Raíz cuadrada de 5 - Square root of 5

Raíz cuadrada de 5

Racionalidad	Irracional
Representaciones
Decimal	2.23606 79774 99789 69 ...
Forma algebraica	${\ Displaystyle {\ sqrt {5}}}$
Fracción continua	${\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ \ ddots}}}}}}} }}$
Binario	10.0011 1100 0110 1110 ...
Hexadecimal	2.3C6E F372 FE94 F82C ...

La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número primo 5 . Se le llama más precisamente raíz cuadrada principal de 5 , para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. Este número aparece en la expresión fraccionaria de la proporción áurea . Se puede denotar en forma surd como:

${\ Displaystyle {\ sqrt {5}}. \,}$

Es un número algebraico irracional . Los primeros sesenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... (secuencia A002163 en la OEIS ).

que se puede redondear a 2,236 con una precisión del 99,99%. La aproximación161/72(≈ 2.23611) para la raíz cuadrada de cinco se puede usar. A pesar de tener un denominador de solo 72, se diferencia del valor correcto en menos de1/10,000 (aprox. 4,3 × 10 ⁻⁵ ). A noviembre de 2019, su valor numérico en decimal se ha calculado en al menos 2,000,000,000,000 dígitos.

Pruebas de irracionalidad

1 . Esta prueba de irracionalidad para la raíz cuadrada de 5 usa el método de descenso infinito de Fermat :

Suponga que √ 5 es racional y expreselo en los términos más bajos posibles (es decir, como una fracción completamente reducida ) comometro/nortepara números naturales m y n . Entonces √ 5 se puede expresar en términos más bajos como5 n - 2 m/m - 2 n, que es una contradicción. (Las dos expresiones fraccionarias son iguales porque al igualarlas, multiplicarlas de forma cruzada y cancelar términos aditivos iguales da 5 n ² = m ² ymetro/norte= √ 5 , lo cual es cierto según la premisa. La segunda expresión fraccionaria para √ 5 está en términos más bajos ya que, comparando denominadores, m - 2 n < n ya que m <3 n ya quemetro/norte<3 ya que √ 5 <3 . Y tanto el numerador como el denominador de la segunda expresión fraccionaria son positivos ya que 2 < √ 5 <5/2 y metro/norte= √ 5. )

2 . Esta prueba de irracionalidad también es una prueba por contradicción :

Suponga que √ 5 =a/B dónde a/B está en forma reducida.

Entonces 5 =un ²/b ²y 5 b ² = a ² . Si b fuera par, b ² , a ² y a serían pares haciendo la fraccióna/B no en forma reducida. Por tanto, b es impar y, al seguir un proceso similar, a es impar.

Ahora, vamos a = 2 m + 1 y b = 2 n + 1 , donde m y n son números enteros.

Sustituyendo en 5 b ² = a ² obtenemos:

${\ Displaystyle 5 (2n + 1) ^ {2} = (2m + 1) ^ {2}}$

que se simplifica a:

${\ Displaystyle 5 \ left (4n ^ {2} + 4n + 1 \ right) = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

haciendo:

${\ Displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 5 = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

Restando 1 de ambos lados, obtenemos:

${\ Displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 4 = 4m ^ {2} + 4m}$

que se reduce a:

${\ Displaystyle 5n ^ {2} + 5n + 1 = m ^ {2} + m}$

En otras palabras:

${\ Displaystyle 5n (n + 1) + 1 = m (m + 1)}$

La expresión x ( x + 1) es par para cualquier número entero x (ya que x o x + 1 es par). Entonces esto dice que 5 × par + 1 = par , o impar = par . Dado que no hay un número entero par e impar, hemos llegado a una contradicción y, por tanto, √ 5 es irracional.

Fracción continua

Puede expresarse como la fracción continua

${\ displaystyle [2; 4,4,4,4,4, \ ldots] = 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ { \ cfrac {1} {4+ \ dots}}}}}}}}.}$(secuencia A040002 en la OEIS )

Los convergentes y semiconvergentes de esta fracción continua son los siguientes (los términos negros son los semiconvergentes):

${\ displaystyle {\ color {red} {\ frac {2} {1}}}, {\ frac {7} {3}}, {\ color {red} {\ frac {9} {4}}}, {\ frac {20} {9}}, {\ frac {29} {13}}, {\ color {rojo} {\ frac {38} {17}}}, {\ frac {123} {55}} , {\ color {rojo} {\ frac {161} {72}}}, {\ frac {360} {161}}, {\ frac {521} {233}}, {\ color {rojo} {\ frac {682} {305}}}, {\ frac {2207} {987}}, {\ color {red} {\ frac {2889} {1292}}}, \ dots}$

Los convergentes de la fracción continua se colorean de rojo ; sus numeradores son 2, 9, 38, 161, ... (secuencia A001077 en la OEIS ), y sus denominadores son 1, 4, 17, 72, ... (secuencia A001076 en la OEIS ).

Cada uno de estos es la mejor aproximación racional de √ 5 ; en otras palabras, está más cerca de √ 5 que cualquier racional con un denominador más pequeño.

Método babilónico

Cuando √ 5 se calcula con el método babilónico , comenzando con r ₀ = 2 y usando r _{n +1} =1/2( r _n +5/r _n) , el n- ésimo r _n aproximadoes igual al2 ^n- ésimo convergente de la secuencia convergente:

${\ Displaystyle {\ frac {2} {1}} = 2.0, \ quad {\ frac {9} {4}} = 2.25, \ quad {\ frac {161} {72}} = 2.23611 \ dots, \ quad {\ frac {51841} {23184}} = 2.2360679779 \ ldots}$

Expansiones cuadradas anidadas

Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen en : ${\ Displaystyle {\ sqrt {5}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ sqrt {5}} & = 3-10 \ left ({\ frac {1} {5}} + \ left ({\ frac {1} {5}} + \ izquierda ({\ frac {1} {5}} + \ izquierda ({\ frac {1} {5}} + \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {9} {4}} - 4 \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ left ({\ frac {1} {16}} - \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ { 2} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {9} {4}} - 5 \ left ({\ frac {1} {20}} + \ left ({\ frac {1} {20 }} + \ left ({\ frac {1} {20}} + \ left ({\ frac {1} {20}} + \ cdots \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} \ end {alineado}}}$

Relación con la proporción áurea y los números de Fibonacci

los √ 5/2La diagonal de un medio cuadrado forma la base para la construcción geométrica de un rectángulo áureo .

La proporción áurea φ es la media aritmética de 1 y √ 5 . La relación algebraica entre √ 5 , la proporción áurea y el conjugado de la proporción áurea ( Φ =–1/φ= 1 - φ ) se expresa en las siguientes fórmulas:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ sqrt {5}} & = \ varphi - \ Phi = 2 \ varphi -1 = 1-2 \ Phi \\ [5pt] \ varphi & = {\ frac {1+ {\ sqrt {5}}} {2}} \\ [5pt] \ Phi & = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}. \ end {alineado}}}$

(Consulte la sección a continuación para conocer su interpretación geométrica como descomposiciones de un rectángulo de √ 5 ).

√ 5 entonces, naturalmente, figura en la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci , una fórmula que generalmente se escribe en términos de la proporción áurea:

${\ Displaystyle F (n) = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (1- \ varphi) ^ {n}} {\ sqrt {5}}}.}$

El cociente de √ 5 y φ (o el producto de √ 5 y Φ ), y su recíproco, proporcionan un patrón interesante de fracciones continuas y están relacionados con las razones entre los números de Fibonacci y los números de Lucas :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ sqrt {5}} {\ varphi}} = \ Phi \ cdot {\ sqrt {5}} = {\ frac {5 - {\ sqrt {5}} } {2}} & = 1.3819660112501051518 \ dots \\ & = [1; 2,1,1,1,1,1,1,1, \ ldots] \\ [5pt] {\ frac {\ varphi} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {1} {\ Phi \ cdot {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {10}} & = 0.72360679774997896964 \ ldots \\ & = [0; 1,2,1,1,1,1,1,1, \ ldots]. \ end {alineado}}}$

La serie de convergentes a estos valores presenta la serie de números de Fibonacci y la serie de números de Lucas como numeradores y denominadores, y viceversa, respectivamente:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} y {1, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {4} {3}}, {\ frac {7} {5}}, {\ frac { 11} {8}}, {\ frac {18} {13}}, {\ frac {29} {21}}, {\ frac {47} {34}}, {\ frac {76} {55}} , {\ frac {123} {89}}}, \ ldots \ ldots [1; 2,1,1,1,1,1,1,1, \ ldots] \\ [8pt] & {1, {\ frac {2} {3}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {7}}, {\ frac {8} {11}}, {\ frac {13} {18 }}, {\ frac {21} {29}}, {\ frac {34} {47}}, {\ frac {55} {76}}, {\ frac {89} {123}}}, \ dots \ dots [0; 1,2,1,1,1,1,1,1, \ dots]. \ end {alineado}}}$

Geometría

Descomposición del triángulo de Conway en triángulos homotéticos más pequeños.

Geométricamente , √ 5 corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados son de longitud 1 y 2 , como se desprende del teorema de Pitágoras . Este rectángulo se puede obtener dividiendo un cuadrado por la mitad o colocando dos cuadrados iguales uno al lado del otro. Junto con la relación algebraica entre √ 5 y φ , esto forma la base para la construcción geométrica de un rectángulo áureo a partir de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (dado que la relación de lado a diagonal en una forma regular pentágono es φ ).

Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que dividen a la mitad un rectángulo 1: 2, se puede ver que √ 5 corresponde también a la relación entre la longitud de la arista de un cubo y la distancia más corta de uno de sus vértices al opuesto. , al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta al atravesar el interior del cubo corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de tres veces el borde).

El número √ 5 se puede relacionar algebraica y geométricamente con √ 2 y √ 3 , ya que es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cateti que mide √ 2 y √ 3 (nuevamente, el teorema de Pitágoras prueba esto). Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquier triángulo definidos por el punto central de un cubo, uno de sus vértices y el punto medio de un lado ubicado en una de las caras que contienen ese vértice y opuesto a él. , están en la proporción √ 2 : √ 3 : √ 5 . Esto se deriva de las relaciones geométricas entre un cubo y las cantidades √ 2 (relación diagonal de borde a cara, o distancia entre bordes opuestos), √ 3 (relación diagonal de borde a cubo) y √ 5 (la relación simplemente mencionado anteriormente).

Un rectángulo con proporciones laterales 1: √ 5 se llama rectángulo raíz cinco y es parte de la serie de rectángulos raíz, un subconjunto de rectángulos dinámicos , que se basan en √ 1 (= 1), √ 2 , √ 3 , √ 4 (= 2), √ 5 … y construidos sucesivamente usando la diagonal del rectángulo raíz anterior, comenzando desde un cuadrado. Un rectángulo de raíz 5 es particularmente notable porque se puede dividir en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones Φ × 1 ), o en dos rectángulos áureos de diferentes tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ ). También se puede descomponer como la unión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones 1 × φ ) cuya intersección forma un cuadrado. Todo esto puede verse como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √ 5 , φ y Φ mencionadas anteriormente. El rectángulo raíz-5 se puede construir a partir de un rectángulo 1: 2 (el rectángulo raíz-4), o directamente a partir de un cuadrado de una manera similar a la del rectángulo áureo que se muestra en la ilustración, pero extendiendo el arco de longitud.√ 5/2 a ambos lados.

Trigonometría

Como √ 2 y √ 3 , la raíz cuadrada de 5 aparece ampliamente en las fórmulas para constantes trigonométricas exactas , incluso en los senos y cosenos de cada ángulo cuya medida en grados es divisible por 3 pero no por 15. Las más simples son

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {5} } -1) = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} + 1}}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ } & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5}})}}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {3 \ pi} {10} } = \ sin 54 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} ({\ sqrt {5}} + 1) = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}} - 1 }}, \\ [5pt] \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5}})}} \,. \ end {alineado}}}$

Como tal, el cálculo de su valor es importante para generar tablas trigonométricas . Dado que √ 5 está ligado geométricamente a rectángulos de medio cuadrado y pentágonos, también aparece con frecuencia en fórmulas para las propiedades geométricas de figuras derivadas de ellos, como en la fórmula para el volumen de un dodecaedro .

Aproximaciones diofánticas

El teorema de Hurwitz en aproximaciones diofánticas establece que cada número irracional x puede aproximarse mediante un número infinito de números racionales. metro/norteen los términos más bajos de tal manera que

${\ Displaystyle \ left | x - {\ frac {m} {n}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2}}}}$

y que √ 5 es lo mejor posible, en el sentido de que para cualquier constante mayor que √ 5 , hay algunos números irracionales x para los que sólo existen un número finito de tales aproximaciones.

Estrechamente relacionado con esto está el teorema de que de cualesquiera tres convergentes consecutivos p _yo/q _yo, p _{yo +1}/q _{yo +1}, p _{i +2}/q _{yo +2}, de un número α , al menos una de las tres desigualdades se cumple:

${\ Displaystyle \ left | \ alpha - {p_ {i} \ over q_ {i}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i} ^ {2}}, \ qquad \ left | \ alpha - {p_ {i + 1} \ over q_ {i + 1}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i + 1} ^ {2}}, \ qquad \ izquierda | \ alpha - {p_ {i + 2} \ over q_ {i + 2}} \ right | <{1 \ over {\ sqrt {5}} q_ {i + 2} ^ {2}}.}$

Y el √ 5 en el denominador es el mejor límite posible ya que los convergentes de la proporción áurea marcan la diferencia en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particular, no se puede obtener un límite más estricto considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivos.

Álgebra

El anillo ℤ [ √ −5 ] contiene números de la forma a + b √ −5 , donde a y b son números enteros y √ −5 es el número imaginario i √ 5 . Este anillo es un ejemplo citado con frecuencia de un dominio integral que no es un dominio de factorización único . El número 6 tiene dos factorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:

${\ Displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (1 - {\ sqrt {-5}}) (1 + {\ sqrt {-5}}). \,}$

El campo ℚ [ √ −5 ] , como cualquier otro campo cuadrático , es una extensión abeliana de los números racionales. Por lo tanto, el teorema de Kronecker-Weber garantiza que la raíz cuadrada de cinco se puede escribir como una combinación lineal racional de raíces de unidad :

${\ Displaystyle {\ sqrt {5}} = e ^ {{\ frac {2 \ pi} {5}} i} -e ^ {{\ frac {4 \ pi} {5}} i} -e ^ { {\ frac {6 \ pi} {5}} i} + e ^ {{\ frac {8 \ pi} {5}} i}. \,}$

Identidades de Ramanujan

La raíz cuadrada de 5 aparece en varias identidades descubiertas por Srinivasa Ramanujan que involucran fracciones continuas .

Por ejemplo, este caso de la fracción continua de Rogers-Ramanujan :

${\ displaystyle {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {-6 \ pi}} {1+ \ ddots}}}}}}}} = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ right) e ^ {\ frac {2 \ pi} {5}} = e ^ {\ frac {2 \ pi} {5}} \ left ( {\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}}} - \ varphi \ right).}$

${\ Displaystyle {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt { 5}}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 6 \ pi {\ sqrt {5}}}} {1+ \ ddots}}}}}}}} = \ left ({{\ sqrt { 5}} \ over 1 + {\ sqrt [{5}] {5 ^ {\ frac {3} {4}} (\ varphi -1) ^ {\ frac {5} {2}} - 1}}} - \ varphi \ right) e ^ {\ frac {2 \ pi} {\ sqrt {5}}}.}$

${\ Displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {xe ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, dx = {\ cfrac {1} { 1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {2 ^ {2} } {1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}.}$

Ver también

• Proporción áurea
• Raíz cuadrada
• Raíz cuadrada de 2
• Raíz cuadrada de 3

Referencias