Quadratrix - Quadratrix

En matemáticas , una cuadrícula (de la palabra latina quadrator, squarer) es una curva que tiene ordenadas que son una medida del área (o cuadratura) de otra curva. Las dos curvas más famosas de esta clase son las de Dinostratus y EW Tschirnhaus , ambas relacionadas con el círculo .

Cuadratriz de Dinostratus

La cuadratriz de Dinostratus (también llamada cuadratriz de Hipias ) era bien conocida por los antiguos geómetras griegos , y Proclo la menciona , quien atribuye la invención de la curva a un contemporáneo de Sócrates , probablemente Hipias de Elis . Dinostratus, un geómetra griego y discípulo de Platón , discutió la curva y mostró cómo efectuaba una solución mecánica de cuadrar el círculo . Pappus , en sus Colecciones , trata su historia y da dos métodos mediante los cuales se puede generar.

1. Dibuje una hélice sobre un cilindro circular recto ; Luego se obtiene una superficie de tornillo dibujando líneas desde cada punto de esta espiral perpendicular a su eje. La proyección ortogonal de una sección de esta superficie por un plano que contiene una de las perpendiculares e inclinada al eje es la cuadrícula.
2. Un cilindro recto que tiene como base una espiral de Arquímedes es cortado por un cono circular recto que tiene la línea generadora del cilindro que pasa por el punto inicial de la espiral por su eje. Desde cada punto de la curva de intersección, se dibujan perpendiculares al eje. Cualquier sección plana de la superficie del tornillo (plectoidal de Pappus) así obtenida es la cuadratriz.

Cuadratriz de Dinostratus (en rojo)

Otra construcción es la siguiente. DAB es un cuadrante en el que la línea DA y el arco DB se dividen en el mismo número de partes iguales. Los radios se dibujan desde el centro del cuadrante hasta los puntos de división del arco, y estos radios son intersectados por las líneas trazadas paralelas a AB y a través de los puntos correspondientes en el radio DA . El lugar de estas intersecciones es la cuadratriz.

Cuadratriz de Dinostratus con una porción central flanqueada por infinitas ramas

Deje que A sea ​​el origen del sistema de coordenadas cartesianas , D sea ​​el punto ( a , 0), a unidades desde el origen a lo largo del eje x , y B sea ​​el punto (0, a ), a unidades desde el origen a lo largo del eje y , la curva en sí puede expresarse mediante la ecuación

${\ Displaystyle y = x \ cot {\ frac {\ pi x} {2a}}.}$

Debido a que la función cotangente es invariante bajo la negación de su argumento y tiene un polo simple en cada múltiplo de π , la cuadratriz tiene simetría de reflexión a través del eje y , y de manera similar tiene un polo para cada valor de x de la forma x  = 2 na , para valores enteros de n , excepto en x  = 0 donde el polo en la cotangente es cancelado por el factor de x en la fórmula para la cuadratriz. Estos postes dividen la curva en una parte central flanqueada por infinitas ramas. El punto donde la curva cruza el y eje x tiene y  = 2 un / π ; por lo tanto, si fuera posible construir la curva con precisión, se podría construir un segmento de línea cuya longitud sea un múltiplo racional de 1 / π , lo que conduciría a una solución del problema clásico de elevar el círculo al cuadrado . Dado que esto es imposible con el compás y la regla no graduada, la cuadrícula a su vez no se puede construir con el compás y la regla no graduada. Una construcción precisa de la cuadrícula también permitiría la solución de otros dos problemas clásicos que se sabe que son imposibles con el compás y la regla: doblar el cubo y trisecar un ángulo .

Cuadratriz de Tschirnhaus

Quadratrix de Tschirnhaus (rojo),
Quadratrix de Hippias (punteado)

La cuadratriz de Tschirnhaus se construye dividiendo el arco y el radio de un cuadrante en el mismo número de partes iguales que antes. Las intersecciones mutuas de las líneas trazadas desde los puntos de división del arco paralelo a DA , y las líneas trazadas paralelas a AB a través de los puntos de división de DA , son puntos en la cuadrícula. La ecuación cartesiana es . La curva es periódica y corta el eje x en los puntos , siendo un número entero; los valores máximos de son . Sus propiedades son similares a las de la cuadratriz de Dinostratus. ${\ Displaystyle y = a \ cos \! {\ big (} {\ tfrac {\ pi x} {2a}} {\ big)}}$${\ Displaystyle x = (2n-1) a}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle a}$

Otras cuadrátrices

Otras curvas que históricamente se han utilizado para cuadrar el círculo incluyen:

• Espiral de Arquímedes
• Cuadratriz de Ozanam
• Cocleoide

Referencias

•  Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Chisholm, Hugh, ed. (1911). " Quadratrix ". Encyclopædia Britannica . 22 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 706.

enlaces externos

• Quadratrix of Hippias en el archivo MacTutor .
• Quadratrix de Hippias en Convergence (revista MAA)