Homología cíclica - Cyclic homology

En geometría no conmutativa y ramas relacionadas de las matemáticas, la homología cíclica y la cohomología cíclica son ciertas teorías de (co) homología para álgebras asociativas que generalizan la (co) homología de Rham de variedades. Estas nociones fueron introducidas independientemente por Boris Tsygan (homología) y Alain Connes (cohomología) en la década de 1980. Estas invariantes tienen muchas relaciones interesantes con varias ramas más antiguas de las matemáticas, incluyendo la teoría de Rham, Hochschild (co) homología, cohomología grupo y la teoría-K . Los contribuyentes al desarrollo de la teoría incluyen a Max Karoubi , Yuri L. Daletskii, Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer y Michael Puschnigg. .

Consejos sobre la definición

La primera definición de la homología cíclica de un anillo A sobre un campo de característica cero, denotado

HC _n ( A ) o H _n ^λ ( A ),

procedió por medio del siguiente complejo de cadena explícito relacionado con el complejo de homología de Hochschild de A , llamado complejo de Connes :

Para cualquier número natural n ≥ 0 , defina el operador que genera la acción cíclica natural de sobre el n -ésimo producto tensorial de A : ${\ Displaystyle t_ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} t_ {n}: A ^ {\ otimes n} \ to A ^ {\ otimes n}, \ quad a_ {1} \ otimes \ dots \ otimes a_ {n} \ mapsto ( -1) ^ {n-1} a_ {n} \ otimes a_ {1} \ otimes \ dots \ otimes a_ {n-1}. \ End {alineado}}}$

Recuerde que los grupos complejos de Hochschild de A con coeficientes en A se dan estableciendo para todo n ≥ 0 . Entonces, los componentes del complejo de Connes se definen como , y el diferencial es la restricción del diferencial de Hochschild a este cociente. Se puede comprobar que el diferencial de Hochschild efectivamente factoriza a través de este espacio de coinvariantes. ${\ Displaystyle HC_ {n} (A): = A ^ {\ otimes n + 1}}$${\ Displaystyle C_ {n} ^ {\ lambda} (A): = HC_ {n} (A) / \ langle 1-t_ {n + 1} \ rangle}$${\ Displaystyle d: C_ {n} ^ {\ lambda} (A) \ to C_ {n-1} ^ {\ lambda} (A)}$

Más tarde, Connes encontró un enfoque más categórico de la homología cíclica utilizando una noción de objeto cíclico en una categoría abeliana , que es análoga a la noción de objeto simplicial . De esta manera, la homología cíclica (y cohomología) puede interpretarse como un functor derivado , que puede calcularse explícitamente por medio del ( b , B ) -bicomplejo. Si el campo k contiene los números racionales, la definición en términos del complejo de Connes calcula la misma homología.

Una de las características sorprendentes de la homología cíclica es la existencia de una secuencia larga y exacta que conecta Hochschild y la homología cíclica. Esta secuencia larga y exacta se conoce como secuencia de periodicidad.

Caso de anillos conmutativos

Cohomology cíclico de la álgebra conmutativa A de funciones regulares sobre una variedad algebraica afín sobre un campo k de característica cero puede calcularse en términos de Grothendieck 's algebraica de Rham complejo . En particular, si la variedad V = Spec A es suave, la cohomología cíclica de A se expresa en términos de la cohomología de De Rham de V de la siguiente manera:

${\ Displaystyle HC_ {n} (A) \ simeq \ Omega ^ {n} \! A / d \ Omega ^ {n-1} \! A \ oplus \ bigoplus _ {i \ geq 1} H_ {DR} ^ {n-2i} (V).}$

Esta fórmula sugiere una forma de definir la cohomología de De Rham para un "espectro no conmutativo" de un álgebra A no conmutativa , que fue ampliamente desarrollado por Connes.

Variantes de homología cíclica

Una motivación de la homología cíclica fue la necesidad de una aproximación de la teoría K que se define, a diferencia de la teoría K, como la homología de un complejo de cadena . De hecho, la cohomología cíclica está dotada de un emparejamiento con la teoría K, y uno espera que este emparejamiento no sea degenerado.

Se han definido una serie de variantes cuyo propósito es adaptarse mejor a las álgebras con topología, como las álgebras de Fréchet , las -álgebras, etc. La razón es que la teoría K se comporta mucho mejor en álgebras topológicas como las de Banach o C * álgebras que en álgebras sin estructura adicional. Dado que, por otro lado, la homología cíclica degenera en C * -algebras, surgió la necesidad de definir teorías modificadas. Entre ellos se encuentran la homología cíclica completa debida a Alain Connes , la homología cíclica analítica debida a Ralf Meyer u homología cíclica asintótica y local debida a Michael Puschnigg. El último de ellos está muy cerca de la K-teoría , ya que está dotado de una bivariante carácter de Chern de KK-teoría . ${\ Displaystyle C ^ {*}}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la homología cíclica es encontrar nuevas demostraciones y generalizaciones del teorema del índice de Atiyah-Singer . Entre estas generalizaciones se encuentran los teoremas de índices basados ​​en triples espectrales y la cuantificación de deformaciones de estructuras de Poisson .

Un operador elíptico D en un colector liso compacto define una clase de homología K. Un invariante de esta clase es el índice analítico del operador. Esto se ve como el emparejamiento de la clase [D], con el elemento 1 en HC (C (M)). La cohomología cíclica puede verse como una forma de obtener invariantes más altos de operadores diferenciales elípticos no solo para variedades suaves, sino también para foliaciones, orbifolds y espacios singulares que aparecen en geometría no conmutativa.

Cálculos de la teoría K algebraica

El mapa de trazas ciclotómicas es un mapa de la teoría K algebraica (de un anillo A , digamos), a la homología cíclica:

${\ Displaystyle tr: K_ {n} (A) \ to HC_ {n-1} (A).}$

En algunas situaciones, este mapa se puede utilizar para calcular la teoría K mediante este mapa. Un resultado pionero en esta dirección es un teorema de Goodwillie (1986) : afirma que el mapa

${\ Displaystyle K_ {n} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q} \ to HC_ {n-1} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q}}$

entre la teoría K relativa de A con respecto a un ideal bilateral nilpotente I y la homología cíclica relativa (midiendo la diferencia entre la teoría K o la homología cíclica de A y de A / I ) es un isomorfismo para n ≥1.

Si bien el resultado de Goodwillie es válido para anillos arbitrarios, una reducción rápida muestra que, en esencia, es solo una declaración sobre . Para los anillos que no contienen Q , la homología cíclica debe reemplazarse por la homología cíclica topológica para mantener una estrecha conexión con la teoría K. (Si Q está contenido en A , entonces homología cíclica y la homología cíclica topológica de A están de acuerdo.) Esto está en consonancia con el hecho de que (clásico) Hochschild homología es menos buen comportamiento de homología Hochschild topológica para los anillos no contengan Q . Clausen, Mathew & Morrow (2018) demostraron una generalización de gran alcance del resultado de Goodwillie, afirmando que para un anillo conmutativo A de modo que el lema de Hensel se cumple con respecto al ideal I , la teoría K relativa es isomorfa a la homología cíclica topológica relativa. (sin tensar ambos con Q ). Su resultado también abarca un teorema de Gabber (1992) , afirmando que en esta situación el espectro relativo de la teoría K módulo un entero n que es invertible en A desaparece. Jardine (1993) utilizó el resultado de Gabber y la rigidez de Suslin para reprobar el cálculo de Quillen de la teoría K de los campos finitos . ${\ Displaystyle A \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q}}$

Ver también

• Geometría no conmutativa

Notas

Referencias

• Jardine, JF (1993), "La teoría K de los campos finitos, revisada", Teoría K , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007 / BF00961219 , MR  1268594
• Loday, Jean-Louis (1998), Homología cíclica , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 301 , Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992), " Teoría K de los anillos locales henselianos y pares Henselianos", Teoría K algebraica , álgebra conmutativa y geometría algebraica (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., 126 , AMS, págs. 59–70
• Clausen, Dustin; Mateo, Akhil; Morrow, Matthew (2018), "Teoría K y homología cíclica topológica de pares henselianos", arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
• Goodwillie, Thomas G. (1986), " Teoría K algebraica relativa y homología cíclica", Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10.2307 / 1971283 , JSTOR  1971283 , MR  0855300
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones , Textos de posgrado en matemáticas , 147 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0.801,19001. Errata

enlaces externos

• "Cohomología cíclica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una nota personal sobre Hochschild y homología cíclica