Valor absoluto (álgebra) - Absolute value (algebra)

En álgebra , un valor absoluto (también llamado valoración , magnitud o norma , aunque " norma " generalmente se refiere a un tipo específico de valor absoluto en un campo ) es una función que mide el "tamaño" de los elementos en un campo o integral. dominio . Más precisamente, si D es un dominio integral, entonces un valor absoluto es cualquier mapeo | x | de D a los números reales R satisfaciendo:

(no negatividad)
si y solo si ( definición positiva )
(multiplicatividad)
( desigualdad triangular )

De estos axiomas se deduce que | 1 | = 1 y | -1 | = 1. Además, para cada entero positivo n ,

| n | = | 1 + 1 + ... + 1 ( n veces) | = | −1-1 - ... - 1 ( n veces) | ≤  n .

El " valor absoluto " clásico es aquel en el que, por ejemplo, | 2 | = 2, pero muchas otras funciones cumplen los requisitos establecidos anteriormente, por ejemplo, la raíz cuadrada del valor absoluto clásico (pero no el cuadrado del mismo).

Un valor absoluto induce una métrica (y por lo tanto una topología ) por

Ejemplos

  • El valor absoluto estándar de los números enteros.
  • El valor absoluto estándar de los números complejos .
  • El valor absoluto p -ádico en los números racionales .
  • Si R es el campo de funciones racionales sobre un campo F y es un elemento fijo irreducible de R , entonces lo siguiente define un valor absoluto en R : porque en R define ser , donde y

Tipos de valor absoluto

El valor absoluto trivial es el valor absoluto con | x | = 0 cuando x = 0 y | x | = 1 de lo contrario. Cada dominio integral puede tener al menos el valor absoluto trivial. El valor trivial es el único valor absoluto posible en un campo finito porque cualquier elemento distinto de cero puede elevarse a alguna potencia para producir 1.

Si un valor absoluto satisface la propiedad más fuerte | x  +  y | ≤ max (| x |, | y |) para todo x y y , a continuación, | x | se denomina valor absoluto ultramétrico o no arquimediano y, de lo contrario, valor absoluto arquimediano .

Lugares

Si | x | 1 y | x | 2 son dos valores absolutos en el mismo dominio integral D , entonces los dos valores absolutos son equivalentes si | x | 1 <1 si y solo si | x | 2 <1 para todo x . Si dos valores absolutos no triviales son equivalentes, entonces para algún exponente e tenemos | x | 1 e = | x | 2 para todo x . Elevar un valor absoluto a una potencia menor que 1 da como resultado otro valor absoluto, pero elevarlo a una potencia mayor que 1 no necesariamente da como resultado un valor absoluto. (Por ejemplo, elevar al cuadrado el valor absoluto habitual de los números reales produce una función que no es un valor absoluto porque viola la regla | x + y | ≤ | x | + | y |.) Valores absolutos hasta la equivalencia, o en en otras palabras, una clase de equivalencia de valores absolutos se llama lugar .

El teorema de Ostrowski establece que los lugares no triviales de los números racionales Q son el valor absoluto ordinario y el valor absoluto p -ádico para cada primo p . Para un primer dado p , cualquier número racional q puede escribirse como p n ( un / b ), donde un y b no son números enteros divisible por p y n es un número entero. El valor absoluto p -ádico de q es

Dado que el valor absoluto ordinario y los valores absolutos p -ádicos son valores absolutos según la definición anterior, estos definen lugares.

Valoraciones

Si para algún valor absoluto ultramétrico y cualquier base b  > 1, definimos ν ( x ) = −log b | x | para x  ≠ 0 y ν (0) = ∞, donde se ordena que ∞ sea mayor que todos los números reales, obtenemos una función de D a R  ∪ {∞}, con las siguientes propiedades:

  • ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
  • ν ( xy ) = ν ( x ) + ν ( y ),
  • ν ( x + y ) ≥ mínimo (ν ( x ), ν ( y )).

Esta función se conoce como valoración en la terminología de Bourbaki , pero otros autores utilizan el término valoración para el valor absoluto y luego dicen valoración exponencial en lugar de valoración .

Terminaciones

Dado un dominio integral D con un valor absoluto, podemos definir las secuencias de Cauchy de elementos de D con respecto al valor absoluto requiriendo que para todo ε> 0 haya un entero positivo N tal que para todos los enteros m , n > N uno tiene | x m - x n | <ε. Las secuencias de Cauchy forman un anillo bajo la suma y la multiplicación puntuales. También se puede definir secuencias nulas como secuencias ( un n ) de elementos de D tal que | a n | converge a cero. Las secuencias nulas son un ideal primo en el anillo de las secuencias de Cauchy y, por tanto, el anillo del cociente es un dominio integral. El dominio D está incluido en este anillo de cociente, llamado finalización de D con respecto al valor absoluto | x |.

Dado que los campos son dominios integrales, esto también es una construcción para completar un campo con respecto a un valor absoluto. Para mostrar que el resultado es un campo, y no solo un dominio integral, podemos mostrar que las secuencias nulas forman un ideal máximo o construir directamente la inversa. Esto último se puede hacer fácilmente tomando, para todos los elementos distintos de cero del anillo del cociente, una secuencia que comienza desde un punto más allá del último elemento cero de la secuencia. Cualquier elemento distinto de cero del anillo del cociente diferirá en una secuencia nula de dicha secuencia, y al realizar una inversión puntual podemos encontrar un elemento inverso representativo.

Otro teorema de Alexander Ostrowski dice que cualquier campo completo con respecto a un valor absoluto de Arquímedes es isomorfo a los números reales o complejos, y la valoración es equivalente a la habitual. El Gelfand-Tornheim teorema afirma que cualquier campo con una valoración de Arquímedes es isomorfo a un subcampo de C , la valoración es equivalente al valor absoluto usual en C .

Campos y dominios integrales

Si D es un dominio integral con valor absoluto | x |, entonces podemos extender la definición del valor absoluto al campo de fracciones de D estableciendo

Por otro lado, si F es un campo con valor absoluto ultramétrico | x |, entonces el conjunto de elementos de F tales que | x | ≤ 1 define un anillo de valoración , que es un subanillo D de F tal que para cada distinto de cero elemento x de F , al menos uno de x o x -1 pertenece a D . Como F es un campo, D no tiene divisores cero y es un dominio integral. Tiene un ideal máximo único que consta de todo x tal que | x | <1 y, por tanto, es un anillo local .

Notas

Referencias