Categoría derivada - Derived category

En matemáticas , la categoría de derivados D ( A ) de una categoría abeliana A es una construcción del álgebra homológica introducido para refinar y, en cierto sentido de simplificar la teoría de funtores derivados definidos en A . La construcción procede sobre la base de que los objetos de D ( A ) deben ser complejos de cadena en A , con dos de tales complejos de cadena considerados isomorfos cuando hay un mapa de cadena que induce un isomorfismo en el nivel de homología de los complejos de cadena. A continuación, se pueden definir functores derivados para complejos de cadenas, refinando el concepto de hipercohomología . Las definiciones conducen a una simplificación significativa de fórmulas descritas de otro modo (no completamente fielmente) por secuencias espectrales complicadas .

El desarrollo de la categoría derivada, por Alexander Grothendieck y su alumno Jean-Louis Verdier poco después de 1960, aparece ahora como un punto terminal en el desarrollo explosivo del álgebra homológica en la década de 1950, una década en la que había logrado avances notables. La teoría básica de Verdier fue escrita en su disertación, publicada finalmente en 1996 en Astérisque (un resumen había aparecido anteriormente en SGA 4½ ). La axiomática requería una innovación, el concepto de categoría triangulada , y la construcción se basa en la localización de una categoría , una generalización de la localización de un anillo . El impulso original de desarrollar el formalismo "derivado" vino de la necesidad de encontrar una formulación adecuada de la teoría coherente de la dualidad de Grothendieck . Desde entonces, las categorías derivadas se han vuelto indispensables también fuera de la geometría algebraica , por ejemplo en la formulación de la teoría de los módulos D y el análisis microlocal . Las categorías derivadas recientemente también se han vuelto importantes en áreas más cercanas a la física, como las D-branas y la simetría especular .

Motivaciones

En la teoría coherente de las gavillas , empujando hasta el límite de lo que se podría hacer con la dualidad de Serre sin la suposición de un esquema no singular , se hizo evidente la necesidad de tomar todo un complejo de gavillas en lugar de una sola gavilla dualizadora . De hecho, la condición de anillo de Cohen-Macaulay , un debilitamiento de la no singularidad, corresponde a la existencia de una única gavilla dualizante; y esto está lejos del caso general. Desde la posición intelectual de arriba hacia abajo, siempre asumida por Grothendieck, esto significó la necesidad de reformular. Con ella vino la idea de que el producto tensorial "real" y los functores de Hom serían los existentes en el nivel derivado; con respecto a ellos, Tor y Ext se vuelven más como dispositivos computacionales.

A pesar del nivel de abstracción, las categorías derivadas se aceptaron durante las décadas siguientes, especialmente como un entorno conveniente para la cohomología de gavillas . Quizás el mayor avance fue la formulación de la correspondencia de Riemann-Hilbert en dimensiones mayores que 1 en términos derivados, alrededor de 1980. La escuela Sato adoptó el lenguaje de categorías derivadas, y la historia posterior de los módulos D fue de una teoría expresada en esos condiciones.

Un desarrollo paralelo fue la categoría de espectros en la teoría de la homotopía . La categoría de espectros de homotopía y la categoría derivada de un anillo son ejemplos de categorías trianguladas .

Definición

Sea una categoría abeliana . (Los ejemplos incluyen la categoría de módulos sobre un anillo y la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico). La categoría derivada está definida por una propiedad universal con respecto a la categoría de complejos cocadena con términos en . Los objetos de son de la forma ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}})}$

{\ displaystyle \ cdots \ to X ^ {- 1} \ xrightarrow {d ^ {- 1}} X ^ {0} \ xrightarrow {d ^ {0}} X ^ {1} \ xrightarrow {d ^ {1} } X ^ {2} \ to \ cdots,}

donde cada X ⁱ es un objeto de y cada uno de los compuestos es cero. El i ésimo grupo de cohomología del complejo es . Si y son dos objetos en esta categoría, entonces un morfismo se define como una familia de morfismos tales que . Tal morfismo induce morfismos en grupos de cohomología , y se denomina cuasi-isomorfismo si cada uno de estos morfismos es un isomorfismo en . ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle d ^ {i + 1} \ circ d ^ {i}}$ ${\ Displaystyle H ^ {i} (X ^ {\ bullet}) = \ operatorname {ker} d ^ {i} / \ operatorname {im} d ^ {i-1}}$ ${\ Displaystyle (X ^ {\ bullet}, d_ {X} ^ {\ bullet})}$ ${\ Displaystyle (Y ^ {\ bullet}, d_ {Y} ^ {\ bullet})}$ ${\ Displaystyle f ^ {\ bullet} \ colon (X ^ {\ bullet}, d_ {X} ^ {\ bullet}) \ to (Y ^ {\ bullet}, d_ {Y} ^ {\ bullet})}$ ${\ Displaystyle f_ {i} \ colon X ^ {i} \ to Y ^ {i}}$ ${\ Displaystyle f_ {i + 1} \ circ d_ {X} ^ {i} = d_ {Y} ^ {i} \ circ f_ {i}}$ ${\ Displaystyle H ^ {i} (f ^ {\ bullet}) \ colon H ^ {i} (X ^ {\ bullet}) \ to H ^ {i} (Y ^ {\ bullet})}$ ${\ displaystyle f ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

La propiedad universal de la categoría derivada es que es una localización de la categoría de complejos con respecto a los cuasi-isomorfismos. Específicamente, la categoría derivada es una categoría, junto con un funtor , que tiene la siguiente propiedad universal: Supongamos que es otra categoría (no necesariamente abeliana) y es un funtor tal que, siempre que haya un cuasi-isomorfismo en , su imagen sea un isomorfismo en ; luego factores a través . Dos categorías cualesquiera que tengan esta propiedad universal son equivalentes. ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle Q \ colon \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}}) \ to D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle F \ colon \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle F (f ^ {\ bullet})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ displaystyle Q}$

Relación con la categoría de homotopía

Si y son dos morfismos en , entonces una homotopía en cadena o simplemente homotopía es una colección de morfismos tales que para cada i . Es sencillo demostrar que dos morfismos homotópicos inducen morfismos idénticos en grupos de cohomología. Decimos que es una equivalencia de homotopía en cadena si existe tal que y son homotópicos en cadena a los morfismos de identidad en y , respectivamente. La categoría de homotopía de complejos cocadena es la categoría con los mismos objetos que pero cuyos morfismos son clases de equivalencia de morfismos de complejos con respecto a la relación de equivalencia de homotopía en cadena. Existe un funtor natural que es la identidad en los objetos y que envía cada morfismo a su clase de equivalencia de homotopía en cadena. Dado que toda equivalencia de homotopía de cadena es un cuasi-isomorfismo, los factores a través de este funtor. En consecuencia, puede verse igualmente bien como una localización de la categoría de homotopía. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet} \ to Y ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle h \ colon f \ to g}$ ${\ Displaystyle h ^ {i} \ colon X ^ {i} \ to Y ^ {i-1}}$ ${\ Displaystyle f ^ {i} -g ^ {i} = d_ {Y} ^ {i-1} \ circ h ^ {i} + h ^ {i + 1} \ circ d_ {X} ^ {i} }$ ${\ Displaystyle f \ colon X ^ {\ bullet} \ to Y ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle g \ colon Y ^ {\ bullet} \ to X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle g \ circ f}$ ${\ Displaystyle f \ circ g}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle Y ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Kom} ({\ mathcal {A}}) \ to K ({\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$

Desde el punto de vista de las categorías del modelo , la categoría derivada D ( A ) es la verdadera "categoría de homotopía" de la categoría de complejos, mientras que K ( A ) podría llamarse la "categoría de homotopía ingenua".

Construyendo la categoría derivada

Hay varias construcciones posibles de la categoría derivada. Cuando es una categoría pequeña, entonces hay una construcción directa de la categoría derivada mediante las inversas formalmente adyacentes de los cuasi-isomorfismos. Este es un ejemplo de la construcción general de una categoría por generadores y relaciones. ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Cuando es una categoría grande, esta construcción no funciona por razones teóricas establecidas. Esta construcción construye morfismos como clases de equivalencia de caminos. Si tiene una clase adecuada de objetos, todos los cuales son isomórficos, entonces hay una clase adecuada de rutas entre dos de estos objetos. La construcción de generadores y relaciones, por lo tanto, solo garantiza que los morfismos entre dos objetos formen una clase adecuada. Sin embargo, generalmente se requiere que los morfismos entre dos objetos en una categoría sean conjuntos, por lo que esta construcción no produce una categoría real. ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Sin embargo, incluso cuando es pequeño, la construcción por generadores y relaciones generalmente da como resultado una categoría cuya estructura es opaca, donde los morfismos son caminos arbitrariamente largos sujetos a una misteriosa relación de equivalencia. Por esta razón, es convencional construir la categoría derivada de manera más concreta incluso cuando la teoría de conjuntos no está en discusión. ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Estas otras construcciones pasan por la categoría de homotopía. La colección de cuasi-isomorfismos forma un sistema multiplicativo . Se trata de una colección de condiciones que permiten reescribir caminos complicados como sencillos. El teorema de Gabriel-Zisman implica que la localización en un sistema multiplicativo tiene una descripción simple en términos de techos . Un morfismo en puede describirse como un par , donde para algún complejo , es un cuasi-isomorfismo y es una clase de morfismos de equivalencia de homotopía en cadena. Conceptualmente, esto representa . Dos techos son equivalentes si tienen un techo común. ${\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet} \ to Y ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle (s, f)}$ ${\ Displaystyle Z ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle s \ colon Z ^ {\ bullet} \ to X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle f \ colon Z ^ {\ bullet} \ to Y ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle f \ circ s ^ {- 1}}$

Reemplazar cadenas de morfismos con techos también permite la resolución de los problemas de la teoría de conjuntos involucrados en categorías derivadas de categorías grandes. Fije un complejo y considere la categoría cuyos objetos son cuasi-isomorfismos con codominio y cuyos morfismos son diagramas conmutativos. De manera equivalente, esta es la categoría de objetos sobre cuya estructura los mapas son cuasi-isomorfismos. Entonces, la condición del sistema multiplicativo implica que los morfismos de a son ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle I_ {X ^ {\ bullet}}}$ ${\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle Y ^ {\ bullet}}$

{\ Displaystyle \ varinjlim _ {I_ {X ^ {\ bullet}}} \ operatorname {Hom} _ {K ({\ mathcal {A}})} ((X ') ^ {\ bullet}, Y ^ {\ bala }),}

asumiendo que este colimit es de hecho un conjunto. Si bien es potencialmente una categoría grande, en algunos casos está controlada por una categoría pequeña. Este es el caso, por ejemplo, si es una categoría abeliana de Grothendieck (lo que significa que satisface AB5 y tiene un conjunto de generadores), siendo el punto esencial que solo los objetos de cardinalidad limitada son relevantes. En estos casos, el límite puede calcularse sobre una pequeña subcategoría, y esto asegura que el resultado sea un conjunto. Entonces puede definirse para tener estos conjuntos como sus conjuntos. ${\ Displaystyle I_ {X ^ {\ bullet}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom}}$

Existe un enfoque diferente basado en reemplazar morfismos en la categoría derivada por morfismos en la categoría de homotopía. Un morfismo en la categoría derivada con codominio que es un complejo por debajo delimitado de objetos inyectivos es lo mismo que un morfismo de este complejo en la categoría de homotopía; esto se sigue de la inyectividad de términos. Al reemplazar la inyectividad de términos por una condición más fuerte, se obtiene una propiedad similar que se aplica incluso a complejos ilimitados. Un complejo es K -injetivo si, para cada complejo acíclico , tenemos . Una consecuencia directa de esto es que, para cada complejo , los morfismos en son los mismos que los morfismos en . Un teorema de Serpé, que generaliza el trabajo de Grothendieck y de Spaltenstein, afirma que en una categoría abeliana de Grothendieck, todo complejo es cuasi-isomorfo para un complejo K-inyectivo con términos inyectivos y, además, esto es functorial. En particular, podemos definir morfismos en la categoría derivada pasando a resoluciones de inyección de K y computando morfismos en la categoría de homotopía. La funcionalidad de la construcción de Serpé asegura que la composición de morfismos esté bien definida. Al igual que la construcción con techos, esta construcción también asegura propiedades teóricas de conjunto adecuadas para la categoría derivada, esta vez porque estas propiedades ya están satisfechas por la categoría de homotopía. ${\ Displaystyle I ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {K ({\ mathcal {A}})} (X ^ {\ bullet}, I ^ {\ bullet}) = 0}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ bullet} \ to I ^ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}$

Hom-Sets derivados

Como se señaló anteriormente, en la categoría derivada, los conjuntos homosexuales se expresan a través de techos o valles , donde es un cuasi-isomorfismo. Para tener una mejor idea de cómo se ven los elementos, considere una secuencia exacta ${\ displaystyle X \ rightarrow Y '\ leftarrow Y}$ ${\ Displaystyle Y \ to Y '}$

{\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} _ {n} {\ overset {\ phi _ {n, n-1}} {\ rightarrow}} {\ mathcal {E}} _ {n-1} {\ overset {\ phi _ {n-1, n-2}} {\ rightarrow}} \ cdots {\ overset {\ phi _ {1,0}} {\ rightarrow}} {\ mathcal {E}} _ {0} \ a 0}

Podemos usar esto para construir un morfismo truncando el complejo anterior, desplazándolo y usando los morfismos obvios anteriores. En particular, tenemos la imagen ${\ Displaystyle \ phi: {\ mathcal {E}} _ {0} \ to {\ mathcal {E}} _ {n} [+ (n-1)]}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 & \ to & {\ mathcal {E}} _ {n} & \ to & 0 & \ to & \ cdots & \ to & 0 & \ to & 0 \\\ uparrow && \ uparrow && \ uparrow && \ cdots && \ uparrow && \ uparrow \\ 0 & \ to & {\ mathcal {E}} _ {n} & \ to & {\ mathcal {E}} _ {n-1} & \ to & \ cdots & \ to & {\ mathcal {E}} _ {1} & \ to & 0 \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow && \ cdots && \ downarrow && \ downarrow \\ 0 & \ to & 0 & \ to & 0 & \ to & \ cdots & \ to & {\ mathcal {E}} _ {0} & \ to & 0 \ end {matrix}}}

donde el complejo inferior se ha concentrado en grado , la única flecha hacia arriba no trivial es el morfismo de igualdad, y la única flecha hacia abajo no trivial es . Este diagrama de complejos define un morfismo ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {0}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {1,0}: {\ mathcal {E}} _ {1} \ to {\ mathcal {E}} _ {0}}$

{\ Displaystyle \ phi \ in \ mathbf {RHom} ({\ mathcal {E}} _ {0}, {\ mathcal {E}} _ {n} [+ (n-1)])}

en la categoría derivada. Una aplicación de esta observación es la construcción de la clase Atiyah.

Observaciones

Para ciertos propósitos (ver más abajo) se utilizan complejos acotados por debajo ( para ), acotados por encima ( para ) o acotados ( para ) en lugar de sin acotar. Las categorías derivadas correspondientes generalmente se denotan D ⁺ (A) , D ^- (A) y D ^b (A) , respectivamente. ${\ Displaystyle X ^ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle n \ ll 0}$ ${\ Displaystyle X ^ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle n \ gg 0}$ ${\ Displaystyle X ^ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle | n | \ gg 0}$

Si uno adopta el punto de vista clásico sobre las categorías, de que hay un conjunto de morfismos de un objeto a otro (no solo una clase ), entonces uno tiene que dar un argumento adicional para probar esto. Si, por ejemplo, la categoría abeliana A es pequeña, es decir, tiene solo un conjunto de objetos, entonces este problema no será un problema. Además, si A es una categoría abeliana de Grothendieck , entonces la categoría derivada D ( A ) es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía K ( A ) y, por lo tanto, solo tiene un conjunto de morfismos de un objeto a otro. Las categorías abelianas de Grothendieck incluyen la categoría de módulos sobre un anillo, la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico y muchos otros ejemplos.

La composición de los morfismos, es decir, los techos, en la categoría derivada se logra al encontrar un tercer techo en la parte superior de los dos techos que se van a componer. Se puede comprobar que esto es posible y da una composición asociativa bien definida.

Dado que K (A) es una categoría triangulada , su localización D (A) también está triangulada. Para un número entero n y un complejo X , defina el complejo X [ n ] como X desplazado hacia abajo por n , de modo que

{\ Displaystyle X [n] ^ {i} = X ^ {n + i},}

con diferencial

{\ Displaystyle d_ {X [n]} = (- 1) ^ {n} d_ {X}.}

Por definición, un triángulo distinguido en D (A) es un triángulo que es isomorfo en D (A) al triángulo X → Y → Cone ( f ) → X [1] para algún mapa de complejos f : X → Y . Aquí Cono ( f ) denota el cono de mapeo de f . En particular, para una breve secuencia exacta

{\ displaystyle 0 \ rightarrow X \ rightarrow Y \ rightarrow Z \ rightarrow 0}

en A , el triángulo X → Y → Z → X [1] se distingue en D (A) . Verdier explicó que la definición del desplazamiento X [1] es forzada al requerir que X [1] sea el cono del morfismo X → 0.

Al ver un objeto de A como un complejo concentrado en grado cero, la categoría derivada D (A) contiene A como una subcategoría completa . Los morfismos en la categoría derivada incluyen información sobre todos los grupos Ext : para cualquier objeto X e Y en A y cualquier entero j ,

{\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {D ({\ mathcal {A}})} (X, Y [j]) = {\ text {Ext}} _ {\ mathcal {A}} ^ {j } (X, Y).}

Resoluciones proyectivas e inyectivas

Se puede mostrar fácilmente que una equivalencia de homotopía es un cuasi-isomorfismo , por lo que se puede omitir el segundo paso en la construcción anterior. La definición generalmente se da de esta manera porque revela la existencia de un funtor canónico

{\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}}) \ rightarrow D ({\ mathcal {A}}).}

En situaciones concretas, es muy difícil o imposible manejar morfismos en la categoría derivada directamente. Por tanto, se busca una categoría más manejable que sea equivalente a la categoría derivada. Clásicamente, hay dos enfoques (duales) para esto: resoluciones proyectivas e inyectivas . En ambos casos, la restricción del functor canónico anterior a una subcategoría apropiada será una equivalencia de categorías .

A continuación, describiremos el papel de las resoluciones inyectivas en el contexto de la categoría derivada, que es la base para definir los functores derivados derechos , que a su vez tienen aplicaciones importantes en cohomología de haces en espacios topológicos o teorías de cohomología más avanzadas como étale cohomology. o cohomología grupal .

Para la aplicación de esta técnica, hay que asumir que la categoría abeliana en cuestión tiene suficientes inyectivos , lo que significa que cada objeto X de la categoría admite un monomorphism a un objeto inyectiva I . (Ni el mapa ni el objeto inyectivo tienen que especificarse de forma única). Por ejemplo, cada categoría abeliana de Grothendieck tiene suficientes inyectores. Incrustando X en algún objeto inyectivo I ⁰ , el cokernel de este mapa en algún inyectivo I ¹ etc., se construye una resolución inyectiva de X , es decir, una secuencia exacta (en general infinita)

{\ displaystyle 0 \ rightarrow X \ rightarrow I ^ {0} \ rightarrow I ^ {1} \ rightarrow \ cdots, \,}

donde los I * son objetos inyectivos. Esta idea se generaliza para dar resoluciones de complejos X acotados por debajo , es decir, X ⁿ = 0 para n suficientemente pequeños . Como se señaló anteriormente, las resoluciones inyectivas no se definen de manera única, pero es un hecho que dos resoluciones cualesquiera son homotopía equivalentes entre sí, es decir, isomórficas en la categoría de homotopía. Además, los morfismos de los complejos se extienden únicamente a un morfismo de dos resoluciones inyectivas dadas.

Este es el punto donde la categoría de homotopía entra en juego nuevamente: mapear un objeto X de A a (cualquier) resolución inyectiva I * de A se extiende a un funtor

{\ Displaystyle D ^ {+} ({\ mathcal {A}}) \ rightarrow K ^ {+} (\ mathrm {Inj} ({\ mathcal {A}}))}

de la categoría a continuación derivado delimitada a la limitada hacia abajo categoría homotopy de complejos cuyos términos son objetos inyectivos en A .

No es difícil ver que este funtor es en realidad inverso a la restricción del funtor de localización canónico mencionado al principio. En otras palabras, los morfismos Hom ( X , Y ) en la categoría derivada pueden calcularse resolviendo tanto X como Y y calculando los morfismos en la categoría de homotopía, que es al menos teóricamente más fácil. De hecho, es suficiente resolver Y : para cualquier complejo X y cualquier acotado por debajo del complejo Y de inyectables,

{\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D (A)} (X, Y) = \ mathrm {Hom} _ {K (A)} (X, Y).}

Doblemente, asumiendo que A tiene suficientes proyectivas , es decir, para cada objeto X hay un epimorfismo de un objeto proyectivo P a X , se pueden usar resoluciones proyectivas en lugar de inyectivas.

Además de estas técnicas de resolución, existen otras similares que se aplican a casos especiales y que evitan elegantemente el problema de las restricciones delimitadas por encima o por debajo: Spaltenstein (1988) utiliza las llamadas resoluciones K-inyectiva y K-proyectiva , May ( 2006) y (en un lenguaje ligeramente diferente) Keller (1994) introducido las llamadas celulares módulos y semi-libre de módulos, respectivamente.

De manera más general, adaptando cuidadosamente las definiciones, es posible definir la categoría derivada de una categoría exacta ( Keller 1996 ).

La relación con los functores derivados

La categoría derivada es un marco natural para definir y estudiar functores derivados . En lo siguiente, sea F : A → B un functor de categorías abelianas. Hay dos conceptos duales:

los functores derivados de la derecha provienen de los functores exactos de la izquierda y se calculan mediante resoluciones inyectivas
los functores derivados de la izquierda provienen de los functores exactos de la derecha y se calculan mediante resoluciones proyectivas

A continuación, describiremos los functores derivados de la derecha. Entonces, suponga que F se deja exacta. Ejemplos típicos son F : A → Ab dado por X ↦ Hom ( X , A ) o X ↦ Hom ( A , X ) para algún objeto fijo A , o el functor de secciones globales en roldanas o el functor de imagen directo . Sus functores derivados de la derecha son Ext ⁿ (-, A ) , Ext ⁿ ( A , -), H ⁿ ( X , F ) o R ⁿ f _∗ ( F ) , respectivamente.

La categoría derivada nos permite encapsular todos los functores derivados R ⁿ F en un functor, a saber, el llamado functor derivado total RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Es la siguiente composición: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj ( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), donde la primera equivalencia de categorías se describe arriba. Los functores derivados clásicos están relacionados con el total a través de R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Se podría decir que R ⁿ F olvida el complejo de la cadena y mantiene solo las cohomologías, mientras que RF realiza un seguimiento de los complejos.

Las categorías derivadas son, en cierto sentido, el lugar "correcto" para estudiar estos functores. Por ejemplo, la secuencia espectral de Grothendieck de una composición de dos functores

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} {\ stackrel {F} {\ rightarrow}} {\ mathcal {B}} {\ stackrel {G} {\ rightarrow}} {\ mathcal {C}}, \,}

tal que F mapea objetos inyectivos en A a G -acíclicos (es decir, R ⁱ G ( F ( I )) = 0 para todo i > 0 e I inyectivo ), es una expresión de la siguiente identidad de functores derivados totales

R ( G ∘ F ) ≅ RG ∘ RF .

J.-L. Verdier mostró cómo los functores derivados asociados con una categoría abeliana A pueden verse como extensiones Kan junto con incrustaciones de A en categorías derivadas adecuadas [Mac Lane].

Equivalencia derivada

Puede suceder que dos categorías abelianas A y B no sean equivalentes, pero sus categorías derivadas D ( A ) y D ( B ) sí lo son. A menudo esto es una relación interesante entre A y B . Tales equivalencias están relacionadas con la teoría de estructuras t en categorías trianguladas . Aquí hay unos ejemplos.

Sea una categoría abeliana de haces coherentes en la línea proyectiva sobre un campo k . Sea K ₂ -Rep una categoría abeliana de representaciones del carcaj de Kronecker con dos vértices. Son categorías abelianas muy diferentes, pero sus categorías derivadas (limitadas) son equivalentes. ${\ Displaystyle \ mathrm {Coh} (\ mathbb {P} ^ {1})}$
Sea Q cualquier carcaj y P un carcaj obtenido de Q invirtiendo algunas flechas. En general, las categorías de representaciones de Q y P son diferentes, pero D ^b ( Q -Rep) siempre es equivalente a D ^b ( P -Rep).
Sea X una variedad abeliana , Y su variedad abeliana dual . Entonces D ^b (Coh ( X )) es equivalente a D ^b (Coh ( Y )) según la teoría de las transformadas de Fourier-Mukai . Las variedades con categorías derivadas equivalentes de haces coherentes a veces se denominan parejas de Fourier-Mukai .

Ver también

Notas

Referencias

Doorn, MGM van (2001) [1994], "Categoría derivada" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Keller, Bernhard (1996), "Categorías derivadas y sus usos" , en Hazewinkel, M. (ed.), Handbook of algebra , Amsterdam: North Holland, págs. 671–701 , ISBN 0-444-82212-7 , MR 1421815
Keller, Bernhard (1994), "Derivar categorías de DG", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033 / asens.1689 , ISSN 0012-9593 , MR 1258406
May, JP (2006), Categorías derivadas desde un punto de vista topológico (PDF)
Spaltenstein, N. (1988), "Resoluciones de complejos ilimitados" , Compositio Mathematica , 65 (2): 121-154, ISSN 0010-437X , MR 0932640
Verdier, Jean-Louis (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (en francés), París: Société Mathématique de France , 239 , ISSN 0303-1179 , MR 1453167

Cuatro libros de texto que discuten las categorías derivadas son:

Gelfand, Sergei I .; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9 , Señor 1950475
Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5 , MR 2182076
Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4 . Señor 1269324 . OCLC 36131259 .
Yekutieli, Amnon (2019). Categorías derivadas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 183 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1108419338 .

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