Valoración (álgebra) - Valuation (algebra)

En álgebra (en particular en geometría algebraica o teoría de números algebraica ), una valoración es una función en un campo que proporciona una medida de tamaño o multiplicidad de elementos del campo. Generaliza al álgebra conmutativa la noción de tamaño inherente a la consideración del grado de un polo o la multiplicidad de un cero en el análisis complejo, el grado de divisibilidad de un número por un número primo en la teoría de números y el concepto geométrico de contacto entre dos. Variedades algebraicas o analíticas en geometría algebraica. Un campo con una valoración se denomina campo valorado .

Definición

Uno comienza con los siguientes objetos:

• un campo K y su grupo multiplicativo K ^× ,
• un grupo abeliano totalmente ordenado (Γ, +, ≥) .

El ordenamiento y la ley de grupo en Γ se extienden al conjunto Γ ∪ {∞ } por las reglas

• ∞ ≥ α para todo α ∈ Γ ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ para todo α ∈ Γ .

Entonces una valoración de K es cualquier mapa

v  : K → Γ ∪ {∞}

que satisface las siguientes propiedades para todo a , b en K :

• v ( a ) = ∞ si y solo si a = 0 ,
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
• v ( a + b ) ≥ min ( v ( a ), v ( b )) , con igualdad si v ( a ) ≠ v ( b ).

Una valoración v es trivial si v ( a ) = 0 para todo a en K ^× , de lo contrario no es trivial .

La segunda propiedad afirma que cualquier valoración es un homomorfismo de grupo . La tercera propiedad es una versión de la desigualdad del triángulo en espacios métricos adaptada a un Γ arbitrario (consulte la notación multiplicativa a continuación). Para las valoraciones utilizadas en aplicaciones geométricas , la primera propiedad implica que cualquier germen no vacío de una variedad analítica cerca de un punto contiene ese punto.

La valoración se puede interpretar como el orden del término de primer orden . La tercera propiedad corresponde entonces al orden de una suma que es el orden del término mayor, a menos que los dos términos tengan el mismo orden, en cuyo caso pueden cancelarse, en cuyo caso la suma puede tener un orden mayor.

Para muchas aplicaciones, Γ es un subgrupo aditivo de los números reales, en cuyo caso ∞ puede interpretarse como + ∞ en los números reales extendidos ; tenga en cuenta que para cualquier número real a , y por lo tanto + ∞ es la unidad bajo la operación binaria de mínimo. Los números reales (extendidos en + ∞) con las operaciones de mínimo y suma forman un semirrígido , llamado semirrígido tropical mínimo , y una valoración v es casi un homomorfismo semirrígido de K al semirrígido tropical, excepto que la propiedad de homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ min (a, + \ infty) = \ min (+ \ infty, a) = a}$

Notación multiplicativa y valores absolutos

El concepto fue desarrollado por Emil Artin en su libro Geometric Algebra escribiendo al grupo en notación multiplicativa como (Γ, ·, ≥) :

En lugar de ∞, unimos un símbolo formal O a Γ, con el ordenamiento y la ley de grupo extendidos por las reglas

• O ≤ α para todo α ∈ Γ ,
• O · α = α · O = O para todo α ∈ Γ .

Entonces una valoración de K es cualquier mapa

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

satisfaciendo las siguientes propiedades para todo a , b ∈ K :

• | a | _v = O si y solo si a = 0 ,
• | ab | _v = | a | _v · | b | _v ,
• | a + b | _v ≤ max ( | a | _v , | b | _v ) , con igualdad si | a | _v ≠ | b | _v .

(Tenga en cuenta que las direcciones de las desigualdades se invierten de las de la notación aditiva).

Si Γ es un subgrupo de los números reales positivos bajo multiplicación, la última condición es la desigualdad ultramétrica , una forma más fuerte de la desigualdad triangular | a + b | _v ≤ | a | _v + | b | _v , y | ⋅ | _v es un valor absoluto . En este caso, podemos pasar a la notación aditiva con grupo de valores tomando v ₊ ( a ) = −log | a | _v . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {+} \ subconjunto (\ mathbb {R}, +)}$

Cada valoración de K define un preorden lineal correspondiente : a ≼ b ⇔ | a | _v ≤ | b | _v . Por el contrario, dado un " ≼ " que satisfaga las propiedades requeridas, podemos definir la valoración | a | _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, con multiplicación y ordenación basados ​​en K y ≼ .

Terminología

En este artículo, usamos los términos definidos anteriormente, en notación aditiva. Sin embargo, algunos autores utilizan términos alternativos:

• nuestra "valoración" (que satisface la desigualdad ultramétrica) se denomina "valoración exponencial" o "valor absoluto no arquimediano" o "valor absoluto ultramétrico";
• nuestro "valor absoluto" (que satisface la desigualdad del triángulo) se llama "valoración" o "valor absoluto de Arquímedes".

Objetos asociados

Hay varios objetos definidos a partir de una valoración dada v  : K → Γ ∪ {∞} ;

• el grupo de valor o grupo de valoración Γ _v = v ( K ^× ), un subgrupo de Γ (aunque v suele ser sobreyectiva de modo que Γ _v = Γ );
• el anillo de valoración R _v es el conjunto de a ∈ K con v ( a ) ≥ 0,
• el ideal primo m _v es el conjunto de a ∈ K con v ( a )> 0 (de hecho es un ideal máximo de R _v ),
• el campo de residuos k _v = R _v / m _v ,
• el lugar de K asociado av , la clase de v bajo la equivalencia definida a continuación.

Propiedades básicas

Equivalencia de valoraciones

Se dice que dos valoraciones v ₁ y v ₂ de K con grupo de valoración Γ ₁ y Γ ₂ , respectivamente, son equivalentes si hay un isomorfismo de grupo que conserva el orden φ  : Γ ₁ → Γ ₂ tal que v ₂ ( a ) = φ ( v ₁ ( a )) para todo a en K ^× . Esta es una relación de equivalencia .

Dos valoraciones de K son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.

Una clase de equivalencia de valoraciones de un campo se llama lugar . El teorema de Ostrowski da una clasificación completa de los lugares del campo de los números racionales, estas son precisamente las clases de equivalencia de valoraciones para las terminaciones p -ádicas de${\ Displaystyle \ mathbb {Q}:}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Ampliación de valoraciones

Deje que v sea una valoración de K y dejar que L sea una extensión de terreno de K . Una extensión de v (a L ) es una valoración w de L tal que la restricción de w a K es v . El conjunto de todas estas extensiones se estudia en la teoría de la ramificación de las valoraciones .

Let L / K sea una extensión finita y dejar que w sea una extensión de V a L . El índice de Γ _v en Γ _w , e ( w / v ) = [Γ _w  : Γ _v ], se denomina índice de ramificación reducido de w sobre v . Satisface e ( w / v ) ≤ [ L  :  K ] (el grado de extensión L / K ). El grado relativo de w sobre v se define como f ( w / v ) = [ R _w / m _w  :  R _v / m _v ] (el grado de extensión de los campos de residuos). También menor o igual es el grado de L / K . Cuando L / K es separable , el índice de ramificación de w sobre v se define como e ( w / v ) p ⁱ , donde p ⁱ es el grado inseparable de la extensión R _w / m _w sobre R _v / m _v .

Completar campos valorados

Cuando la clasificadas grupo abeliano Γ es el grupo aditivo de los números enteros , la valoración asociada es equivalente a un valor absoluto, y por lo tanto induce una métrica en el campo K . Si K está completo con respecto a esta métrica, entonces se denomina campo valorado completo . Si K no está completo, se puede usar la valoración para construir su finalización , como en los ejemplos siguientes, y diferentes valoraciones pueden definir diferentes campos de finalización.

En general, una valoración induce una estructura uniforme en K , y K se denomina campo valorado completo si está completo como un espacio uniforme. Existe una propiedad relacionada conocida como completitud esférica : es equivalente a completitud si pero más fuerte en general. ${\ Displaystyle \ Gamma = \ mathbb {Z},}$

Ejemplos de

valoración p-adic

El ejemplo más básico es la valoración p -ádica v _p asociada a un entero primo p , en los números racionales con anillo de valoración donde está la localización de en el ideal primo . El grupo de valoración son los enteros aditivos Para un número entero, la valoración v _p ( a ) mide la divisibilidad de a por potencias de p : ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q},}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z} _ {(p)},}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (p)}$${\ Displaystyle \ Gamma = \ mathbb {Z}.}$${\ Displaystyle a \ in R = \ mathbb {Z},}$

${\ Displaystyle v_ {p} (a) = \ max \ {e \ in \ mathbb {Z} \ mid p ^ {e} {\ text {divide}} a \};}$

y para una fracción, v _p ( a / b ) = v _p ( a ) - v _p ( b ).

Escribir esto multiplicativamente produce el valor absoluto p -ádico , que convencionalmente tiene como base , entonces . ${\ Displaystyle 1 / p = p ^ {- 1}}$${\ Displaystyle | a | _ {p}: = p ^ {- v_ {p} (a)}}$

La finalización de con respecto a v _p es el campo de los números p-ádicos . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

Orden de desaparición

Sea K = F (x), las funciones racionales en la línea afín X = F ¹ , y tome un punto a ∈ X. Para un polinomio con , defina v _a ( f ) = k, el orden de desaparición en x = a ; y v _a ( f / g ) = v _a ( f ) - v _a ( g ). Entonces, el anillo de valoración R consta de funciones racionales sin polo en x = a , y la finalización es el anillo formal de la serie Laurent F (( x - a )). Esto se puede generalizar al campo de la serie de Puiseux K {{ t }} (potencias fraccionarias), el campo de Levi-Civita (su terminación de Cauchy) y el campo de la serie de Hahn , con valoración en todos los casos que devuelve el menor exponente de t apareciendo en la serie. ${\ Displaystyle f (x) = a_ {k} (x {-} a) ^ {k} + a_ {k + 1} (x {-} a) ^ {k + 1} + \ cdots + a_ {n } (x {-} a) ^ {n}}$${\ Displaystyle a_ {k} \ neq 0}$

π -valoración ácida

Generalizando los ejemplos anteriores, dejar que R sea un dominio de ideales principales , K sea su campo de fracciones , y ¸ ser un elemento irreducible de R . Ya que cada dominio de ideal principal es un dominio de factorización única , cada elemento no nulo un de R puede ser escrita (esencialmente) de manera única como

${\ Displaystyle a = \ pi ^ {e_ {a}} p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots p_ {n} ^ {e_ {n}}}$

donde las e son números enteros no negativos y las p _i son elementos irreducibles de R que no son asociados de π . En particular, el número entero e _a está determinado de forma única por a .

La valoración π-ádica de K viene dada por

• ${\ Displaystyle v _ {\ pi} (0) = \ infty}$
• ${\ Displaystyle v _ {\ pi} (a / b) = e_ {a} -e_ {b}, {\ text {for}} a, b \ in R, a, b \ neq 0.}$

Si π 'es otro elemento irreducible de R tal que (π') = (π) (es decir, generan el mismo ideal en R ), entonces la valoración π-ádica y la valoración π'-ádica son iguales. Por tanto, la valoración π-ádica puede denominarse valoración P -ádica, donde P  = (π).

Valoración p -adic en un dominio Dedekind

El ejemplo anterior se puede generalizar a los dominios de Dedekind . Deje que R sea un dominio de Dedekind, K su cuerpo de fracciones, y dejar que P sea un primer ideales no nula de R . Entonces, la localización de R en P , denotado R _P , es un dominio de ideales principales cuyo campo de fracciones es K . La construcción de la sección anterior aplicada a la ideal primo PR _P de R _P produce el P valoración -adic de K .

Noción geométrica de contacto

Se pueden definir valoraciones para un campo de funciones en un espacio de dimensión mayor que uno. Recuerde que el orden de valoración de desaparición v _a ( f ) mide la multiplicidad del punto x = a en el conjunto cero de f ; se puede considerar esto como el orden de contacto (o número de intersección local ) del gráfico y = f ( x ) con el eje x y = 0 cerca del punto ( a , 0). Si, en lugar del eje x , se fija otra curva plana irreductible h ( x , y ) = 0 y un punto ( a , b ), se puede definir de manera similar una valoración v _h en de modo que v _h ( f ) es la orden de contacto (el número de intersección) entre la curva fija y f ( x , y ) = 0 cerca de ( a , b ). Esta valoración se extiende naturalmente a las funciones racionales.${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x]}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y]}$${\ Displaystyle f / g \ in K = \ mathbb {C} (x, y).}$

De hecho, esta construcción es un caso especial de la valoración π-ádica en un PID definido anteriormente. Es decir, considere el anillo local , el anillo de funciones racionales que se definen en algún subconjunto abierto de la curva h = 0. Este es un PID; de hecho, un discreto anillo de valoración cuyos únicos ideales son los poderes . Luego de lo anterior valoración v _h es la valoración π-adic correspondiente a la π elemento irreducible = h ∈ R . ${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y] _ {(h)} = \ {{\ tfrac {f} {g}} \ in \ mathbb {C} (x, y) \ mid h { \ text {no divide}} g \}}$${\ Displaystyle (h) ^ {k}}$

Ejemplo: considere la curva definida por , es decir, el gráfico cerca del origen . Esta curva se puede parametrizar como: ${\ Displaystyle V_ {h}}$${\ Displaystyle h (x, y) = x ^ {3} -xy-y = 0}$${\ Displaystyle \ textstyle y = {\ frac {x ^ {3}} {1-x}} = \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} x ^ {n},}$${\ Displaystyle (a, b) = (0,0)}$${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle (x, y) = \ left (t, {\ frac {t ^ {3}} {1-t}} \ right) = \ left (t, \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} t ^ {n} \ right),}$

con el punto especial (0,0) correspondiente a t = 0. Ahora defina como el orden de la serie formal de potencias en t obtenida por restricción de cualquier polinomio distinto de cero a la curva V _h : ${\ Displaystyle v_ {h}: \ mathbb {C} [x, y] \ to \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x, y]}$

${\ Displaystyle v_ {h} (f) = \ mathrm {ord} _ {t} (f | _ {V_ {h}}) = \ mathrm {ord} _ {t} \ left (f (t, \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} t ^ {n}) \ right), \ quad {\ text {para}} f \ in \ mathbb {C} [x, y].}$

Esto se extiende al campo de las funciones racionales por , junto con . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x, y)}$${\ Displaystyle v_ {h} (f / g) = v_ {h} (f) -v_ {h} (g)}$${\ Displaystyle v_ {h} (0) = \ infty}$

Algunos números de intersección:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} v_ {h} (x) & = \ mathrm {ord} _ {t} (t) = 1 \\ v_ {h} (x ^ {6} -y ^ {2} ) & = \ mathrm {ord} _ {t} \ left (t ^ {6} -t ^ {6} -2t ^ {7} -3t ^ {8} - \ cdots \ right) = \ mathrm {ord} _ {t} \ left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - \ cdots \ right) = 7 \\ v_ {h} \ left ({\ frac {x ^ {6} -y ^ {2 }} {x}} \ right) & = \ mathrm {ord} _ {t} \ left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - \ cdots \ right) - \ mathrm {ord} _ {t } (t) = 7-1 = 6 \ end {alineado}}}$

Espacios vectoriales sobre campos de valoración

Suponga que Γ ∪ {0} es el conjunto de números reales no negativos bajo multiplicación. Entonces decimos que la valoración no es discreta si su rango (el grupo de valoración) es infinito (y por tanto tiene un punto de acumulación en 0).

Supongamos que X es un espacio vectorial sobre K y que A y B son subconjuntos de X . Entonces decimos que A absorbe B si existe un α ∈ K tal que λ ∈ K y | λ | ≥ | α | implica que B ⊆ λ A . Una se llama radial o absorbiendo si A absorbe cada subconjunto finito de X . Los subconjuntos radiales de X son invariantes bajo intersección finita. Además, A se llama en un círculo si λ en K y | λ | ≥ | α | implica λ A ⊆ A . El conjunto de subconjuntos encerrados en un círculo de L es invariante bajo intersecciones arbitrarias. El casco círculo de A es la intersección de todos los subconjuntos de círculos de X que contienen A .

Suponga que X e Y son espacios vectoriales sobre un campo de valoración no discreto K , sea A ⊆ X , B ⊆ Y , y sea f: X → Y un mapa lineal. Si B está en un círculo o es radial, entonces también lo es . Si A está encerrado en un círculo, también lo está f (A), pero si A es radial, entonces f (A) será radial bajo la condición adicional de que f es sobreyectiva. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (B)}$

Ver también

• Valoración discreta
• Valoración euclidiana
• Norma de campo

Notas

Referencias

enlaces externos

• Danilov, VI (2001) [1994], "Valoración" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Valoración discreta en PlanetMath .
• Valoración en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valoración" . MathWorld .