Henri Cartan y Eilenberg definieron Ext en su libro Homological Algebra de 1956 .

Definición

Deje que R sea un anillo y dejar que R -Mod sea la categoría de módulos de más de R . (Se puede considerar que esto significa módulos R izquierdos o módulos R derechos). Para un módulo R fijo A , sea T ( B ) = Hom _R ( A , B ) para B en R -Mod. (Aquí Hom _R ( A , B ) es el grupo abeliano de R -mapas lineales de A a B ; este es un R -módulo si R es conmutativo .) Este es un funtor exacto izquierdo de R -Mod a la categoría de abeliano grupos Ab, y por lo que ha derecho funtores derivados R ⁱ T . Los grupos Ext son los grupos abelianos definidos por

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B),}$

para un entero i . Por definición, esto significa: tomar cualquier resolución inyectiva

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to I ^ {0} \ to I ^ {1} \ to \ cdots,}$

eliminar el término B y formar el complejo cochain :

${\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) \ to \ cdots.}$

Para cada entero i , Ext^yo
_R( A , B ) es la cohomología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Por ejemplo, Ext⁰
_R( A , B ) es el núcleo del mapa Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), que es isomorfo a Hom _R ( A , B ).

Una definición alternativa usa el functor G ( A ) = Hom _R ( A , B ), para un R -módulo B fijo . Este es un funtor contravariante , que puede verse como un funtor exacto izquierdo de la categoría opuesta ( R -Mod) ^op a Ab. Los grupos Ext se definen como los functores derivados de la derecha R ⁱ G :

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}$

Es decir, elija cualquier resolución proyectiva

${\ Displaystyle \ cdots \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to A \ to 0,}$

elimine el término A y forme el complejo cochain:

${\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ to \ cdots.}$

El siguiente^yo
_R( A , B ) es la cohomología de este complejo en la posición i .

Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva o inyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Ext. Además, para un anillo fijo R , Ext es un funtor en cada variable (contravariante en A , covariante en B ).

Para un anillo conmutativo R y R -módulos A y B , Ext^yo
_R( A , B ) es un módulo R (usando que Hom _R ( A , B ) es un módulo R en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Ext^yo
_R( A , B ) es solo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Ext^yo
_R( A , B ) es al menos un módulo S.

Propiedades de Ext

Estas son algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos Ext.

• Ext⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) para cualquier R -modules A y B .

• Ext^yo
  _R( A , B ) = 0 para todo i > 0 si el módulo R A es proyectivo (por ejemplo, libre ) o si B es inyectivo .

• Los conversos también sostienen:
  • Si Ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es proyectiva (y por lo tanto Ext^yo
    _R( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si Ext¹
    _R( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es inyectivo (y por lo tanto Ext^yo
    _R( A , B ) = 0 para todo i > 0).

• ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$para todos los i ≥ 2 y todos los grupos abelianos A y B .

• Si R es un anillo conmutativo y u en R no es un divisor de cero , entonces

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / (u), B) \ cong {\ begin {cases} B [u] & i = 0 \\ B / uB & i = 1 \\ 0 & {\ text {de lo contrario,}} \ end {cases}}}$

para cualquier R -módulo B . Aquí B [ u ] denota el subgrupo de torsión u de B , { x ∈ B : ux = 0}. Tomando R como el anillo de números enteros, este cálculo puede usarse para calcular cualquier grupo abeliano A generado de forma finita .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (A, B)}$

• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos Ext cuando el primer módulo es el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . Por ejemplo, si R es el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un campo k , entonces Ext^*
  _R( k , k ) es el álgebra exterior S sobre k en n generadores en Ext ¹ . Además, Ext^*
  _S( k , k ) es el anillo polinómico R ; este es un ejemplo de la dualidad Koszul .

• Por las propiedades generales de los functores derivados, hay dos secuencias exactas básicas para Ext. Primero, una secuencia corta exacta 0 → K → L → M → 0 de módulos R induce una secuencia larga exacta de la forma

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, K) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, L) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (A, M) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, K) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, L) \ to \ cdots,}$

para cualquier R -módulo A . Además, una secuencia exacta corta 0 → K → L → M → 0 induce una secuencia exacta larga de la forma

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (M, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (L, B) \ to \ mathrm {Hom} _ {R} (K, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (M, B) \ to \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (L, B) \ to \ cdots,}$

para cualquier R -módulo B .

• Ext toma sumas directas (posiblemente infinitas) en la primera variable y productos en la segunda variable a productos. Es decir:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} \ left (M, \ prod _ {\ alpha } N _ {\ alpha} \ right) & \ cong \ prod _ {\ alpha} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M, N _ {\ alpha}) \ end {alineado}}}$

• Deje A sea un módulo finitamente generado sobre un conmutativa anillo noetheriano R . Entonces Ext conmuta con la localización , en el sentido de que para cada conjunto cerrado multiplicativamente S en R , cada R -módulo B , y cada entero i ,

${\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S ^ {- 1} R} ^ {i} \ left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B \ derecha).}$

Ext y extensiones

Equivalencia de extensiones

Los grupos Ext derivan su nombre de su relación con las extensiones de los módulos. Dados los R -módulos A y B , una extensión de A por B es una breve secuencia exacta de R -módulos

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a E \ a A \ a 0.}$

Dos extensiones

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a E \ a A \ a 0}$

${\ Displaystyle 0 \ to B \ to E '\ to A \ to 0}$

se dice que son equivalentes (como extensiones de A por B ) si hay un diagrama conmutativo :

Tenga en cuenta que el lema de los cinco implica que la flecha del medio es un isomorfismo. Una extensión de A por B se llama split si es equivalente a la extensión trivial

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a A \ oplus B \ a A \ a 0.}$

Existe una correspondencia biunívoca entre clases de equivalencia de extensiones de A por B y elementos de Ext¹
_R( A , B ). La extensión trivial corresponde al elemento cero de Ext.¹
_R( A , B ).

La suma de extensiones de Baer

La suma de Baer es una descripción explícita de la estructura del grupo abeliano en Ext.¹
_R( A , B ), visto como el conjunto de clases de equivalencia de las extensiones de A por B . Es decir, dadas dos extensiones

${\ displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ to 0}$

y

${\ displaystyle 0 \ to B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E' {\ xrightarrow [{g '}] {}} A \ to 0,}$

primero formar el retroceso sobre , ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ left \ {(e, e ') \ in E \ oplus E' \; | \; g (e) = g '(e') \ right \}.}$

Luego forma el módulo de cociente

${\ Displaystyle Y = \ Gamma / \ {(f (b), - f '(b)) \; | \; b \ in B \}.}$

La suma de Baer de E y E ′ es la extensión

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a Y \ a A \ a 0,}$

donde está el primer mapa y el segundo . ${\ Displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$${\ Displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e ')}$

Hasta la equivalencia de extensiones, la suma de Baer es conmutativa y tiene la extensión trivial como elemento de identidad. El negativo de una extensión 0 → B → E → A → 0 es la extensión que involucra el mismo módulo E , pero con el homomorfismo B → E reemplazado por su negativo.

Construcción de Ext en categorías abelianas

Nobuo Yoneda definió los grupos abelianos Extⁿ
_C( A , B ) para los objetos A y B en cualquier categoría abeliana C ; esto concuerda con la definición en términos de resoluciones si C tiene suficientes proyectivos o suficientes inyectivos . Primero, Ext⁰
_C( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Siguiente, Ext¹
_C( A , B ) es el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de A por B , formando un grupo abeliano bajo la suma de Baer. Finalmente, los grupos Ext superiores Extⁿ
_C( A , B ) se definen como clases de equivalencia de n-extensiones , que son secuencias exactas

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a X_ {n} \ a \ cdots \ a X_ {1} \ a A \ a 0,}$

bajo la relación de equivalencia generada por la relación que identifica dos extensiones

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ xi: 0 & \ to B \ to X_ {n} \ to \ cdots \ to X_ {1} \ to A \ to 0 \\\ xi ': 0 & \ to B \ to X '_ {n} \ a \ cdots \ a X' _ {1} \ a A \ a 0 \ end {alineado}}}$

si hay mapas para todo m en {1, 2, ..., n } de manera que cada resultantes conmuta cuadrados , es decir, si hay un mapa de la cadena ξ → ξ', que es la identidad en A y B . ${\ Displaystyle X_ {m} \ to X '_ {m}}$

La suma Baer de dos n -extensiones como anteriormente se forma dejando que sea el retroceso de y sobre A , y sea el pushout de y bajo B . Entonces la suma de Baer de las extensiones es ${\ Displaystyle X '' _ {1}}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X '_ {1}}$${\ Displaystyle X '' _ {n}}$${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle X '_ {n}}$

${\ Displaystyle 0 \ a B \ a X '' _ {n} \ a X_ {n-1} \ oplus X '_ {n-1} \ a \ cdots \ a X_ {2} \ oplus X' _ { 2} \ a X '' _ {1} \ a A \ a 0.}$

La categoría derivada y el producto Yoneda

Un punto importante es que los grupos Ext en una categoría abeliana C pueden verse como conjuntos de morfismos en una categoría asociada a C , la categoría derivada D ( C ). Los objetos de la categoría de derivados son complejos de objetos en C . Específicamente, uno tiene

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {D ({\ mathbf {C}})} (A, B [i ]),}$

donde un objeto de C se ve como un complejo concentrado en grado cero, y [ i ] significa desplazar un complejo i pasos hacia la izquierda. A partir de esta interpretación, hay un mapa bilineal , a veces llamado producto Yoneda :

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) \ times \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {j} (B, C) \ a \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i + j} (A, C),}$

que es simplemente la composición de morfismos en la categoría derivada.

El producto Yoneda también se puede describir en términos más elementales. Para i = j = 0, el producto es la composición de mapas en la categoría C . En general, el producto se puede definir empalmando dos extensiones Yoneda.

Alternativamente, el producto Yoneda se puede definir en términos de resoluciones. (Esto está cerca de la definición de la categoría derivada.) Por ejemplo, dejar que R sea un anillo, con R -modules A , B , C , y dejar que P , Q , y T sea resoluciones proyectivas de A , B , C . El siguiente^yo
_R( A , B ) se puede identificar con el grupo de clases de homotopía de cadena de mapas de cadena P → Q [ i ]. El producto Yoneda se da componiendo mapas de cadena:

${\ Displaystyle P \ a Q [i] \ a T [i + j].}$

Según cualquiera de estas interpretaciones, el producto Yoneda es asociativo. Como resultado, es un anillo graduado , para cualquier R -módulo A . Por ejemplo, esto da la estructura de anillo en la cohomología de grupo, ya que esto puede verse como . También por asociatividad del producto Yoneda: para cualquier R -módulo A y B , es un módulo terminado . ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ ${\ Displaystyle H ^ {*} (G, \ mathbb {Z}),}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$

Casos especiales importantes

• Cohomology grupo se define por , donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros, y es el anillo de grupo de G .${\ Displaystyle H ^ {*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, M)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

• Para un álgebra A sobre un campo k y un A - bimódulo M , la cohomología de Hochschild se define por

${\ displaystyle HH ^ {*} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ text {op}}} ^ {*} (A, M).}$

• La cohomología del álgebra de Lie se define por , donde es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo k , M es un módulo -y es el álgebra envolvente universal .${\ Displaystyle H ^ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatorname {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

• Para un espacio topológico X , la cohomología de gavillas se puede definir como Aquí Ext se toma en la categoría abeliana de gavillas de grupos abelianos en X , y es la gavilla de funciones localmente valoradas constantes .${\ Displaystyle H ^ {*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^ {*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {X}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Para una conmutativa Noetherian anillo local R con el campo de residuo k , es el álgebra envolvente universal de una graduada álgebra de Lie π * ( R ) más de k , conocido como el álgebra de Lie homotopy de R . (Para ser precisos, cuando k tiene la característica 2, π * ( R ) debe verse como un "álgebra de Lie ajustada".) Existe un homomorfismo natural de las álgebras de Lie graduadas de la cohomología de André-Quillen D * ( k / R , k ) a π * ( R ), que es un isomorfismo si k tiene la característica cero.${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$

Ver también

• dimensión global
• resolución de barra
• Grupo Grothendieck
• Dualidad local de Grothendieck

Notas

Referencias

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