Esqueleto (teoría de categorías) - Skeleton (category theory)

En matemáticas , el esqueleto de una categoría es una subcategoría que, en términos generales, no contiene ningún isomorfismo extraño . En cierto sentido, el esqueleto de una categoría es la categoría equivalente "más pequeña" , que captura todas las "propiedades categóricas" del original. De hecho, dos categorías son equivalentes si y solo si tienen esqueletos isomorfos . Una categoría se llama esquelética si los objetos isomorfos son necesariamente idénticos.

Definición

Un esqueleto de una categoría C es una categoría D equivalente en la que no hay dos objetos distintos isomorfos. Generalmente se considera una subcategoría. En detalle, un esqueleto de C es una categoría D tal que:

• D es una subcategoría de C : todo objeto de D es un objeto de C

${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} (D) \ subseteq \ mathrm {Ob} (C)}$

para cada par de objetos d ₁ y d ₂ de D , los morfismos en D son morfismos en C , es decir

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) \ subseteq \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

y las identidades y composiciones en D son las restricciones de los de C .

• La inclusión de D en C es completa , lo que significa que para cada par de objetos d ₁ y d ₂ de D fortalecemos la relación de subconjunto anterior a una igualdad:

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) = \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

• La inclusión de D en C es esencialmente sobreyectiva : Cada C -objeto es isomorfo a algunos D -objeto.
• D es esquelético: no hay dos objetos D distintos que sean isomorfos.

Existencia y singularidad

Es un hecho básico que cada pequeña categoría tiene un esqueleto; de manera más general, cada categoría accesible tiene un esqueleto. (Esto es equivalente al axioma de elección ). Además, aunque una categoría puede tener muchos esqueletos distintos, dos esqueletos cualesquiera son isomorfos como categorías , por lo que hasta el isomorfismo de categorías, el esqueleto de una categoría es único .

La importancia de los esqueletos proviene del hecho de que son (hasta el isomorfismo de categorías), representantes canónicos de las clases de equivalencia de categorías bajo la relación de equivalencia de equivalencia de categorías . Esto se deriva del hecho de que cualquier esqueleto de una categoría C es equivalente a C , y que dos categorías son equivalentes si y solo si tienen esqueletos isomórficos.

Ejemplos de

• La categoría Conjunto de todos los conjuntos tiene la subcategoría de todos los números cardinales como esqueleto.
• La categoría K -Vect de todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo tiene la subcategoría que consta de todas las potencias , donde α es cualquier número cardinal, como un esqueleto; para cualquier finito m y n , los mapas son exactamente los n x m matrices con entradas en K .${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K ^ {(\ alpha)}}$${\ Displaystyle K ^ {m} \ a K ^ {n}}$
• FinSet , la categoría de todos los conjuntos finitos tiene FinOrd , la categoría de todos los números ordinales finitos, como esqueleto.
• La categoría de todos los conjuntos bien ordenados tiene la subcategoría de todos los números ordinales como esqueleto.
• Un preorden , es decir, una categoría pequeña tal que para cada par de objetos , el conjunto tiene un elemento o está vacío, tiene un conjunto parcialmente ordenado como un esqueleto.${\ Displaystyle A, B}$${\ displaystyle {\ mbox {Hom}} (A, B)}$

Ver también

• Glosario de teoría de categorías
• Categoría delgada

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas . Publicado originalmente por John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, el análisis categórico de la lógica (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 98). Holanda Septentrional. Reimpreso en 2006 por Dover Publications.